Available now! Telegram Research 2025 — the year's key insights 
Фулл и точка
Open in Telegram
Канал по олимпиадной математике. Да что там по математике — по геометрии:) https://www.youtube.com/@fullandpoint
Show more2 827
Subscribers
-424 hours
-87 days
+830 days
Data loading in progress...
Similar Channels
Tags Cloud
Incoming and Outgoing Mentions
---
---
---
---
---
---
Attracting Subscribers
June '26
June '26
+10
in 0 channels
May '26
+64
in 1 channels
Get PRO
April '26
+99
in 2 channels
Get PRO
March '26
+94
in 5 channels
Get PRO
February '26
+169
in 2 channels
Get PRO
January '26
+231
in 3 channels
Get PRO
December '25
+99
in 0 channels
Get PRO
November '25
+135
in 3 channels
Get PRO
October '25
+162
in 1 channels
Get PRO
September '25
+130
in 1 channels
Get PRO
August '25
+134
in 4 channels
Get PRO
July '25
+208
in 3 channels
Get PRO
June '25
+45
in 1 channels
Get PRO
May '25
+82
in 2 channels
Get PRO
April '25
+245
in 3 channels
Get PRO
March '25
+69
in 1 channels
Get PRO
February '25
+99
in 1 channels
Get PRO
January '25
+226
in 2 channels
Get PRO
December '24
+104
in 1 channels
Get PRO
November '24
+198
in 4 channels
Get PRO
October '24
+287
in 2 channels
Get PRO
September '24
+759
in 3 channels
| Date | Subscriber Growth | Mentions | Channels | |
| 17 June | +1 | |||
| 16 June | 0 | |||
| 15 June | 0 | |||
| 14 June | 0 | |||
| 13 June | 0 | |||
| 12 June | 0 | |||
| 11 June | +2 | |||
| 10 June | +1 | |||
| 09 June | +1 | |||
| 08 June | +1 | |||
| 07 June | 0 | |||
| 06 June | +1 | |||
| 05 June | +2 | |||
| 04 June | +1 | |||
| 03 June | 0 | |||
| 02 June | 0 | |||
| 01 June | 0 |
Channel Posts
#геом_разминка #medium #9
Задача. Все вершины шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 лежат на окружности с центром 𝑂, причём 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐸𝐹. Диагонали 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝐾. Пусть 𝑆 — центр описанной окружности треугольника, образованного прямыми 𝐴𝐹, 𝐵𝐶 и 𝐷𝐸. Докажите, что точки 𝐾, 𝑂 и 𝑆 лежат на одной прямой.
| 2 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, пусть 𝐷 – середина стороны 𝐵𝐶. Вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные треугольники 𝐴𝐸𝐵 и 𝐴𝑍𝐶 с основаниями 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Известно, что 𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝑍 и ∠𝐴𝐸𝐵 = 2∠𝐴𝑍𝐶. Найдите ∠𝐸𝑍𝐷. | 746 |
| 3 |  #геом_разминка #easy #9
Задача. Две перпендикулярные хорды 𝐴𝑀, 𝐵𝑁 окружности пересекаются в точке 𝐾 и делят окружность на четыре дуги, длины которых попарно различны, причём 𝐴𝐵 — наименьшая из них. Проведём хорды 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 так, что 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶, а точки 𝐶, 𝐷 отличны от 𝑁, 𝑀. Пусть 𝐿 — точка пересечения 𝐷𝑁 и 𝑀𝐶, а 𝑇 — точка пересечения 𝐷𝐶 и 𝐾𝐿. Докажите, что 𝐾𝑁𝐷𝑇 – вписанный. | 1 057 |
| 4 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 описан около окружности 𝜔. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑃, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑄. Прямые 𝐴𝐶 и 𝑃𝑄 пересекаются в точке 𝑅. Пусть 𝑇 – точка окружности 𝜔, ближайшая к прямой 𝑃𝑄. Докажите, что прямая 𝑅𝑇 проходит через центр вписанной окружности треугольника 𝑃𝑄𝐶. | 1 246 |
