اکنون در دسترس! پژوهش تلگرام ۲۰۲۵ — مهمترین بینشهای سال 
Фулл и точка
رفتن به کانال در Telegram
Канал по олимпиадной математике. Да что там по математике — по геометрии:) https://www.youtube.com/@fullandpoint
نمایش بیشتر2 835
مشترکین
+224 ساعت
-77 روز
+2730 روز
در حال بارگیری داده...
کانالهای مشابه
ابر برچسبها
اشارات ورودی و خروجی
---
---
---
---
---
---
جذب مشترکین
ژوئن '26
ژوئن '26
+9
در 0 کانالها
مه '26
+64
در 1 کانالها
Get PRO
آوریل '26
+99
در 2 کانالها
Get PRO
مارس '26
+94
در 5 کانالها
Get PRO
فوریه '26
+169
در 2 کانالها
Get PRO
ژانویه '26
+231
در 3 کانالها
Get PRO
دسامبر '25
+99
در 0 کانالها
Get PRO
نوامبر '25
+135
در 3 کانالها
Get PRO
اکتبر '25
+162
در 1 کانالها
Get PRO
سپتامبر '25
+130
در 1 کانالها
Get PRO
اوت '25
+134
در 4 کانالها
Get PRO
ژوئیه '25
+208
در 3 کانالها
Get PRO
ژوئن '25
+45
در 1 کانالها
Get PRO
مه '25
+82
در 2 کانالها
Get PRO
آوریل '25
+245
در 3 کانالها
Get PRO
مارس '25
+69
در 1 کانالها
Get PRO
فوریه '25
+99
در 1 کانالها
Get PRO
ژانویه '25
+226
در 2 کانالها
Get PRO
دسامبر '24
+104
در 1 کانالها
Get PRO
نوامبر '24
+198
در 4 کانالها
Get PRO
اکتبر '24
+287
در 2 کانالها
Get PRO
سپتامبر '24
+759
در 3 کانالها
| تاریخ | رشد مشترکین | اشارات | کانالها | |
| 12 ژوئن | 0 | |||
| 11 ژوئن | +2 | |||
| 10 ژوئن | +1 | |||
| 09 ژوئن | +1 | |||
| 08 ژوئن | +1 | |||
| 07 ژوئن | 0 | |||
| 06 ژوئن | +1 | |||
| 05 ژوئن | +2 | |||
| 04 ژوئن | +1 | |||
| 03 ژوئن | 0 | |||
| 02 ژوئن | 0 | |||
| 01 ژوئن | 0 |
پستهای کانال
#геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 описан около окружности 𝜔. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑃, а лучи 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝑄. Прямые 𝐴𝐶 и 𝑃𝑄 пересекаются в точке 𝑅. Пусть 𝑇 – точка окружности 𝜔, ближайшая к прямой 𝑃𝑄. Докажите, что прямая 𝑅𝑇 проходит через центр вписанной окружности треугольника 𝑃𝑄𝐶.
| 2 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — трапеция с 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 и ∠𝐴𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐴𝐷, и пусть ℓ — прямая, не пересекающая отрезки 𝐴𝐶 или 𝐵𝐷. Предположим, что ℓ пересекает прямые 𝐴𝐶, 𝐴𝐷, 𝐵𝐶, 𝐵𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 соответственно. Докажите, что три окружности (𝐷𝑄𝑇), (𝐵𝑅𝑄) и (𝐵𝑃𝑆) пересекаются в одной точке. | 840 |
| 3 |  #геом_разминка #easy #11
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ – куб. На отрезках 𝐵𝐶 и 𝐷𝐷′ взяты точки 𝑀 и 𝑁 соответственно, такие что 𝐵𝑀 = 𝐷𝑁. Докажите, что прямая 𝐴′𝑀 перпендикулярна плоскости (𝐴𝐵′𝑁). | 1 260 |
| 4 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Окружности Γ₁, Γ₂ и Γ₃ на плоскости попарно касаются внешним образом. Пусть 𝑃₂ – точка касания Γ₁ и Γ₃, а 𝑃₁ – точка касания Γ₂ и Γ₃. Рассмотрим точки 𝐴 и 𝐵 на окружности Γ₃, являющиеся диаметрально противоположными, такие что четырёхугольник 𝐴𝐵𝑃₁𝑃₂ выпуклый. Прямая 𝐴𝑃₂ вторично пересекает окружность Γ₁ в точке 𝑋, прямая 𝐵𝑃₁ вторично пересекает окружность Γ₂ в точке 𝑌, а прямые 𝐴𝑃₁ и 𝐵𝑃₂ пересекаются в точке 𝑍. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 лежат на одной прямой. | 1 656 |
