Математическая эссенция
Открыть в Telegram
Рассказываем о различных математических сюжетах, уделяя особое внимание наглядности и простоте изложения. В математических методах стремимся выделять основную идею, сущность, квинтэссенцию, аромат — essence. Для связи пишите @math_essence_bot.
Больше3 083
Подписчики
-224 часа
-47 дней
-1730 дней
Загрузка данных...
Похожие каналы
Облако тегов
Входящие и исходящие упоминания
---
---
---
---
---
---
Привлечение подписчиков
октябрь '26окт. '26
октябрь '26
+4
в 0 каналах
сентябрь '26
+44
в 2 каналах
Get PRO
август '26
+65
в 1 каналах
Get PRO
июль '26
+98
в 2 каналах
Get PRO
июнь '26
+158
в 4 каналах
Get PRO
май '26
+14
в 0 каналах
Get PRO
апрель '26
+30
в 3 каналах
Get PRO
март '26
+44
в 1 каналах
Get PRO
февраль '26
+59
в 4 каналах
Get PRO
январь '26
+35
в 0 каналах
Get PRO
декабрь '25
+68
в 5 каналах
Get PRO
ноябрь '25
+133
в 5 каналах
Get PRO
октябрь '25
+46
в 4 каналах
Get PRO
сентябрь '25
+71
в 5 каналах
Get PRO
август '25
+120
в 5 каналах
Get PRO
июль '25
+87
в 3 каналах
Get PRO
июнь '25
+71
в 4 каналах
Get PRO
май '25
+105
в 8 каналах
Get PRO
апрель '25
+76
в 5 каналах
Get PRO
март '25
+185
в 5 каналах
Get PRO
февраль '25
+68
в 2 каналах
Get PRO
январь '25
+154
в 4 каналах
Get PRO
декабрь '24
+112
в 4 каналах
Get PRO
ноябрь '24
+81
в 5 каналах
Get PRO
октябрь '24
+123
в 6 каналах
Get PRO
сентябрь '24
+724
в 16 каналах
Get PRO
август '24
+279
в 9 каналах
Get PRO
июль '24
+205
в 5 каналах
Get PRO
июнь '24
+64
в 3 каналах
Get PRO
май '24
+52
в 1 каналах
Get PRO
апрель '24
+69
в 2 каналах
Get PRO
март '24
+38
в 0 каналах
Get PRO
февраль '24
+82
в 1 каналах
Get PRO
январь '24
+603
в 3 каналах
Get PRO
декабрь '23
+150
в 2 каналах
Get PRO
ноябрь '23
+23
в 0 каналах
Get PRO
октябрь '23
+384
в 0 каналах
| Дата | Привлечение подписчиков | Упоминания | Каналы | |
| 06 октября | 0 | |||
| 05 октября | 0 | |||
| 04 октября | 0 | |||
| 03 октября | 0 | |||
| 02 октября | +2 | |||
| 01 октября | +2 |
Посты канала
В хорошем образовании, как в математике, важны не только факты, но и связи между ними. Учитель помогает увидеть эти связи, собрать знания в целое и научиться думать самостоятельно.
Пусть чаще случаются моменты, когда сложное становится понятным, а решение рождается из собственного рассуждения.
С Днём учителя!
| 2 |  Двоичная система на плоскости
Положим β = −1 + i. Тогда
β² = −2i,
β³ = 2 + 2i.
Следовательно,
(1100)ᵦ = β³ + β² = (2 + 2i) − 2i = 2.
Запись выглядит двоичной, но её разряды уже не лежат на числовой прямой.
Умножение на β делает сразу две вещи: увеличивает длину в √2 раз и поворачивает направление на 135°.
Поэтому последовательные веса
1, β, β², β³, …
можно представить как векторы разных длин и направлений.
И приписывание нуля справа теперь имеет геометрический смысл: оно поворачивает соответствующую точку на 135° и удаляет её от начала координат в √2 раз.
Например,
1 → 10ᵦ = −1+i → 100ᵦ = −2i → 1000ᵦ = 2+2i → 10000ᵦ = −4.
За четыре сдвига мы умножили число на
β⁴ = −4:
масштаб увеличился в 4 раза, а направление развернулось на 180°.
Но система умеет гораздо больше. Каждое гауссово целое
a+bi, a, b ∈ ℤ,
имеет единственную конечную запись без ведущих нулей цифрами 0 и 1 в системе с основанием −1+i.
Например,
11ᵦ = β+1 = i,
111ᵦ = β²+β+1 = −i,
1110ᵦ = β³+β²+β = 1+i.
Результат опроса показывает, как здесь устроен перенос при сложении.
Поскольку
2 = 1100ᵦ = β³+β²,
то если в каком-то разряде при сложении появилась цифра 2, её можно заменить двумя единицами в более старших разрядах:
2βⁿ = βⁿ⁺³+βⁿ⁺².
Например, в младшем разряде
1+1 = 1100ᵦ.
В обычной двоичной системе две единицы дают перенос на один разряд влево. Здесь они порождают сразу две единицы — через два и через три разряда.
Сложение остаётся поразрядным, но «перенос» уже совсем не похож на обычный.
Эту комплексную двоичную систему описал Уолтер Пенни в 1965 году.
Есть у неё и неожиданная геометрическая сторона. Рассмотрим все бесконечные дробные хвосты
0,a₁a₂a₃…ᵦ,
где каждая aₖ равна 0 или 1.
Если разрешать всё более длинные дробные хвосты из нулей и единиц, их значения заполняют фрактальную область twindragon — «двойной дракон». На гифке видно, как возникают её последовательные конечные приближения.
Получается, что одна и та же система одновременно задаёт арифметику гауссовых целых и фрактальную геометрию их дробных частей.
Ещё раньше, в 1960 году, Дональд Кнут предложил другую комплексную систему: с основанием 2i и цифрами 0, 1, 2, 3.
После комплексных чисел естественно спросить: нельзя ли тем же способом перейти к кватернионам?
В прямом аналоге системы Пенни — нельзя.
Любой кватернион можно записать как β = a + v,
где v — его векторная часть. Поскольку
v² = −|v|²,
любая степень β имеет вид A + Bv.
Значит, все числа
a₀ + a₁β + a₂β² + …
с обычными вещественными цифрами остаются в одной двумерной плоскости внутри четырёхмерного пространства кватернионов.
Одного кватернионного основания с вещественными цифрами недостаточно, чтобы охватить всё пространство.
Кватернионные системы счисления построить можно, но приходится усложнять саму конструкцию. Красивый трюк Пенни — одно основание и всего две обычные цифры — в четырёх измерениях уже не переносится напрямую. | 379 |
| 3 | Пусть основание системы счисления равно −1 + i, а разрешённые цифры — только 0 и 1.
Какое число обозначает запись 1100₋₁₊ᵢ ? | 376 |
| 4 | Отрицательный перенос
В двоичной системе
1 + 1 = 10₂:
пишем 0 и переносим 1 в следующий разряд.
В системе с основанием −2 так нельзя:
10₋₂ = −2,
а нам нужно получить +2.
Что происходит при переполнении разряда?
Пусть в нём получилось 2. Пишем 0, а перенос должен удовлетворять равенству
2 = 0 + (−1)·(−2).
Значит, в следующий разряд нужно перенести −1.
Но и цифры −1 у нас нет. Если в некотором разряде получилось −1, то
−1 = 1 + 1·(−2).
Поэтому пишем 1, а дальше переносим уже +1.
Получаются два необычных правила:
2 → пишем 0, переносим −1;
−1 → пишем 1, переносим +1.
Именно они дают уже знакомую запись
1 + 1 = 110₋₂.
Теперь сложим
111₋₂ + 111₋₂.
Мы знаем, что это 3 + 3 = 6, но попробуем получить результат непосредственно по разрядам.
В первом разряде:
1 + 1 = 2.
Пишем 0, переносим −1.
Во втором:
1 + 1 − 1 = 1.
Пишем 1, переноса нет.
В третьем снова:
1 + 1 = 2.
Пишем 0, переносим −1.
Следующего разряда в исходных числах уже нет. Там оказалось −1, поэтому пишем 1 и переносим +1 ещё на один разряд.
Получаем
111₋₂ + 111₋₂ = 11010₋₂.
Проверка:
11010₋₂ = 16 − 8 − 2 = 6.
Внешне это всё ещё обычное сложение по разрядам. Но перенос теперь может быть как положительным, так и отрицательным.
