Фулл и точка
Kanalga Telegram’da o‘tish
Канал по олимпиадной математике. Да что там по математике — по геометрии:) https://www.youtube.com/@fullandpoint
Ko'proq ko'rsatish3 026
Obunachilar
Ma'lumot yo'q24 soatlar
+107 kun
+8130 kun
Ma'lumot yuklanmoqda...
O'xshash kanallar
Taglar buluti
Kirish va chiqish esdaliklari
---
---
---
---
---
---
Obunachilarni jalb qilish
Oktabr '26Okt '26
Oktabr '26
+27
0 kanalda
Sentabr '26
+97
4 kanalda
Get PRO
Avgust '26
+57
2 kanalda
Get PRO
Iyul '26
+100
6 kanalda
Get PRO
Iyun '26
+71
0 kanalda
Get PRO
May '26
+64
1 kanalda
Get PRO
Aprel '26
+99
2 kanalda
Get PRO
Mart '26
+94
5 kanalda
Get PRO
Fevral '26
+169
2 kanalda
Get PRO
Yanvar '26
+231
3 kanalda
Get PRO
Dekabr '25
+99
0 kanalda
Get PRO
Noyabr '25
+135
4 kanalda
Get PRO
Oktabr '25
+162
1 kanalda
Get PRO
Sentabr '25
+130
1 kanalda
Get PRO
Avgust '25
+134
4 kanalda
Get PRO
Iyul '25
+208
3 kanalda
Get PRO
Iyun '25
+45
1 kanalda
Get PRO
May '25
+82
2 kanalda
Get PRO
Aprel '25
+245
3 kanalda
Get PRO
Mart '25
+69
1 kanalda
Get PRO
Fevral '25
+99
1 kanalda
Get PRO
Yanvar '25
+226
2 kanalda
Get PRO
Dekabr '24
+104
1 kanalda
Get PRO
Noyabr '24
+198
4 kanalda
Get PRO
Oktabr '24
+287
2 kanalda
Get PRO
Sentabr '24
+759
3 kanalda
| Sana | Obunachilarni jalb qilish | Esdaliklar | Kanallar | |
| 08 Oktabr | +4 | |||
| 07 Oktabr | +4 | |||
| 06 Oktabr | +2 | |||
| 05 Oktabr | +4 | |||
| 04 Oktabr | +1 | |||
| 03 Oktabr | +3 | |||
| 02 Oktabr | +5 | |||
| 01 Oktabr | +4 |
Kanal postlari
| 2 |  #на_ночь_глядя
Публикуем условия базового тура Турнира Городов, который прошел вчера. В младших классах была вот такая геомка от Максима Волчкевича.
Задача. Диагонали параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. На его стороне 𝐵𝐶 взяли такую точку 𝑀, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что отрезок 𝑂𝑀 равен половине стороны параллелограмма. | 1 243 |
| 3 |  #ЮМТ #геом_разминка #medium #8
Заканчиваем обзор финалов турнира задачей Юниор-лиги
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на сторонах 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 так, что 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐴 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝐹𝐴. Прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝑃𝐸𝐹 лежит на прямой 𝐵𝐶. | 1 285 |
| 4 |  #ЮМТ #геом_разминка #easy #7
Задача. Сегодня предлагаем посмотреть на простенькую задачку с финала Старт-лиги.В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены медианы 𝐵𝐵′ и 𝐶𝐶′, пересекающиеся в точке 𝑀. На отрезках 𝑀𝐵′ и 𝑀𝐶′ выбраны соответственно точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑀 = 𝐶𝑋 = 𝐵𝑌. Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐶 = ∠𝐵𝑌𝐶′ + ∠𝐶𝑋𝐵′. | 1 655 |
| 5 |  #ЮМТ #геом_разминка #medium #9
На Южном турнире в боях за 5-7 место Гранд–лиги предлагалась вот такая геомка от авторов нашего канала, снова придуманная ночью 🌌 перед туром
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐼 — центр вписанной окружности. Биссектриса 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷, а описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — в точке 𝑁 (отличной от 𝐴). На отрезке 𝐶𝑁 взята такая точка 𝐸, что 𝐸𝑁 = 𝐷𝑁. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐷𝐵 и 𝐴𝐼𝐶, пересекаются повторно в точке 𝐹. Докажите, что 𝐵𝐶 — биссектриса угла 𝐹𝐵𝐸. | 1 769 |
| 6 | #ЮМТ #красота_спасет_мир
Завершился 21 Южный математический турнир ☀️🐬
Как и в прошлом году, мы подготовили для вас сборник 📘 задач. В него вошли любимые 💜 геометрии юбилейного 20 Южного турнира.
К каждой задаче мы привели подробный разбор и краткую теорию со ссылками на литературу, если захочется познакомиться с каким-нибудь методом поближе. И ещё в книжке много картинок 🎨
Предлагаем вам вспомнить турнир 2025 года — и, может быть, решить что-нибудь заново. Приятного чтения) | 7 431 |
| 7 | Завершился 21 Южный математический турнир ☀️🐬
Как и в прошлом году, мы подготовили для вас сборник 📘 задач. В него вошли любимые 💜 геометрии юбилейного 20 Южного турнира.
К каждой задаче мы привели подробный разбор и краткую теорию со ссылками на литературу, если захочется познакомиться с каким-нибудь методом поближе. И ещё в книжке много картинок 🎨
Предлагаем вам вспомнить турнир 2025 года — и, может быть, решить что-нибудь заново. Приятного чтения) | 2 |
| 8 |  +2#ЮМТ #красота_спасет_мир
Финал южного турнира подошел к концу. Первоначально в тур гранд-лиги вошел шедевр 🖼 от Владимира Конышева.
Задача. Окружность 𝜔 с центром 𝐼 вписана в неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝑇𝑎, 𝑇𝑏 и 𝑇𝑐 соответственно. Произвольная прямая ℓ проходит через 𝐼. Пусть 𝐾𝑎 — отражение 𝑇𝑎 относительно ℓ, а 𝜔𝑎 — окружность, касающаяся 𝜔 и проходящая через точки 𝐴 и 𝐾𝑎. Аналогично определим окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐. Докажите, что существует окружность Γ, касающаяся окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 (окружность Γ может иметь нулевой радиус).
После начала тура команда Летово сообщила, что ей знаком этот сюжет, более того, они помнят план решения обобщения задачи.
Обобщение состоит в том, что вместо точек 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 и 𝐾𝑐 можно взять произвольные три точки на вписанной окружности так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках был перспективен треугольнику 𝑇𝑎𝑇𝑏𝑇𝑐.
В открытых источниках жюри нашло только формулировку обобщения задачи, без полного ее решения. Жюри обобщенную задачу решать не умеет. Будем рады услышать решение от команды Летово в комментариях👇
Тем не менее, задача была заменена на следующую за авторством Леонида Шатунова.
Задача. Положим 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Пусть также 𝐼 — инцентр, 𝑀 — точка пересечения медиан. Отразим точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 относительно прямой 𝐼𝑀 — получим точки 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′. Докажите, что изотомически сопряжённые прямые для 𝐴𝐷′, 𝐵𝐸′, 𝐶𝐹′ пересекаются на вписанной окружности.
Кроме того, в бою предлагалась интересная геометрия от Александра Петрашеня.
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — проекции этой точки на стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Точки 𝑍 и 𝑇 выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑍 = 𝐵𝑋 и 𝐶𝑇 = 𝐴𝑌. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑀𝑍𝑇 лежит на прямой 𝑀𝐻, где 𝐻 — точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶. | 1 886 |
| 9 | +2 ФИНАЛ_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 1 449 |
| 10 | +5 ПФ_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 2 252 |
| 11 |  +1#на_ночь_глядя #ЮМТ
Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы?
Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿.
Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия полуфинала в боях не сыграла:
Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃.
В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного.
Уже завтра определится победитель 🏆 турнира. | 1 345 |
| 12 | +3 3тур_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 1 307 |
| 13 |  +1Подошел к концу третий тур боев. Сегодня было две геометрии, первая из которых — авторская от Владимира Конышева.
Задача. Диагонали трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶) пересекаются в точке 𝑂. На прямой 𝐵𝐶 отмечена точка 𝑅 такая, что 𝑅𝐴 = 𝑅𝐷. На прямой 𝐴𝐷 отмечена точка 𝑆 такая, что 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐵𝑂 и 𝐶𝐷𝑂, пересекаются в точке 𝐾 (отличной от 𝑂). Докажите, что точка 𝐾 лежит на прямой 𝑅𝑆.
Задача. Пусть 𝑀 — точка пересечения медиан остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶, а 𝑃 — точка на меньшей дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности. Из точки 𝑃 опустили перпендикуляр 𝑃𝑄 на сторону 𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана на прямой 𝑀𝑄 так, что 𝐴𝑋 ‖ 𝐵𝐶. Точка 𝑆 — середина отрезка 𝑃𝑋. Докажите, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑆𝐴𝐶.
Уже завтра состоятся полуфинальные матчи, желаем участникам удачи 🍀 | 1 305 |
| 14 | +3 2тур_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 1 666 |
| 15 |  #ЮМТ #красота_спасет_мир
Подошел к концу второй тур матбоев. В гранд лиге была красивая геометрия от Александра Петрашеня.
Задача. Высоты остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐻. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 выбраны точки 𝑃 и 𝑄 соответственно так, что отрезок 𝑃𝑄 проходит через 𝐻. Перпендикуляр к 𝐴𝐵, проведённый через 𝑃, пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝑋; перпендикуляр к 𝐴𝐶, проведённый через 𝑄, пересекает сторону 𝐵𝐶 в отличной от 𝑋 точке 𝑌. Отрезки 𝑃𝑋 и 𝑄𝑌 пересекаются в точке 𝑍. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝑋𝑌𝑍 и 𝐴𝐵𝐶, касаются.
Завтра на Южном турнире день отдыха. Жюри собирается отправиться в горы ⛰️ Желаем участникам хорошо отдохнуть и восполнить силы перед ответственными поединками 🥊) | 1 665 |
| 16 | +3 1тур_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 1 774 |
| 17 |  +1Бои ⚔️ первого дня завершены. Делимся условиями: сегодня было две геометрии в гранд-лиге.
Первая простенькая задачка была от авторов нашего канала, придуманная в вечер перед туром.
Задача. На сторонах 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбраны соответственно точки 𝑋, 𝑌, 𝑍 так, что четырёхугольник 𝑋𝐴𝑌𝑍 является параллелограммом. Окружность, проходящая через 𝑌 и 𝑍 и касающаяся прямой 𝐵𝐶 в точке 𝑍, пересекает прямую 𝑋𝑌 в двух различных точках 𝑌 и 𝑇 . Докажите, что точки 𝑇, 𝑌, 𝐶, 𝐵 лежат на одной окружности.
Вторая — от Чуйко Александра и Ячного Арсения.
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 высоты 𝐴𝐴₁, 𝐵𝐵₁, 𝐶𝐶₁ пересекаются в точке 𝐻. Пусть 𝑋 — точка пересечения прямой 𝐵₁𝐶₁ с описанной окружностью треугольника 𝐴𝐻𝐶, лежащая вне треугольника 𝐴𝐵𝐶. Описанные окружности треугольников 𝑋𝐵₁𝐻 и 𝐴𝐻𝐵 вторично пересекаются в точке 𝑇, отличной от 𝐻. Докажите, что 𝑇 лежит на описанной окружности треугольника 𝐴₁𝐵₁𝐶₁.
Погода отличная, море бодрящее 🏖 | 5 794 |
| 18 | +2 Комол_ЮжТур26_ГРАНД.pdf | 1 649 |
| 19 |  +1#ЮМТ
Начался Южный математический турнир ☀️ Как обычно, мы будем держать вас в курсе событий 🔥
Сегодня в варианте командной олимпиады старших было целых четыре геометрии 📐 Две из них — классические: та, что попроще авторства Чуйко Александра в обработке Павла Александровича, та, что посложнее авторства Владимира Конышева.
Задача. Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, диагонали которого пересекаются в точке 𝐾. Точка 𝑃 такова, что ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐶𝐷 = 90°. Точка 𝑄 такова, что ∠𝐴𝐵𝑄 = ∠𝐶𝐷𝑄 = 90°. Докажите, что окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐵 и 𝐶𝐾𝐷, повторно пересекаются на прямой 𝑃𝑄.
Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 отмечены основания биссектрис из углов 𝐵, 𝐶 — 𝐿𝑏, 𝐿𝑐 соответственно. Пусть 𝑙𝑐 — прямая, являющаяся отражением прямой 𝐴𝐶 относительно 𝐵𝐿𝑏, аналогично определим 𝑙𝑏. Пусть 𝐾 — точка пересечения 𝑙𝑏 и 𝑙𝑐. Точки 𝑂, 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Докажите, что прямые 𝐴𝐾, 𝐿𝑏𝐿𝑐, 𝑂𝐼 пересекаются в одной точке или параллельны. | 4 670 |
| 20 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Пусть 𝑃 и 𝑄 — изогонально сопряжённы в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана так, что 𝑄𝑋 ⊥ 𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝑃𝐴 вторично пересекает (𝐴𝐵𝐶) в точке 𝐾. Кроме того, прямая 𝐴𝑄 вторично пересекает (𝐴𝐵𝐶) в точке 𝑇. Докажите, что точки 𝐾, 𝑋 и 𝑇 коллинеарны. | 2 000 |