| 5 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с ортоцентром 𝐻. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 взяты точки 𝑍 и 𝑌 соответственно, причём ∠𝑍𝑂𝐵 = 90°, ∠𝑌𝑂𝐶 = 90°, где 𝑂 — центр описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что отражение 𝐻 относительно прямой 𝑌𝑍 лежит на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. | 1 536 |
| 6 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены высоты 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹, пересекающиеся в точке 𝐻. Пусть 𝐾 и 𝐿 – середины отрезков 𝐵𝐹 и 𝐶𝐸 соответственно. Прямая 𝐾𝐿 пересекает прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что окружности описанные около треугольников 𝐴𝐾𝐿 и 𝐻𝑃𝑄 касаются. | 1 413 |
| 7 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Прямая, соединяющая середины диагоналей вписанного четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, пересекает отрезок 𝐴𝐵 в точке 𝑋, а продолжение прямой 𝐵𝐶 за точку 𝐶 в точке 𝑌. Докажите, что если точки 𝐴, 𝐶, 𝑋, 𝑌 лежат на одной окружности, то из отрезков 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 и 𝐵𝐷 можно сложить прямоугольный треугольник. | 1 731 |
| 8 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан равнобедренный△𝐴𝐵𝐶 с тупым углом ∠𝐵𝐴𝐶. Пусть 𝜔 — окружность с центром в 𝐴 и радиусом 𝐴𝐵. Пусть 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐶. Прямая 𝐵𝑀 пересекает окружность 𝜔 второй раз в точке 𝐷. Пусть 𝐸 — точка на окружности 𝜔 такая, что 𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶. Пусть 𝐷𝐸 и 𝐴𝐶 пересекаются в точке 𝑁. Докажите, что 𝐶𝑁 = 𝐴𝐵. | 2 103 |
| 9 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. В выпуклом четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 диагонали пересекаются в точке 𝑂. Точки 𝑁 и 𝑀 на 𝐵𝐷 и 𝐴𝐶 соответственно таковы, что 𝑁𝐶 параллельно 𝐴𝐵, а 𝑀𝑁 параллельно 𝐶𝐷. Докажите, что 𝐵𝑀 и 𝐶𝐷 параллельны. | 1 990 |
| 10 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан параллелограмм 𝐴𝐵𝐶𝐷. Из вершины 𝐴 опущены перпендикуляры 𝐴𝑋 и 𝐴𝑌 на 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 соответственно. Через середины отрезков 𝐴𝑋 и 𝐴𝑌 проведены прямые 𝑏 и 𝑑 соответственно, перпендикулярные 𝑋𝑌. Прямая 𝑏 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно, а прямая 𝑑 пересекает 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐷𝑃𝑄 и 𝐵𝐾𝐿 касаются. | 2 058 |
| 11 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине 𝐵 и описанной окружностью 𝑐. Обозначим через 𝐷 середину меньшей дуги 𝐴𝐵 окружности 𝑐. Пусть 𝑃 – точка на стороне 𝐴𝐵 такая, что 𝐶𝑃 = 𝐶𝐷. Пусть 𝑋 и 𝑌 – две различные точки на окружности 𝑐, удовлетворяющие условию 𝐴𝑋 = 𝐴𝑌 = 𝑃𝐷. Докажите, что точки 𝑋, 𝑌 и 𝑃 лежат на одной прямой. | 2 223 |
| 12 | #на_ночь_глядя
Хотим порекомендовать канал "Задачи на любой вкус" 💡 нашего коллеги Андрея Меньщикова. Предлагаем решить вот такую задачку про бесконечность оттуда:
Задача. Дана бесконечная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, в которой два любых соседних члена отличаются менее чем на 2026. Докажите, что в ней найдётся бесконечная подпоследовательность, в которой среди любых двух членов больший делится на меньший. | 2 003 |
| 13 |  Сегодня прошёл первый тур Майского мастера (суперфинала ВсОШ) — первого этапа отбора в сборную России. Итоги двухдневной олимпиады определят, кто получит приглашение на летние сборы. Делимся с вами геометрией с сегодняшнего тура.
