Фулл и точка

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝑃 и 𝑄 — изогонально сопряжённы в треугольнике 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑋 выбрана так, что 𝑄𝑋 ⊥ 𝐵𝐶. Окружность с диаметром 𝑃𝐴 вторично пересекает (𝐴𝐵𝐶) в точке 𝐾. Кроме того, прямая 𝐴𝑄 вторично пересекает (𝐴𝐵𝐶) в точке 𝑇. Докажите, что точки 𝐾, 𝑋 и 𝑇 коллинеарны.

#геом_разминка #medium #10 Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐴𝐷. Окружность 𝜔 с центром в точке 𝑂 проведена через точки 𝐵 и 𝐶 так, что 𝐴 не лежит на 𝜔. Точки 𝐸 и 𝐹 лежат на 𝜔 и удовлетворяют условиям 𝐴𝐸 ⊥ 𝐵𝐸, 𝐴𝐹 ⊥ 𝐶𝐹. Окружность, описанная около треугольника 𝐸𝐷𝐹, пересекает 𝐵𝐶 вторично в точке 𝐽. Докажите, что точки 𝑂, 𝐴 и 𝐽 коллинеарны.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Касательная в точке 𝐴 к описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 персекает прямую 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Точки 𝐸 и 𝐹 лежат по одну сторону от прямой 𝐵𝐶 с точкой 𝐴 и 𝐸𝐵 = 𝐸𝐴, 𝐹𝐵 = 𝐹𝐴, ∠𝐸𝐵𝐶 = ∠𝐹𝐶𝐵. Докажите, что 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на одной прямой.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝜔 — описанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝐷 лежит на дуге 𝐵𝐶 окружности 𝜔, а точка 𝑇 находится внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 и удовлетворяет условиям ∠𝐴𝐵𝑇 = ∠𝐶𝐵𝐷 и ∠𝐴𝐶𝑇 = ∠𝐵𝐶𝐷. Докажите, что 𝐴𝑇 = 𝑇𝐷.

#геом_разминка #medium #7 Задача. Два равносторонних треугольника расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что красные параллельны.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — равнобедренная трапеция с 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 < 𝐵𝐶. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑋 — точка, для которой 𝐵𝑋 является диаметром описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝑂, и пусть 𝑌 — точка, для которой 𝐶𝑌 является диаметром описанной окружности треугольника 𝐴𝐶𝑂. Докажите, что точки 𝐴, 𝐷, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник с центром 𝐴-вневписанной окружности 𝐼𝑎. Точки 𝐷 и 𝐸 лежат соответственно на прямых 𝐼𝑎𝐵 и 𝐼𝑎𝐶 и удовлетворяют условиям 𝐷𝐴 = 𝐷𝐵 и 𝐸𝐴 = 𝐸𝐶. Описанная окружность треугольника 𝐼𝑎𝐷𝐸 пересекает 𝐵𝐶 в двух различных точках 𝐹 и 𝐺. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐹𝐺 касаются.

#на_ночь_глядя #анонс К началу учебного года мы подготовили для вас сюрприз 🎁 Авторы нашего паблика на базе школы ЦПМ будут вести бесплатный онлайн-спецкурс "Классические сюжеты олимпиадной геометрии" 🎉 Спецкурс рассчитан на старшеклассников, которые уже научились базовым техникам счета в углах и степени точки и хотят глубже погрузиться в мир олимпиадной геометрии. Предполагается, что за цикл лекций, участники курса познакомятся с такими классическими сюжетам как: Queue point, Sharky-Devil 🦈 point, точки Шалтая и Болтая, лемма Саваямы, теорема о сегменте и многими другими, а также порешают интересные задачи. Спецкурс не будет содержать новомодной теории 📚, никакого движения точек и комплексного счета, только старая добрая олимпиадная геометрия 📐 Занятия курса будут проходить по средам начиная с 18:00 мск ⏰ Первое занятие состоится уже 9 сентября. Для участия подайте заявку при помощи 👉 формы 👈 Торопитесь, число мест ограниченно!

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Прямая, перпендикулярная 𝐴𝐶 и проходящая через 𝐶, пересекает серединный перпендикуляр к 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Предположим, что точка 𝐸 лежит на прямой 𝐴𝐷, причём 𝐵𝐸 ‖ 𝐶𝐷. Докажите, что ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝐵𝐸𝑀. С Днём знаний! 📚

