Фулл и точка

#на_ночь_глядя #по_факту К Хэллоуину один знакомый геометрический факт примерил костюм летучей мыши 🦇🌘 Узнали, какой факт здесь спрятался? Ждём ответов в комментах 🎃

#геом_разминка #easy #8 Сегодня 24.10.26 — день, когда числа, образующие дату, составляют пифагорову тройку. Это последний такой день в этом столетии 💯 Поздравляем подписчиков и предлагаем решить праздничную задачу 🥳 Задача. Боковые стороны трапеции равны 10 и 24, а разность оснований равна 26. Найдите расстояние между серединами оснований.

Вчера прошел сложный тур Турнира Городов. Как обычно, делимся условиями задач 🔥 Задача. Внутри правильного шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 взяты точки 𝐼 и 𝐽 так, что четырёхугольник 𝐴𝐼𝐷𝐽 выпуклый. Область шестиугольника вне этого четырёхугольника разбита на шесть треугольников, окрашенных в красный и синий цвета, как на рисунке. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.** Задача. Дан выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с равными диагоналями. На сторонах 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 как на основаниях построены во внешнюю сторону подобные равнобедренные треугольники 𝐴𝐵𝑃 и 𝐶𝐷𝑄, а на сторонах 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 — подобные равнобедренные треугольники 𝐴𝐷𝑅 и 𝐵𝐶𝑆. Найдите угол между прямыми 𝑃𝑄 и 𝑅𝑆.

#геом_разминка #medium #9 Задача. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝑂 и 𝐼 — центры описанной и вписанной окружностей. Известно, что 𝑂 ≠ 𝐼 и прямая 𝑂𝐼 параллельна стороне 𝐵𝐶. Высоты из вершин 𝐶 и 𝐵 пересекают стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐷 и 𝐹 соответственно. Докажите, что 𝐵𝐷 + 𝐶𝐹 = 𝐵𝐶.

#на_ночь_глядя Симпатичная задача с олимпиады Ассара от Павла Александровича. Задача. Даны два пятиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 и 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′, описанные вокруг окружностей 𝜔 и 𝜔′. Длины их сторон равны 𝐴𝐵 = 101, 𝐵𝐶 = 103, 𝐶𝐷 = 105, 𝐷𝐸 = 107, 𝐸𝐴 = 104; 𝐴′𝐵′ = 102, 𝐵′𝐶′ = 106, 𝐶′𝐷′ = 105, 𝐷′𝐸′ = 104, 𝐸′𝐴′ = 103. Докажите, что окружности 𝜔 и 𝜔′ равны

#геом_разминка #easy #8 Задачка с прошедшей вчера московской математической регаты ⛵ Задача. Стороны трапеции имеют длины 20 см, 22 см, 24 см, 26 см. Какие из них могут быть основаниями трапеции?

#на_ночь_глядя Публикуем условия базового тура Турнира Городов, который прошел вчера. В младших классах была вот такая геомка от Максима Волчкевича. Задача. Диагонали параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑂. На его стороне 𝐵𝐶 взяли такую точку 𝑀, что 𝐴𝑀 = 𝐷𝑀. Докажите, что отрезок 𝑂𝑀 равен половине стороны параллелограмма.

#ЮМТ #геом_разминка #medium #8 Заканчиваем обзор финалов турнира задачей Юниор-лиги Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на сторонах 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 так, что 𝐵𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐴 и 𝐶𝐷 = 𝐷𝐹 = 𝐹𝐴. Прямые 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что ортоцентр треугольника 𝑃𝐸𝐹 лежит на прямой 𝐵𝐶.

#ЮМТ #геом_разминка #easy #7 Задача. Сегодня предлагаем посмотреть на простенькую задачку с финала Старт-лиги.В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены медианы 𝐵𝐵′ и 𝐶𝐶′, пересекающиеся в точке 𝑀. На отрезках 𝑀𝐵′ и 𝑀𝐶′ выбраны соответственно точки 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐴𝑀 = 𝐶𝑋 = 𝐵𝑌. Докажите, что ∠𝐵𝑀𝐶 = ∠𝐵𝑌𝐶′ + ∠𝐶𝑋𝐵′.

#ЮМТ #геом_разминка #medium #9 На Южном турнире в боях за 5-7 место Гранд–лиги предлагалась вот такая геомка от авторов нашего канала, снова придуманная ночью 🌌 перед туром Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 точка 𝐼 — центр вписанной окружности. Биссектриса 𝐴𝐼 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐷, а описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 — в точке 𝑁 (отличной от 𝐴). На отрезке 𝐶𝑁 взята такая точка 𝐸, что 𝐸𝑁 = 𝐷𝑁. Окружности, описанные около треугольников 𝐴𝐷𝐵 и 𝐴𝐼𝐶, пересекаются повторно в точке 𝐹. Докажите, что 𝐵𝐶 — биссектриса угла 𝐹𝐵𝐸.

#ЮМТ #красота_спасет_мир Финал южного турнира подошел к концу. Первоначально в тур гранд-лиги вошел шедевр 🖼 от Владимира Конышева. Задача. Окружность 𝜔 с центром 𝐼 вписана в неравнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 и касается его сторон 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 и 𝐴𝐵 в точках 𝑇𝑎, 𝑇𝑏 и 𝑇𝑐 соответственно. Произвольная прямая ℓ проходит через 𝐼. Пусть 𝐾𝑎 — отражение 𝑇𝑎 относительно ℓ, а 𝜔𝑎 — окружность, касающаяся 𝜔 и проходящая через точки 𝐴 и 𝐾𝑎. Аналогично определим окружности 𝜔𝑏 и 𝜔𝑐. Докажите, что существует окружность Γ, касающаяся окружностей 𝜔𝑎, 𝜔𝑏, 𝜔𝑐 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 (окружность Γ может иметь нулевой радиус). После начала тура команда Летово сообщила, что ей знаком этот сюжет, более того, они помнят план решения обобщения задачи. Обобщение состоит в том, что вместо точек 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 и 𝐾𝑐 можно взять произвольные три точки на вписанной окружности так, чтобы треугольник с вершинами в этих точках был перспективен треугольнику 𝑇𝑎𝑇𝑏𝑇𝑐. В открытых источниках жюри нашло только формулировку обобщения задачи, без полного ее решения. Жюри обобщенную задачу решать не умеет. Будем рады услышать решение от команды Летово в комментариях👇 Тем не менее, задача была заменена на следующую за авторством Леонида Шатунова. Задача. Положим 𝐷, 𝐸, 𝐹 — точки касания вписанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶 со сторонами 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, 𝐴𝐵. Пусть также 𝐼 — инцентр, 𝑀 — точка пересечения медиан. Отразим точки 𝐷, 𝐸, 𝐹 относительно прямой 𝐼𝑀 — получим точки 𝐷′, 𝐸′, 𝐹′. Докажите, что изотомически сопряжённые прямые для 𝐴𝐷′, 𝐵𝐸′, 𝐶𝐹′ пересекаются на вписанной окружности. Кроме того, в бою предлагалась интересная геометрия от Александра Петрашеня. Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑋 и 𝑌 — проекции этой точки на стороны 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Точки 𝑍 и 𝑇 выбраны на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно так, что 𝐴𝑍 = 𝐵𝑋 и 𝐶𝑇 = 𝐴𝑌. Докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑀𝑍𝑇 лежит на прямой 𝑀𝐻, где 𝐻 — точка пересечения высот треугольника 𝐴𝐵𝐶.

#на_ночь_глядя #ЮМТ Полуфинал турнира подошел к концу. У Дагестана и Долгопрудного состоялся очень напряженный поединок. Отвечая на вызов по геометрии докладчик команды Долгопрудного утверждал что задача неверна 😨. Делимся её условием. А что думаете вы? Задача. Вневписанные окружности касаются сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝐶₁ и 𝐵₁ соответственно. Пусть 𝐴𝑀 и 𝐴𝐿 — cоответственно медиана и биссектриса этого треугольника, а 𝐼 — центр вписанной в него окружности. Известно, что точки 𝑀, 𝐿, 𝐵₁ и 𝐶₁ лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения 𝐴𝐼/𝐼𝐿. Раунд по ней закончился со счетом 4:4. Вторая геометрия полуфинала в боях не сыграла: Задача. Диагонали четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, вписанного в окружность Ω, пересекаются в точке 𝑃. Пусть 𝐶𝑏 и 𝐶𝑑 — точки, симметричные точке 𝐶 относительно прямых 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 соответственно; аналогично, пусть 𝐴𝑏 и 𝐴𝑑 — точки, симметричные точке 𝐴 относительно прямых 𝐶𝐵 и 𝐶𝐷 соответственно. Касательная к Ω в точке 𝐶 пересекает прямую 𝐶𝑏𝐶𝑑 в точке 𝐶′, а касательная к Ω в точке 𝐴 пересекает прямую 𝐴𝑏𝐴𝑑 в точке 𝐴′. Докажите, что прямая 𝐴′𝐶′ проходит через 𝑃. В итоге матбой Долгопрудного и Дагестана завершился со счетом 22:22 — ничья. Финалист опредился в блице: с разницей в один балл выиграла команда Долгопрудного. Уже завтра определится победитель 🏆 турнира.