| 5 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — трапеция с 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐷, и пусть ℓ — прямая, не пересекающая отрезки 𝐴𝐶 или 𝐵𝐷. Предположим, что ℓ пересекает прямые 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 соответственно. Докажите, что три окружности (𝐷𝑄𝑇), (𝐵𝑅𝑄) и (𝐵𝑃𝑆) пересекаются в одной точке. | 1 382 |
| 6 |  #геом_разминка #easy #11
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ – куб. На отрезках 𝐵𝐶 и 𝐷𝐷′ взяты точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, такие что 𝐵𝑀 = 𝐷𝑁. Докажите, что прямая 𝐴′𝑀 перпендикулярна плоскости (𝐴𝐵′𝑁). | 1 576 |
| 7 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Окружности Γ₁, Γ₂ и Γ₃ на плоскости попарно касаются внешним образом. Пусть 𝑃₂ – точка касания Γ₁ и Γ₃, а 𝑃₁ – точка касания Γ₂ и Γ₃. Рассмотрим точки 𝐴 и 𝐵 на окружности Γ₃, являющиеся диаметрально противоположными, такие что четырёхугольник 𝐴𝐵𝑃₁𝑃₂ выпуклый. Прямая 𝐴𝑃₂ вторично пересекает окружность Γ₁ в точке 𝑋, прямая 𝐵𝑃₁ вторично пересекает окружность Γ₂ в точке 𝑌, а прямые 𝐴𝑃₁ и 𝐵𝑃₂ пересекаются в точке 𝑍. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 лежат на одной прямой. | 1 829 |
| 8 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ортоцентром 𝐻. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 взяты точки 𝑍 и 𝑌 соответственно, причём ∠𝑍𝑂𝐵 = 90°, ∠𝑌𝑂𝐶 = 90°, где 𝑂 — центр описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что отражение 𝐻 относительно прямой 𝑌𝑍 лежит на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. | 1 657 |
| 9 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹, пересекающиеся в точке 𝐻. Пусть 𝐾 и 𝐿 – середины отрезков 𝐵𝐹 и 𝐶𝐸 соответственно. Прямая 𝐾𝐿 пересекает прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что окружности описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐿 и 𝐻𝑃𝑄 касаются. | 1 613 |
| 10 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Прямая, соединяющая середины диагоналей вписанного четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝑋, а продолжение прямой 𝐵𝐶 за точку 𝐶 в точке 𝑌. Докажите, что если точки 𝐴, 𝐶, 𝑋, 𝑌 лежат на одной окружности, то из отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 можно сложить прямоугольный треугольник. | 1 946 |
| 11 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан равнобедренный△𝐴𝐵𝐶 с тупым углом ∠𝐵𝐴𝐶. Пусть 𝜔 — окружность с центром в 𝐴 и радиусом 𝐴𝐵. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝐵𝑀 пересекает окружность 𝜔 второй раз в точке 𝐷. Пусть 𝐸 — точка на окружности 𝜔 такая, что 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶. Пусть 𝐷𝐸 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝑁. Докажите, что 𝐶𝑁 = 𝐴𝐵. | 2 200 |
| 12 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑁 и 𝑀 на 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 соответственно таковы, что 𝑁𝐶 параллельно 𝐴𝐵, а 𝑀𝑁 параллельно 𝐶𝐷. Докажите, что 𝐵𝑀 и 𝐶𝐷 параллельны. | 2 062 |
| 13 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Из вершины 𝐴 опущены перпендикуляры 𝐴𝑋 и 𝐴𝑌 на 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 соответственно. Через середины отрезков 𝐴𝑋 и 𝐴𝑌 проведены прямые 𝑏 и 𝑑 соответственно, перпендикулярные 𝑋𝑌. Прямая 𝑏 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно, а прямая 𝑑 пересекает 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐷𝑃𝑄 и 𝐵𝐾𝐿 касаются. | 2 122 |