Причина в том, что переход на один разряд влево означает умножение не на 2, а на −2.
Отрицательное основание меняет не только запись чисел, но и саму арифметику переноса. | 600 |
| 5 | В системе с основанием −2 разрешены только цифры 0 и 1.
Какая запись получится при сложении 111₋₂ + 111₋₂ ? | 492 |
| 6 | Без знака минус
В обычной позиционной системе веса разрядов равны
1, 2, 4, 8, …
если основание равно 2.
А если взять основание −2, веса станут
1, −2, 4, −8, 16, …
Поэтому
1101₋₂ = (−2)³ + (−2)² + 1 = −8 + 4 + 1 = −3.
Никакого знака минус в самой записи нет.
Это не случайный фокус: каждое целое число — положительное, отрицательное или ноль — имеет единственную конечную запись в системе с основанием −2 с цифрами 0 и 1.
Например,
1 = 1₋₂,
2 = 110₋₂,
3 = 111₋₂,
4 = 100₋₂,
а
−1 = 11₋₂,
−2 = 10₋₂,
−3 = 1101₋₂,
−4 = 1100₋₂.
Есть одна необычная особенность. В любой позиционной системе приписать справа ноль — значит умножить число на основание.
Здесь основание отрицательное. Поэтому
111₋₂ = 3,
1110₋₂ = −6,
11100₋₂ = 12,
111000₋₂ = −24.
Каждый сдвиг на один разряд не только удваивает модуль, но и меняет знак числа.
Более того, знак можно определить уже по длине записи.
Если старшая единица стоит при (−2)ⁿ, её абсолютный вклад равен 2ⁿ. Все младшие разряды вместе по абсолютной величине дают не больше
1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ−1.
Поэтому они не способны изменить знак старшего слагаемого.
Значит, запись нечётной длины представляет положительное число, а чётной — отрицательное.
В обычной системе знак приходится добавлять к записи отдельно.
Здесь знак зашит в саму структуру разрядов: один дополнительный разряд способен превратить положительное число в отрицательное.
Эта система не осталась математической игрушкой. Польский компьютер UMC-1, серийно выпускавшийся с 1962 года, использовал нега-двоичную арифметику, разработанную Здиславом Павляком. | 614 |
| 7 | Запись 1101₋₂ сделана в позиционной системе с основанием −2.
Какое обычное число она обозначает? | 535 |
| 8 | Когда период может не появиться
В основании φ стандартная запись любой рациональной дроби в конце концов становится периодической.
Но для произвольного иррационального основания это уже неверно.
Посмотрим, чем в этом отношении отличаются φ и √2.
Минимальный многочлен для φ — x² − x − 1.
Его корни: φ = (1+√5)/2
и (1−√5)/2 = −1/ φ.
Второй корень по модулю меньше 1.
Числа с таким свойством выделяют в особый класс.
Число Пизо — это вещественное число β > 1, минимальный многочлен которого имеет целые коэффициенты и старший коэффициент 1, а все остальные его корни имеют модуль меньше 1.
Золотое сечение — число Пизо.
Для любого основания β, являющегося числом Пизо, стандартная β-запись каждой рациональной дроби x, 0 ≤ x < 1, в конце концов становится периодической. Более того, это верно для всех чисел из ℚ(β).
Теперь возьмём β = √2. Его минимальный многочлен — x² − 2,
а корни равны √2 и −√2.
У второго корня модуль тоже равен √2, то есть больше 1.
И здесь действует обратное ограничение: если у минимального многочлена основания есть другой корень с модулем больше 1, то не каждая рациональная дробь может иметь в итоге периодическую стандартную запись.
Значит, существуют рациональные дроби, стандартные записи которых в основании √2 не становятся периодическими.
Почему вообще важны остальные корни многочлена?
Смысл этого условия можно увидеть так. При построении β-записи возникают последовательные остатки. В доказательстве те же выражения рассматривают и при остальных корнях минимального многочлена. Если их модули меньше 1, эти величины остаются ограниченными.
После умножения на общий знаменатель соответствующие состояния образуют точки дискретной решётки. В ограниченной области таких точек лишь конечное число.
Значит, какое-то состояние повторится — и вслед за ним начнут повторяться цифры.
У φ этот механизм работает, а у √2 условие нарушается: второй корень по модулю больше 1.
