Математическая эссенция

Задача 6. Шесть котов в течение 3,5 минут наблюдали за мышкой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту мышка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени мышка не оставалась без наблюдения. Могла ли мышка за это время проползти 6 м? А 3 м?

Задача 5. В стране, дома жителей которой представляют собой точки плоскости, действуют два закона: 1) Человек может играть в баскетбол, лишь если он выше ростом большинства своих соседей. 2) Человек имеет право на бесплатный проезд в транспорте, лишь если он ниже ростом большинства своих соседей. В каждом законе соседями человека считаются все люди, живущие в круге некоторого радиуса с центром в доме этого человека. При этом каждый человек сам выбирает себе радиус для первого закона и радиус (не обязательно такой же) для второго закона. Может ли в этой стране не менее 90% людей играть в баскетбол и не менее 90% людей иметь право на бесплатный проезд в транспорте?

Задача 4. Улицы города расположены в трёх направлениях, так что все кварталы – равные между собой равносторонние треугольники. Правила уличного движения таковы, что через перекресток можно проехать либо прямо, либо повернув влево или вправо на 120° в ближайшую улицу. Поворачивать разрешается только на перекрёстках. Две машины выехали друг за другом из одной точки в одном направлении и едут с одинаковой скоростью, придерживаясь этих правил. Может ли случиться, что через некоторое время они на какой-то улице (не на перекрёстке) встретятся?

Задача 3. Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Задача 2. В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня. (Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Несколько задач Н.Н. Константинова Задача 1. В Колиной коллекции есть четыре царские золотые пятирублёвые монеты. Коле сказали, что какие-то две из них фальшивые. Коля хочет проверить (доказать или опровергнуть), что среди монет есть ровно две фальшивые. Удастся ли ему это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Фальшивые монеты одинаковы по весу, настоящие тоже одинаковы по весу, но фальшивые легче настоящих.)

Н.Н. Константинов: «Когда я учился в первом классе, то впервые соврал учительнице. Нам велели выучить таблицу умножения. Урок проходил так: учительница называет фамилию ученика и спрашивает его, например: “Трижды три равняется...?” Он встает и отвечает: “Девять”. И так проверяется, что все знают таблицу умножения. А я таблицу учил, но не всю выучил и со страхом ждал, что она меня спросит. И вот она называет мою фамилию и спрашивает, сколько будет шестью семь. А это трудная пара — шестью семь. Я медленно встаю и думаю, что же теперь делать, ведь я этот элемент таблицы не выучил. Но сразу вспомнил, что шестью шесть — тридцать шесть, это легко, потому что это складно, а шестью семь, думаю, наверное, получится, если добавить к 36 еще одну шестерку, и, пока встал, я добавил и сказал: “Сорок два”. “Правильно, молодец!” И я сел и думаю: “Я наврал или нет? Всё же я наврал, правда?” Я должен был показать, что я выучил, а я не выучил. Она сказала, что я молодец, но я же наврал! И я должен был сказать, что я не выучил. Это был первый случай, когда я соврал».

Н.Н. Константинов: «Основные принципы работы в математических классах — тщательность, неторопливость и самостоятельность. В программу включаются некоторые ключевые темы, которые, разумеется, не охватывают всю математику. Кроме обычных школьных тем, встечаются начала анализа, теория алгоритмов, некоторые темы высшей алгебры. Обычно лучше всего идут начала анализа — они способны надолго увлечь большинство учащихся. Но выбор тем сильно зависит от преподавателей, от их способности с глубоким интересом относиться к теме и к работе учащихся в ней. Тщательность означает, что тема проходится не временно («в вузе вас этому обучат как следует»), а окончательно (что не исключает последующего возврата к теме на новом уровне). Потеря тщательности ведет к потере интереса. Ученик, который один раз чего-то недопонял, другой раз чего-то недопонял, засоряет, наконец, свою учебу до того, что ему становится противно в ней жить. Наоборот, тщательность позволяет находить в обычных вещах все новый интерес. Основная роль учителя — не в том, чтобы рассказывать и объяснять, а в том, чтобы тщательно проверять, разбираться в любых ошибках, сохраняя искренний интерес ко всем успехам ученика. Этот интерес и является основным стимулом, который имеется в руках учителя, а вовсе не двойки и пятерки, которые, конечно, что-то стимулируют, но, к сожалению, совсем не то, что требуется. Неторопливость означает, что на каждую трудность уходит столько времени, сколько нужно. Не беда, если пройдено мало. А беда начинается тогда, когда нужно к определенному сроку что-то «пройти» — неважно хорошо или плохо. Это — беда, так как в результате не пройдено ничего, и всем становится неинтересно — и ученикам, и учителям. Самостоятельность означает, что значительная часть теоретического материала, иногда почти весь материал, выполняется учащимися самостоятельно — они сами доказывают или опровергают большинство предлагаемых задач и теорем. Прямой рассказ учителя малоэффективен. Дело в том, что начинающие не понимают математического языка. Например, мало кто из начинающих способных учеников видит разницу между фразами: «для любого С найдется х, который больше С» и «найдется х, который больше любого С». Вот и судите, много ли поймут ученики из грамотного рассказа квалифицированного математика. Поэтому основным способом подсказки учителя становится структурирование материала».

3 года назад, 3 июля 2021 г. ушёл из жизни Николай Николаевич Константинов — создатель системы математических школ и математических классов в России, организатор многопредметного Турнира им. М.В. Ломоносова и международной математической олимпиады Турнир городов, лауреат премии Пола Эрдёша за выдающийся вклад в развитие математического образования. Константинов является автором уникальной методики преподавания математики по «системе листков». Эта методика чрезвычайно эффективна для освоения разных разделов математики, но крайне трудозатратна — и для учеников, и для преподавателей: ученику приходится самостоятельно изобретать доселе неизвестные ему ходы и приёмы, а преподавателю внимательно выслушивать каждое решение каждого ученика, подсказывать, в чём ошибка, подталкивать к решению. Интервью с НикНиком в журнале Квант. «Я не знаю большей радости, чем ясные математические рассуждения. Они бывают безумно красивыми, но только в том случае, если в них нет ошибок. Мне жалко людей, которые не знают этой красоты. И я пытаюсь открыть глаза тем, кто её не видит, поэтому занимаюсь преподаванием. В основе лежит доброта — слова из басни Крылова: “Кто добр, тому избытки в тягость, коль он их с ближним не делит”. Но не все могут понять эту красоту, и тех, кто не может, мне жалко. Хотя, конечно, им в некоторых случаях доступна другая красота — в музыке, в картинах и т.п. Эта другая красота сравнима с математической, и так же, как в математике, она противоречит выпендрежу, оригинальничанию, нарушению внутренней естественности. Всякое такое нарушение подобно ошибке в решении задачи».

Кроме формул в разных разделах математики, именем Лейбница названы кратер и самая высокая горная цепь на Луне, одна из малых планет, а с 1889 г. в Ганновере бисквитная фабрика Бальзен выпускает печенье под брендом великого математика.