| 14 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине 𝐵 и описанной окружностью 𝑐. Обозначим через 𝐷 середину меньшей дуги 𝐴𝐵 окружности 𝑐. Пусть 𝑃 – точка на стороне 𝐴𝐵 такая, что 𝐶𝑃 = 𝐶𝐷. Пусть 𝑋 и 𝑌 – две различные точки на окружности 𝑐, удовлетворяющие условию 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌 = 𝑃𝐷. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑃 лежат на одной прямой. | 2 476 |
| 15 | #на_ночь_глядя
Хотим порекомендовать канал "Задачи на любой вкус" 💡 нашего коллеги Андрея Меньщикова. Предлагаем решить вот такую задачку про бесконечность оттуда:
Задача. Дана бесконечная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, в которой два любых соседних члена отличаются менее чем на 2026. Докажите, что в ней найдётся бесконечная подпоследовательность, в которой среди любых двух членов больший делится на меньший. | 2 277 |
| 16 |  Сегодня прошёл первый тур Майского мастера (суперфинала ВсОШ) — первого этапа отбора в сборную России. Итоги двухдневной олимпиады определят, кто получит приглашение на летние сборы. Делимся с вами геометрией с сегодняшнего тура.
Задача. Диагонали вписанного четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑇. На луче 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃, на луче 𝐶𝐵 — точка 𝑄, на луче 𝐷𝐶 — точка 𝑅, на луче 𝐷𝐴 — точка 𝑆, причем 𝑇𝑃 ‖ 𝐶𝐷, 𝑇𝑄 ‖ 𝐷𝐴, 𝑇𝑅 ‖ 𝐴𝐵, 𝑇𝑆 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐵𝑃𝑄) и (𝐷𝑅𝑆) пересекаются в точках 𝑋 и 𝑌. Окружность (𝑇𝑋𝑌) пересекает отрезок 𝐴𝐶 в точках 𝑍 и 𝑇. Докажите, что 𝑋𝑌 = 𝑍𝑇. | 2 651 |
| 17 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾. На диагонали 𝐵𝐷 выбрана точка 𝐿 так, что ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐿. Точка 𝑀 выбрана так, что 𝐶𝑀 ‖ 𝐵𝐷 и прямая 𝐵𝑀 касается 𝜔. Докажите, что точки 𝐾, 𝑀 и 𝐿 лежат на одной прямой. | 2 254 |
| 18 |  #геом_разминка #easy #9
Задача. Инцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — точка 𝐼. Точки 𝐷 и 𝐸 на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно такие что 𝐷𝐼 ⊥ 𝐵𝐼 и 𝐸𝐼 ⊥ 𝐶𝐼. Докажите, что прямая 𝐷𝐸 касается вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. | 3 386 |
| 19 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 расположены соответственно на сторонах 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷. Известно, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝑍. Докажите, что 𝑋𝑌 + 𝑌 𝑍 ≥ 𝐴𝐶. | 2 347 |
| 20 |  #разминка #hard #8
Задача. У Вани есть деревянная доска в форме прямоугольника длиной 2²⁰²⁶ и высотой 3²⁰²⁶. Доска разделена на сетку из единичных квадратов. Божья коровка 🐞 начинает движение либо с левого, либо с нижнего края прямоугольника и идёт по линиям сетки, двигаясь только вправо или вверх, пока не достигнет края, противоположного тому, с которого начала. На рисунке выше показаны два возможных пути божьей коровки. Путь божьей коровки разрезает доску на две части.
Ваня с удивлением обнаруживает, что он может переложить эти части так, чтобы они образовали новый прямоугольник, не равный исходному. Периметр этого прямоугольника равен 𝑃. Сколько возможных значений 𝑃 существует? | 2 148 |
