Фулл и точка
Kanalga Telegram’da o‘tish
Канал по олимпиадной математике. Да что там по математике — по геометрии:) https://www.youtube.com/@fullandpoint
Ko'proq ko'rsatish3 058
Obunachilar
Ma'lumot yo'q24 soatlar
+27 kun
+5030 kun
Ma'lumotlar yuklanmoqda
O'xshash kanallar
Taglar buluti
Kirish va chiqish esdaliklari
---
---
---
---
---
---
Obunachilarni jalb qilish
Noyabr '26Noy '26
Noyabr '26
+2
0 kanalda
Oktabr '26
+84
2 kanalda
Get PRO
Sentabr '26
+97
5 kanalda
Get PRO
Avgust '26
+57
2 kanalda
Get PRO
Iyul '26
+100
6 kanalda
Get PRO
Iyun '26
+71
0 kanalda
Get PRO
May '26
+64
1 kanalda
Get PRO
Aprel '26
+99
2 kanalda
Get PRO
Mart '26
+94
5 kanalda
Get PRO
Fevral '26
+169
2 kanalda
Get PRO
Yanvar '26
+231
3 kanalda
Get PRO
Dekabr '25
+99
0 kanalda
Get PRO
Noyabr '25
+135
4 kanalda
Get PRO
Oktabr '25
+162
1 kanalda
Get PRO
Sentabr '25
+130
1 kanalda
Get PRO
Avgust '25
+134
4 kanalda
Get PRO
Iyul '25
+208
3 kanalda
Get PRO
Iyun '25
+45
1 kanalda
Get PRO
May '25
+82
2 kanalda
Get PRO
Aprel '25
+245
3 kanalda
Get PRO
Mart '25
+69
1 kanalda
Get PRO
Fevral '25
+99
1 kanalda
Get PRO
Yanvar '25
+226
2 kanalda
Get PRO
Dekabr '24
+104
1 kanalda
Get PRO
Noyabr '24
+198
4 kanalda
Get PRO
Oktabr '24
+287
2 kanalda
Get PRO
Sentabr '24
+759
3 kanalda
| Sana | Obunachilarni jalb qilish | Esdaliklar | Kanallar | |
| 02 Noyabr | +1 | |||
| 01 Noyabr | +1 |
Kanal postlari
#геом_разминка #hard #10
Задача. Центрально-симметричные треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴′𝐵′𝐶′ имеют общую вписанную окружность 𝛾 с центром 𝐼. На прямых 𝐵′𝐶′, 𝐶′𝐴′ и 𝐴′𝐵′ выбраны соответственно точки 𝐴₂, 𝐵₂ и 𝐶₂ так, что 𝐴𝐴₂ ∥ 𝐵𝐵₂ ∥ 𝐶𝐶₂.
Докажите, что точки 𝐴₂, 𝐵₂ и 𝐶₂ лежат на одной прямой, касающейся окружности 𝛾.
| 2 |  #на_ночь_глядя #по_факту
К Хэллоуину один знакомый геометрический факт примерил костюм летучей мыши 🦇🌘
Узнали, какой факт здесь спрятался? Ждём ответов в комментах 🎃 | 1 093 |
| 3 |  #геом_разминка #easy #8
Сегодня 24.10.26 — день, когда числа, образующие дату, составляют пифагорову тройку. Это последний такой день в этом столетии 💯
Поздравляем подписчиков и предлагаем решить праздничную задачу 🥳
Задача. Боковые стороны трапеции равны 10 и 24, а разность оснований равна 26. Найдите расстояние между серединами оснований. | 2 130 |
| 4 | Тургор осень 2026. Сложный.pdf | 2 642 |
| 5 |  +1Вчера прошел сложный тур Турнира Городов. Как обычно, делимся условиями задач 🔥
Задача. Внутри правильного шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 взяты точки 𝐼 и 𝐽 так, что четырёхугольник 𝐴𝐼𝐷𝐽 выпуклый. Область шестиугольника вне этого четырёхугольника разбита на шесть треугольников, окрашенных в красный и синий цвета, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.**
Задача. Дан выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с равными диагоналями. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 как на основаниях построены во внешнюю сторону подобные равнобедренные треугольники 𝐴𝐵𝑃 и 𝐶𝐷𝑄, а на сторонах 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — подобные равнобедренные треугольники 𝐴𝐷𝑅 и 𝐵𝐶𝑆. Найдите угол между прямыми 𝑃𝑄 и 𝑅𝑆. | 2 376 |
| 6 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей. Известно, что 𝑂 ≠ 𝐼 и прямая 𝑂𝐼 параллельна стороне 𝐵𝐶. Высоты из вершин 𝐶 и 𝐵 пересекают стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐹 соответственно. Докажите, что 𝐵𝐷 + 𝐶𝐹 = 𝐵𝐶. | 1 954 |
| 7 | Ассара 2026.pdf | 2 753 |
| 8 |  #на_ночь_глядя
Симпатичная задача с олимпиады Ассара от Павла Александровича.
Задача. Даны два пятиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 и 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′, описанные вокруг окружностей 𝜔 и 𝜔′. Длины их сторон равны 𝐴𝐵 = 101, 𝐵𝐶 = 103, 𝐶𝐷 = 105, 𝐷𝐸 = 107, 𝐸𝐴 = 104; 𝐴′𝐵′ = 102, 𝐵′𝐶′ = 106, 𝐶′𝐷′ = 105, 𝐷′𝐸′ = 104, 𝐸′𝐴′ = 103. Докажите, что окружности 𝜔 и 𝜔′ равны | 6 843 |
| 9 |  #геом_разминка #easy #8
Задачка с прошедшей вчера московской математической регаты ⛵
Задача. Стороны трапеции имеют длины 20 см, 22 см, 24 см, 26 см. Какие из них могут быть основаниями трапеции? | 2 414 |
| 10 | Тургор осень 2026. Базовый.pdf | 2 954 |
| 11 |  #на_ночь_глядя
Публикуем условия базового тура Турнира Городов, который прошел вчера. В младших классах была вот такая геомка от Максима Волчкевича.