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 — выпуклый пятиугольник. Пусть 𝑃 — точка пересечения прямых 𝐶𝐸 и 𝐵𝐷. Известно, что ∠𝑃𝐴𝐷 = ∠𝐴𝐶𝐵 и ∠𝐶𝐴𝑃 = ∠𝐸𝐷𝐴. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝐸 лежат на одной прямой с точкой 𝑃.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, в котором 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶, и пусть 𝐷 — основание высоты, опущенной из вершины 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Пусть 𝑅 и 𝑄 — центроиды треугольников 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 соответственно. Пусть 𝑃 – точка на отрезке 𝐵𝐶, такая что 𝑃̸ = 𝐷 и точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝐷 лежат на одной окружности. Докажите, что прямые 𝐴𝑃, 𝐵𝑄 и 𝐶𝑅 пересекаются в одной точке.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, в котором 𝐴𝐶 > 𝐵𝐶, и 𝜔 — его описанная окружность. Известно, что точка 𝑃 лежит на 𝜔, причём 𝐴𝑃 = 𝐴𝐶, и 𝑃 является внутренней точкой меньшей дуги 𝐵𝐶 окружности 𝜔. Пусть 𝑄 — точка пересечения прямых 𝐴𝑃 и 𝐵𝐶. Кроме того, пусть 𝑅 — точка на 𝜔, такая что 𝑄𝐴 = 𝑄𝑅, и 𝑅 является внутренней точкой меньшей дуги 𝐴𝐶 окружности 𝜔. Наконец, пусть 𝑆 — точка пересечения прямой 𝐵𝐶 с серединным перпендикуляром к стороне 𝐴𝐵. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑅 и 𝑆 лежат на одной окружности.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный треугольник, а 𝐷 — внутренняя точка отрезка 𝐵𝐶. Точки 𝐸 и 𝐹 лежат в полуплоскости, определяемой прямой 𝐵𝐶 и содержащей точку 𝐴, причём 𝐷𝐸 ⊥ 𝐵𝐸 и прямая 𝐷𝐸 касается описанной окружности треугольника 𝐴𝐶𝐷, а также 𝐷𝐹 ⊥ 𝐶𝐹 и прямая 𝐷𝐹 касается описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐷. Докажите, что точки 𝐴, 𝐷, 𝐸 и 𝐹 лежат на одной окружности.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Пусть 𝐴 — точка на окружности 𝜔, а ℓ — касательная к 𝜔 в точке 𝐴. Пусть 𝐴′ и 𝐴′′ — точки на ℓ такие, что 𝐴𝐴′ = 𝐴𝐴′′. Через 𝐴′ и 𝐴′′ проведены секущие 𝐴′ − 𝑇 − 𝑃 и 𝐴′′ − 𝑆 − 𝑄 окружности 𝜔 соответственно. Через 𝐴 проведены прямые, параллельные 𝑇𝑃 и 𝑆𝑄, пересекающие 𝜔 повторно в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Пусть 𝑀 — середина 𝑃𝑄. Докажите, что прямые 𝑃𝑌, 𝑄𝑋 и 𝐴𝑀 конкурентны.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, и вписанная окружность касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Точки 𝐸, 𝐹 таковы, что 𝐵𝐸 ‖ 𝐴𝐼 ‖ 𝐶𝐹 и ∠𝐵𝐸𝐼 = ∠𝐶𝐹𝐼 = 90°. Если прямые 𝐷𝐸 и 𝐷𝐹 пересекают вписанную окружность в точках 𝐸′ и 𝐹′ соответственно, докажите, что 𝐸′𝐹′ ⊥ 𝐴𝐼.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — выпуклый четырёхугольник, в котором 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. Биссектрисы внутренних углов ∠𝐷𝐵𝐴 и ∠𝐶𝐵𝐷 пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам 𝐴𝐷 и 𝐶𝐷 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников 𝐷𝐴𝐶 и 𝐷𝐸𝐹 касаются.

#геом_разминка #medium #9 Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 пусть 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶, а 𝑁 — середина отрезка 𝐴𝑀. Окружность, проходящая через 𝑁 и касающаяся прямой 𝐴𝐶 в точке 𝐴, пересекает отрезок 𝐴𝐵 повторно в точке 𝑃. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐵𝑃𝑀 касается прямой 𝐴𝑀.

Публикуем задачи с IMC 2026 — Международной студенческой олимпиады по математике 👨‍🎓 Иван Кухарчук был тимлидом сборной НИУ ВШЭ на этой олимпиаде. Вот результаты ребят:

🥇 Александр Климчук, студент 3 курса ПМИ — 71 балл 🥇 Айнур Махмутов, студент 1 курса ПМИ — 62 балла 🥇 Никита Золин, студент 3 курса ПМИ — 62 балла 🥇 Алексей Поздеев, студент 2 курса матфака — 60 баллов 🥇 Андрей Кандрашкин, студент 1 курса ПМИ — 59 баллов 🥇 Артемий Бакаев, студент 2 курса ПМИ — 57 баллов 🥈 Михаил Далингер, студент 1 курса ПМИ — 47 баллов 🥈 Таисия Липатова, студент 2 курса матфака — 47 баллов 🥈 Роман Прозоров, студент 1 курса ПМИ — 46 баллов 🥉 Карим Аляутдинов, студент 2 курса бакалавриата «Экономика и анализ данных» — 40 баллов 🥉 Василий Сильвестров, студент 3 курса ПМИ — 40 баллов

Сборная Вышки попала в топ-10 лучших команд мира! 🌍🏆 Поздравляем ребят! Кстати, мы продолжаем сотрудничать с ФКН ВШЭ: полным ходом идет набор в бесплатный кружок по олимпиадной математике для детей из регионов. Занятия по субботам, онлайн. Подробности на 👉 странице кружка 👈 До окончания отбора осталось совсем немного времени, успейте подать заявку!

#геом_разминка #medium #10 Задача. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 𝐴-вневписанная окружность касается 𝐵𝐶 в точке 𝐷 и пересекает описанную окружность в двух точках 𝐹 и 𝐺. Прямые 𝐷𝐺 и 𝐷𝐹 пересекают среднюю линюю треугольника 𝐴𝐵𝐶 параллельную 𝐵𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄 Докажите, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄.