Фулл и точка
Kanalga Telegram’da o‘tish
Канал по олимпиадной математике. Да что там по математике — по геометрии:) https://www.youtube.com/@fullandpoint
Ko'proq ko'rsatish2 885
Obunachilar
+424 soatlar
+127 kunlar
+4830 kunlar
Ma'lumot yuklanmoqda...
O'xshash kanallar
Taglar buluti
Kirish va chiqish esdaliklari
---
---
---
---
---
---
Obunachilarni jalb qilish
Iyul '26
Iyul '26
+23
1 kanalda
Iyun '26
+71
0 kanalda
Get PRO
May '26
+64
1 kanalda
Get PRO
Aprel '26
+99
2 kanalda
Get PRO
Mart '26
+94
5 kanalda
Get PRO
Fevral '26
+169
2 kanalda
Get PRO
Yanvar '26
+231
3 kanalda
Get PRO
Dekabr '25
+99
0 kanalda
Get PRO
Noyabr '25
+135
3 kanalda
Get PRO
Oktabr '25
+162
1 kanalda
Get PRO
Sentabr '25
+130
1 kanalda
Get PRO
Avgust '25
+134
4 kanalda
Get PRO
Iyul '25
+208
3 kanalda
Get PRO
Iyun '25
+45
1 kanalda
Get PRO
May '25
+82
2 kanalda
Get PRO
Aprel '25
+245
3 kanalda
Get PRO
Mart '25
+69
1 kanalda
Get PRO
Fevral '25
+99
1 kanalda
Get PRO
Yanvar '25
+226
2 kanalda
Get PRO
Dekabr '24
+104
1 kanalda
Get PRO
Noyabr '24
+198
4 kanalda
Get PRO
Oktabr '24
+287
2 kanalda
Get PRO
Sentabr '24
+759
3 kanalda
| Sana | Obunachilarni jalb qilish | Esdaliklar | Kanallar | |
| 08 Iyul | +1 | |||
| 07 Iyul | +4 | |||
| 06 Iyul | +5 | |||
| 05 Iyul | +6 | |||
| 04 Iyul | +6 | |||
| 03 Iyul | +1 | |||
| 02 Iyul | 0 | |||
| 01 Iyul | 0 |
Kanal postlari
#геом_разминка #easy #8
Задача. Пусть 𝐼 — точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. Обозначим через 𝐴', 𝐵', 𝐶' точки, симметричные 𝐼 относительно сторон треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что окружность, описанная около треугольника 𝐴'𝐵'𝐶', проходит через вершину 𝐵 тогда и только тогда, когда ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°.
| 2 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Круг поделили хордой 𝐴𝐵 на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки 𝐴. При этом повороте точка 𝐵 перешла в точку 𝐷. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка 𝐵𝐷, перпендикулярны друг другу. | 1 366 |
| 3 |  #геом_разминка #medium #7
Задача. Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку? | 1 399 |
| 4 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑇, из которой все стороны видны под углом 120°. Докажите, что 2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) ⩾ 4𝐴𝑇 + 3𝐵𝑇 + 2𝐶𝑇. | 1 412 |
| 5 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐵𝑃𝐶𝑄 — параллелограмм (𝑃 не лежит на 𝐵𝐶). Пусть 𝑈 — точка пересечения 𝐶𝐴 и 𝐵𝑃, 𝑉 — точка пересечения 𝐴𝐵 и 𝐶𝑃, 𝑋 — точка пересечения 𝐶𝐴 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝑄, отличная от 𝐴, а 𝑌 — точка пересечения 𝐴𝐵 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐶𝑄, отличная от 𝐴. Докажите, что 𝐵𝑈 = 𝐶𝑉 тогда и только тогда, когда прямые 𝐴𝑄, 𝐵𝑋 и 𝐶𝑌 пересекаются в одной точке. | 1 724 |
| 6 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный в окружность 𝜔 четырёхугольник. Точки 𝐵₁ и 𝐷₁ симметричны точке 𝐴 относительно середин 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 соответственно. Пусть (𝐶𝐵₁𝐷₁) пересекает 𝜔 в 𝐶 и 𝐺. Докажите, что 𝐴𝐺 — диаметр 𝜔. | 1 771 |
| 7 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐵𝐶, вписанный в красную окружность. В меньшие сегменты, стягиваемые хордами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, вписали синюю и зелёную окружности соответственно. Обозначим точку касания красной и синей окружностей через 𝑋, а точку касания красной и зелёной окружностей через 𝑌. Общая внешняя касательная к синей и зелёной окружностям пересекает отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑄 и 𝑃 соответственно. Докажите, что прямые 𝑄𝑋 и 𝑃𝑌 пересекаются на высоте треугольника 𝐴𝐵𝐶, опущенной из точки 𝐴. | 1 787 |
| 8 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. На стороне 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 так, что 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 и треугольник 𝐴𝐷𝐸 – остроугольный. На дуге 𝐷𝐸 описанной окружности треугольника 𝐴𝐷𝐸, не содержащей точку 𝐴, нашлись такие точки 𝑃 и 𝑄, что 𝐴𝐵 = 𝑃𝐶 и 𝐴𝐶 = 𝐵𝑄. Докажите, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄. | 1 713 |
| 9 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник, а 𝑆𝑏, 𝑆𝑐 — середины сторон 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 соответственно. Докажите, что 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 тогда и только тогда, когда ∠𝐵𝑆𝑐𝐶 < ∠𝐵𝑆𝑏𝐶. | 2 041 |