Задача. Диагонали вписанного четырехугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑇. На луче 𝐴𝐵 отмечена точка 𝑃, на луче 𝐶𝐵 — точка 𝑄, на луче 𝐷𝐶 — точка 𝑅, на луче 𝐷𝐴 — точка 𝑆, причем 𝑇𝑃 ‖ 𝐶𝐷, 𝑇𝑄 ‖ 𝐷𝐴, 𝑇𝑅 ‖ 𝐴𝐵, 𝑇𝑆 ‖ 𝐵𝐶. Окружности (𝐵𝑃𝑄) и (𝐷𝑅𝑆) пересекаются в точках 𝑋 и 𝑌. Окружность (𝑇𝑋𝑌) пересекает отрезок 𝐴𝐶 в точках 𝑍 и 𝑇. Докажите, что 𝑋𝑌 = 𝑍𝑇. | 2 602 |
| 14 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность 𝜔. Лучи 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐾. На диагонали 𝐵𝐷 выбрана точка 𝐿 так, что ∠𝐵𝐴𝐶 = ∠𝐷𝐴𝐿. Точка 𝑀 выбрана так, что 𝐶𝑀 ‖ 𝐵𝐷 и прямая 𝐵𝑀 касается 𝜔. Докажите, что точки 𝐾, 𝑀 и 𝐿 лежат на одной прямой. | 2 241 |
| 15 |  #геом_разминка #easy #9
Задача. Инцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶 — точка 𝐼. Точки 𝐷 и 𝐸 на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно такие что 𝐷𝐼 ⊥ 𝐵𝐼 и 𝐸𝐼 ⊥ 𝐶𝐼. Докажите, что прямая 𝐷𝐸 касается вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. | 3 386 |
| 16 |  #геом_разминка #medium #8
Задача. Точки 𝑋, 𝑌 и 𝑍 расположены соответственно на сторонах 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷. Известно, что 𝐴𝑋 = 𝐶𝑍. Докажите, что 𝑋𝑌 + 𝑌 𝑍 ≥ 𝐴𝐶. | 2 347 |
| 17 |  #разминка #hard #8
Задача. У Вани есть деревянная доска в форме прямоугольника длиной 2²⁰²⁶ и высотой 3²⁰²⁶. Доска разделена на сетку из единичных квадратов. Божья коровка 🐞 начинает движение либо с левого, либо с нижнего края прямоугольника и идёт по линиям сетки, двигаясь только вправо или вверх, пока не достигнет края, противоположного тому, с которого начала. На рисунке выше показаны два возможных пути божьей коровки. Путь божьей коровки разрезает доску на две части.
Ваня с удивлением обнаруживает, что он может переложить эти части так, чтобы они образовали новый прямоугольник, не равный исходному. Периметр этого прямоугольника равен 𝑃. Сколько возможных значений 𝑃 существует? | 2 148 |
| 18 |  Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 выполнено 𝐵𝐶>𝐴𝐵. Пусть 𝐷 – точка на стороне 𝐴𝐶 такая, что 𝐵𝐷 = 𝐵𝐴. Точка 𝑀 – середина 𝐵𝐶. Касательные, проведённые в точках 𝐷 и 𝑀 к описанной окружности треугольника 𝐶𝐷𝑀, пересекаются в точке 𝐸. Прямая 𝐵𝐸 пересекает сторону 𝐴𝐶 в точке 𝐹. Докажите, что точки 𝐴, 𝐵, 𝑀, 𝐹 лежат на одной окружности. | 2 092 |
| 19 |  #геом_разминка #medium #10
Задача. Дан вписанный в окружность 𝜔 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. На прямой 𝐴𝐵 взяты две точки 𝑃 и 𝑄 так, что 𝑄 лежит на продолжении отрезка 𝐴𝐵 за точку 𝐴, 𝑃 лежит на продолжении отрезка 𝐴𝐵 за точку 𝐵. Причём окружность, описанная около треугольника 𝐴𝐷𝑄, касается прямой 𝐴𝐶, а окружность, описанная около треугольника 𝐵𝐶𝑃, касается прямой 𝐵𝐷. Обозначим через 𝑀 и 𝑁 середины отрезков 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 соответственно. Докажите, что касательная в точке 𝐴 к окружности, описанной около треугольника 𝐴𝑁𝑄, касательная в точке 𝐵 к окружности, описанной около треугольника 𝐵𝑀𝑃 пересекаются на 𝐶𝐷. | 2 197 |
| 20 |  #геом_разминка #medium #9
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, 𝜔 – его вписанная окружность, а 𝐷, 𝐸 и 𝐹 – точки касания 𝜔 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 соответственно. Перпендикуляр к 𝐵𝐶 в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐸𝐹 в точке 𝑀 , а перпендикуляр к 𝐵𝐶 в точке 𝐵 пересекает прямую 𝐸𝐹 в точке 𝑁. Прямая 𝐷𝑀 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑃, а прямая 𝐷𝑁 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑄. Докажите, что 𝐷𝑃 = 𝐷𝑄. | 2 155 |