Любопытно, что обычные целые основания тоже укладываются в эту картину. Например, минимальный многочлен числа 10 — это x − 10.
Других корней у него нет, поэтому 10 тоже является числом Пизо.
Действительно, любое целое число больше 1 формально относится к числам Пизо.
Получается, привычная периодичность рациональных дробей в десятичной системе и периодичность в основании φ связаны одним общим свойством основания.
А иррациональность сама по себе периода вовсе не гарантирует. | 699 |
| 9 | Пусть основание системы счисления равно √2.
Обязательно ли стандартная (жадная) запись любой рациональной дроби x (0 < x < 1) в конце концов станет периодической? | 528 |
| 10 | Почему ½ не заканчивается
Основание φ иррационально, но натуральные числа в этой системе могут иметь конечные записи:
2 = 10,01ᵩ,
3 = 100,01ᵩ,
4 = 101,01ᵩ.
А что будет с самым обычным рациональным числом ½?
Оказывается, оно не имеет конечной записи цифрами 0 и 1.
Причина довольно неожиданная.
Из φ² = φ + 1
следует
φ⁻¹ = φ − 1.
Поэтому любая целая степень φ имеет вид a+bφ,
где a и b — целые числа.
Значит, любая конечная запись в основании φ тоже имеет такой вид.
Но φ иррационально. Если число a+bφ рационально, то b = 0. А тогда оно просто целое.
Отсюда следует: если рациональное число имеет конечную запись в основании φ с цифрами 0 и 1, то оно обязательно целое.
Поэтому ½ записывается бесконечно:
½ = 0,010010010010…ᵩ,
то есть блок 010 повторяется бесконечно.
Единицы стоят при степенях
φ⁻², φ⁻⁵, φ⁻⁸, …
Поэтому значение записи равно
φ⁻² + φ⁻⁵ + φ⁻⁸ + … .
Это геометрическая прогрессия:
φ⁻²/(1−φ⁻³).
Но из φ³ = 2φ + 1
получаем
1 − φ⁻³ = 2φ⁻².
Следовательно,
φ⁻²/(1−φ⁻³) = ½.
В десятичной системе мы привыкли к другому:
дробь ½ = 0,5 заканчивается,
а ⅓ = 0,333… является периодической.
В основании φ граница проходит иначе: уже ½ не имеет конечной записи, зато его стандартная запись оказывается периодической.
Иррациональное основание позволяет целым числам заканчиваться, а простейшую дробь заставляет повторяться бесконечно. | 694 |
| 11 | В системе с основанием φ будем выбирать стандартную запись без соседних единиц. Число 2 имеет конечную запись: 2 = 10,01ᵩ.
А какой будет стандартная запись числа ½? | 558 |
| 12 | Перенос в обе стороны
В обычной системе счисления сложение устроено очень локально: если в некотором разряде получилось 10 единиц, перенос уходит на один разряд влево.
С основанием φ всё интереснее. Запись числа здесь вообще говоря не единственна: например, 2 = 1,11ᵩ = 10,01ᵩ.
Будем приводить результат к стандартной записи без соседних единиц.
Мы знаем, что
φ² = φ + 1,
поэтому соседние единицы можно объединять:
011ᵩ → 100ᵩ.
Но что делать, если при сложении в одном разряде появилась цифра 2?
Из равенства φ² = φ + 1
можно получить
2 = φ + φ⁻².
А значит, для любого n
2φⁿ = φⁿ⁺¹ + φⁿ⁻².
Иными словами, вместо двойки при весе φⁿ появляются две единицы при весах φⁿ⁺¹ и φⁿ⁻².
Посмотрим на сложение:
2 = 10,01ᵩ,
3 = 100,01ᵩ.
Складываем коэффициенты:
2 + 3 = 110,02ᵩ.
Но в стандартной записи разрешены только цифры 0 и 1, поэтому двойку нужно устранить. Используем правило
2φ⁻² = φ⁻¹ + φ⁻⁴.
Получаем
110,02ᵩ → 110,1001ᵩ.
Теперь в целой части стоят две соседние единицы:
110ᵩ → 1000ᵩ.
Поэтому
2 + 3 = 1000,1001ᵩ.
Проверим:
1000,1001ᵩ =
φ³ + φ⁻¹ + φ⁻⁴ = 5.
Получилась обычная пятёрка — но путь к ней совсем не похож на школьное сложение столбиком.
Здесь работают два правила нормализации:
соседние единицы объединяются благодаря
φⁿ + φⁿ⁻¹ = φⁿ⁺¹,
а появившаяся цифра 2 распадается по правилу
2φⁿ = φⁿ⁺¹ + φⁿ⁻².
Поэтому перенос уже не движется только справа налево. Он может одновременно породить разряды по обе стороны от исходного — и даже перескочить через запятую.
В системе с целым основанием правила переноса задаются самим основанием. Здесь их задаёт алгебраическое равенство φ²=φ+1.
Поэтому перенос здесь может идти не только влево: соотношение φ²=φ+1 заставляет его распространяться сразу по нескольким разрядам. | 636 |
| 13 | В системе с основанием φ будем использовать стандартную запись без соседних единиц.
Известно: 2 = 10,01ᵩ, 3 = 100,01ᵩ.
Какая стандартная запись получится для 2 + 3? | 596 |
| 14 | Одна двойка — много записей
В системе с основанием φ запись числа может быть не единственной.
Например, из φ² = φ+1
следует φ⁻¹+φ⁻² = 1,
поэтому 2 = 1,11ᵩ.
Но верно и 2 = φ+φ⁻² = 10,01ᵩ.
Более того, конечных записей числа 2 бесконечно много.
Поскольку 100 ⟷ 011,
можно заменять в любых трёх соседних разрядах, не меняя числа, получаем:
2 = 10,01ᵩ =
= 10,0011ᵩ =
= 10,001011ᵩ =
= 10,00101011ᵩ =
= …
Чтобы выбрать одну запись, вводят правило: две единицы не должны стоять рядом.
Тогда стандартная запись двойки — 10,01ᵩ.
Дополнительное правило возвращает системе то, чего у неё не было изначально: единственность записи. | 666 |
| 15 | 1 + 1
В привычной позиционной системе веса разрядов равны
1, b, b², b³, …
Но основание b вовсе не обязано быть целым.
Возьмём золотое сечение
φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618.
Будем использовать только цифры 0 и 1, а разрядам приписывать веса
…, φ⁻², φ⁻¹, 1, φ, φ², φ³, …
Получается система счисления с основанием φ.
Главное свойство золотого сечения:
φ² = φ + 1.
Поэтому две записи — 11ᵩ и 100ᵩ — обозначают одно и то же число:
φ + 1 = φ².
То есть здесь сразу возникает необычный «перенос»:
011 → 100.
Он очень напоминает фибоначчиеву систему, где два соседних веса тоже заменяются следующим:
Fₙ + Fₙ₊₁ = Fₙ₊₂.
Связь не случайна:
φ² = φ + 1,
φ³ = 2φ + 1,
φ⁴ = 3φ + 2,
φ⁵ = 5φ + 3, …
Коэффициентами здесь снова становятся числа Фибоначчи.
Но есть ещё более странный эффект.
Чему равно 1+1?
Запись 10ᵩ означает просто φ, а 11ᵩ — φ+1=φ². Ни то ни другое не равно 2.
Используем равенство φ² = φ+1.
Из него следует φ⁻² = 2−φ.
Поэтому 2 = φ + φ⁻².
Значит, 2 = 10,01ᵩ.
Так в системе с иррациональным основанием обычное целое число неожиданно получает цифры после запятой.
Арифметика продолжает работать:
3 = φ² + φ⁻²,
Поэтому 3 = 100,01ᵩ.
А 4 = φ² + 1 + φ⁻²,
то есть 4 = 101,01ᵩ.
Из-за равенства 011ᵩ = 100ᵩ
запись, вообще говоря, не единственна. Поэтому, как и в фибоначчиевой системе, для натуральных чисел запрет соседних единиц выделяет единственную стандартную запись.
В системе Цекендорфа разрядными весами были
1, 2, 3, 5, 8, …
а перенос определялся рекуррентным соотношением Фибоначчи.
Теперь разрядные веса —
…, φ⁻², φ⁻¹, 1, φ, φ², …
но то же соотношение уже заключено в самом основании:
φ² = φ+1.
То, что в фибоначчиевой системе задавалось рекуррентным правилом разрядов, здесь выполняется автоматически из алгебраического свойства самого основания. | 820 |
| 16 | Пусть основанием системы счисления служит золотое сечение φ = (1+√5)/2. Разрешены только цифры 0 и 1.
Как будет записано число 2? | 676 |
| 17 | Сколько стоит запрет 11
В фибоначчиевой записи нельзя использовать два соседних числа Фибоначчи. Поэтому в соответствующей строке из нулей и единиц запрещена комбинация 11.
Насколько сильно это ограничение уменьшает число возможных записей?
Пусть Aₙ — число двоичных строк длины n без соседних единиц.
Разделим их на два типа.
Если строка заканчивается нулём, перед ним может стоять любая допустимая строка длины n−1. Таких Aₙ₋₁.
Если строка заканчивается единицей, предыдущий символ обязан быть нулём. Поэтому перед окончанием 01 может стоять любая допустимая строка длины n−2. Таких Aₙ₋₂.
Получаем
Aₙ = Aₙ₋₁ + Aₙ₋₂.
С начальными значениями A₁ = 2, A₂ = 3
получается 2, 3, 5, 8, 13, 21, …,
то есть Aₙ = Fₙ₊₂.
Поэтому для десяти разрядов имеется не 2¹⁰ = 1024,
а только F₁₂ = 144 допустимые строки.
Это и есть цена запрета 11.
Но числа Фибоначчи растут примерно как степени золотого сечения
φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618.
Точнее, Fₙ ≈ φⁿ/√5.
Значит, число допустимых строк длины n растёт примерно как φⁿ, тогда как число обычных двоичных строк — как 2ⁿ.
В логарифмическом масштабе один обычный двоичный разряд несёт 1 бит информации, а на один разряд приходится асимптотически log₂φ ≈ 0,694 бита информации.
Иными словами, чтобы закодировать то же количество вариантов, фибоначчиевых разрядов требуется примерно в 1/log₂φ ≈ 1,44 раза больше, чем двоичных.
Например, 100 обычных двоичных разрядов по ёмкости соответствуют примерно 144 фибоначчиевым.
Так что фибоначчиева запись проигрывает двоичной в компактности.
Но тот же самый запрет 11 даёт другое преимущество: комбинацию 11 можно использовать как признак конца числа и передавать последовательность чисел без внешних разделителей.
Получается характерный обмен:
запрет уменьшает число допустимых записей, зато создаёт структуру, которой у обычной двоичной записи нет.
А скорость роста этой структуры определяется тем же числом φ, которое появляется во всей последовательности Фибоначчи. | 790 |
| 18 | Обычная двоичная строка длины 10 имеет 2¹⁰ = 1024 возможных вариантов.
А сколько строк длины 10 остаётся, если запретить две единицы подряд? | 624 |
| 19 | Код без разделителей
В фибоначчиевой системе каждое натуральное число единственным образом представляется суммой несоседних чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Первый символ относится к весу 1, второй — к весу 2 и так далее. Поэтому нули в начале здесь значимы.
Используем главное свойство представления Цекендорфа: соседние числа Фибоначчи одновременно не используются.
Поэтому внутри такой последовательности никогда не встречается 11. Эта комбинация остаётся свободной.
Чтобы отметить конец числа, достаточно приписать ещё одну единицу. Например, для числа 57:
010000001 → 0100000011.
Появившаяся в конце пара 11 служит меткой окончания.
Теперь несколько кодов можно записывать подряд без пробелов.
Первая единица заключительной пары 11 — последний коэффициент самого числа, вторая — специально приписанная служебная единица.
Такой способ называется кодом Фибоначчи. Он саморазделяющийся: длину каждого числа заранее знать не требуется.
Если просто записывать обычные двоичные представления одно за другим, приходится отдельно сообщать их длины или использовать разделители.
А здесь сам запрет на соседние единицы создаёт комбинацию, которую можно отдать под знак конца.
Запрещённая внутри записи комбинация становится естественной границей между числами. | 677 |
| 20 | Число 57 представлено в фиббоначиевой системе как 57 = 55 + 2.
Выписываем коэффициенты при весах 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 от меньших к большим. Получаем 010000001.
Как отметить конец числа, не вводя отдельный разделитель? | 654 |