| 10 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Все вершины шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 лежат на окружности с центром 𝑂, причём 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐸𝐹. Диагонали 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝐾. Пусть 𝑆 — центр описанной окружности треугольника, образованного прямыми 𝐴𝐹, 𝐵𝐶 и 𝐷𝐸. Докажите, что точки 𝐾, 𝑂 и 𝑆 лежат на одной прямой. | 2 031 |
| 11 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, пусть 𝐷 – середина стороны 𝐵𝐶. Вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные треугольники 𝐴𝐸𝐵 и 𝐴𝑍𝐶 с основаниями 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Известно, что 𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝑍 и ∠𝐴𝐸𝐵 = 2∠𝐴𝑍𝐶. Найдите ∠𝐸𝑍𝐷. | 2 016 |
| 12 |  #геом_разминка #easy #9
Задача. Две перпендикулярные хорды 𝐴𝑀, 𝐵𝑁 окружности пересекаются в точке 𝐾 и делят окружность на четыре дуги, длины которых попарно различны, причём 𝐴𝐵 — наименьшая из них. Проведём хорды 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 так, что 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶, а точки 𝐶, 𝐷 отличны от 𝑁, 𝑀. Пусть 𝐿 — точка пересечения 𝐷𝑁 и 𝑀𝐶, а 𝑇 — точка пересечения 𝐷𝐶 и 𝐾𝐿. Докажите, что 𝐾𝑁𝐷𝑇 – вписанный. | 2 025 |
| 13 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 описан около окружности 𝜔. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑃, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑄. Прямые 𝐴𝐶 и 𝑃𝑄 пересекаются в точке 𝑅. Пусть 𝑇 – точка окружности 𝜔, ближайшая к прямой 𝑃𝑄. Докажите, что прямая 𝑅𝑇 проходит через центр вписанной окружности треугольника 𝑃𝑄𝐶. | 2 106 |
| 14 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — трапеция с 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐷, и пусть ℓ — прямая, не пересекающая отрезки 𝐴𝐶 или 𝐵𝐷. Предположим, что ℓ пересекает прямые 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 соответственно. Докажите, что три окружности (𝐷𝑄𝑇), (𝐵𝑅𝑄) и (𝐵𝑃𝑆) пересекаются в одной точке. | 2 131 |
| 15 |  #геом_разминка #easy #11
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ – куб. На отрезках 𝐵𝐶 и 𝐷𝐷′ взяты точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, такие что 𝐵𝑀 = 𝐷𝑁. Докажите, что прямая 𝐴′𝑀 перпендикулярна плоскости (𝐴𝐵′𝑁). | 2 310 |
| 16 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Окружности Γ₁, Γ₂ и Γ₃ на плоскости попарно касаются внешним образом. Пусть 𝑃₂ – точка касания Γ₁ и Γ₃, а 𝑃₁ – точка касания Γ₂ и Γ₃. Рассмотрим точки 𝐴 и 𝐵 на окружности Γ₃, являющиеся диаметрально противоположными, такие что четырёхугольник 𝐴𝐵𝑃₁𝑃₂ выпуклый. Прямая 𝐴𝑃₂ вторично пересекает окружность Γ₁ в точке 𝑋, прямая 𝐵𝑃₁ вторично пересекает окружность Γ₂ в точке 𝑌, а прямые 𝐴𝑃₁ и 𝐵𝑃₂ пересекаются в точке 𝑍. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 лежат на одной прямой. | 2 438 |
| 17 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ортоцентром 𝐻. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 взяты точки 𝑍 и 𝑌 соответственно, причём ∠𝑍𝑂𝐵 = 90°, ∠𝑌𝑂𝐶 = 90°, где 𝑂 — центр описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что отражение 𝐻 относительно прямой 𝑌𝑍 лежит на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. | 2 225 |
| 18 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹, пересекающиеся в точке 𝐻. Пусть 𝐾 и 𝐿 – середины отрезков 𝐵𝐹 и 𝐶𝐸 соответственно. Прямая 𝐾𝐿 пересекает прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что окружности описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐿 и 𝐻𝑃𝑄 касаются. | 2 062 |
| 19 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Прямая, соединяющая середины диагоналей вписанного четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝑋, а продолжение прямой 𝐵𝐶 за точку 𝐶 в точке 𝑌. Докажите, что если точки 𝐴, 𝐶, 𝑋, 𝑌 лежат на одной окружности, то из отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 можно сложить прямоугольный треугольник. | 2 309 |
| 20 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан равнобедренный△𝐴𝐵𝐶 с тупым углом ∠𝐵𝐴𝐶. Пусть 𝜔 — окружность с центром в 𝐴 и радиусом 𝐴𝐵. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝐵𝑀 пересекает окружность 𝜔 второй раз в точке 𝐷. Пусть 𝐸 — точка на окружности 𝜔 такая, что 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶. Пусть 𝐷𝐸 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝑁. Докажите, что 𝐶𝑁 = 𝐴𝐵. | 2 537 |