Задача. Диагонали параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. На его стороне 𝐵𝐶 взяли такую точку 𝑀, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что отрезок 𝑂𝑀 равен половине стороны параллелограмма. | 2 637 |
| 12 |  #ЮМТ #геом_разминка #medium #8
Заканчиваем обзор финалов турнира задачей Юниор-лиги
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на сторонах 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 так, что 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐴 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝐹𝐴. Прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝑃𝐸𝐹 лежит на прямой 𝐵𝐶. | 2 590 |
| 13 |  #ЮМТ #геом_разминка #easy #7
Задача. Сегодня предлагаем посмотреть на простенькую задачку с финала Старт-лиги.В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены медианы 𝐵𝐵′ и 𝐶𝐶′, пересекающиеся в точке 𝑀. На отрезках 𝑀𝐵′ и 𝑀𝐶′ выбраны соответственно точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑀 = 𝐶𝑋 = 𝐵𝑌. Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐶 = ∠𝐵𝑌𝐶′ + ∠𝐶𝑋𝐵′. | 2 604 |
| 14 |  #ЮМТ #геом_разминка #medium #9
На Южном турнире в боях за 5-7 место Гранд–лиги предлагалась вот такая геомка от авторов нашего канала, снова придуманная ночью 🌌 перед туром
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐼 — центр вписанной окружности. Биссектриса 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷, а описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — в точке 𝑁 (отличной от 𝐴). На отрезке 𝐶𝑁 взята такая точка 𝐸, что 𝐸𝑁 = 𝐷𝑁. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐷𝐵 и 𝐴𝐼𝐶, пересекаются повторно в точке 𝐹. Докажите, что 𝐵𝐶 — биссектриса угла 𝐹𝐵𝐸. | 2 391 |
| 15 | #ЮМТ #красота_спасет_мир
Завершился 21 Южный математический турнир ☀️🐬
Как и в прошлом году, мы подготовили для вас сборник 📘 задач. В него вошли любимые 💜 геометрии юбилейного 20 Южного турнира.
К каждой задаче мы привели подробный разбор и краткую теорию со ссылками на литературу, если захочется познакомиться с каким-нибудь методом поближе. И ещё в книжке много картинок 🎨
Предлагаем вам вспомнить турнир 2025 года — и, может быть, решить что-нибудь заново. Приятного чтения) | 9 582 |
| 16 | Завершился 21 Южный математический турнир ☀️🐬
Как и в прошлом году, мы подготовили для вас сборник 📘 задач. В него вошли любимые 💜 геометрии юбилейного 20 Южного турнира.
К каждой задаче мы привели подробный разбор и краткую теорию со ссылками на литературу, если захочется познакомиться с каким-нибудь методом поближе. И ещё в книжке много картинок 🎨
Предлагаем вам вспомнить турнир 2025 года — и, может быть, решить что-нибудь заново. Приятного чтения) | 2 |
| 17 |  +2#ЮМТ #красота_спасет_мир
Финал южного турнира подошел к концу. Первоначально в тур гранд-лиги вошел шедевр 🖼 от Владимира Конышева.
Задача. Окружность 𝜔 с центром 𝐼 вписана в неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝑇𝑎, 𝑇𝑏 и 𝑇𝑐 соответственно. Произвольная прямая ℓ проходит через 𝐼. Пусть 𝐾𝑎 — отражение 𝑇𝑎 относительно ℓ, а 𝜔𝑎 — окружность, касающаяся 𝜔 и проходящая через точки 𝐴 и 𝐾𝑎. Аналогично определим окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐. Докажите, что существует окружность Γ, касающаяся окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 (окружность Γ может иметь нулевой радиус).
После начала тура команда Летово сообщила, что ей знаком этот сюжет, более того, они помнят план решения обобщения задачи.
Обобщение состоит в том, что вместо точек 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 и 𝐾𝑐 можно взять произвольные три точки на вписанной окружности так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках был перспективен треугольнику 𝑇𝑎𝑇𝑏𝑇𝑐.
В открытых источниках жюри нашло только формулировку обобщения задачи, без полного ее решения. Жюри обобщенную задачу решать не умеет. Будем рады услышать решение от команды Летово в комментариях👇
Тем не менее, задача была заменена на следующую за авторством Леонида Шатунова.
Задача. Положим 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Пусть также 𝐼 — инцентр, 𝑀 — точка пересечения медиан. Отразим точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 относительно прямой 𝐼𝑀 — получим точки 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′. Докажите, что изотомически сопряжённые прямые для 𝐴𝐷′, 𝐵𝐸′, 𝐶𝐹′ пересекаются на вписанной окружности.
Кроме того, в бою предлагалась интересная геометрия от Александра Петрашеня.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — проекции этой точки на стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Точки 𝑍 и 𝑇 выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑍 = 𝐵𝑋 и 𝐶𝑇 = 𝐴𝑌. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑀𝑍𝑇 лежит на прямой 𝑀𝐻, где 𝐻 — точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶. | 2 870 |
| 18 | +2 ФИНАЛ_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 2 133 |
| 19 | +5 ПФ_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 3 035 |
| 20 |  +1#на_ночь_глядя #ЮМТ
Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы?
Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿.
Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия полуфинала в боях не сыграла:
Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃.
В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного.
Уже завтра определится победитель 🏆 турнира. | 1 375 |
