Geometry Ukraine

Прокинулись – посміхнулись 👀 AH — висота, О — центр (АВС), M — середина ВС. Х на прямій АО така, що ∠AXB = 90°. Доведіть, що MX = MH.

Дано трикутник ABC з точкою Нагеля N та вписаним колом ω яке дотикається до сторін ВС, СА, АВ у точках D, E, F відповідно. Відрізок AN перетинає FE, ω у X, T відповідно. Виявилося, що TX=XN. Доведіть, що DX ділить дугу ВАС навпіл. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з ∠А=60. У ньому провели висоту АН, бісектрису AL та медіану АМ. Доведіть, що HL<3LM. (Михайло Сидоренко)

Дано вписаний чотирикутник ABCD. M,N - середини діагоналей AC,BD. Нехай T_1 це трикутник, утворений прямими AB,CD,MN; і T_2 трикутник, утворений прямими AD.BC,MN. Доведіть що описані кола трикутників T_1,T_2 мають дві спільні точки на описаному колі ABCD

Geo slop Дано трикутник АВС з ортоцентром Н, центром О описаного кола Г, та М серединою ВС. АН перетинає Г у точці D, DO перетинає ВС у точці Х. На відрізку НМ обрана така точка Т, а на Г така точка Q, що ∠OTX=∠TQD=90. Промінь ТХ перетинає Г у точці N, а P — середина TN. Доведіть, що якщо TN^2=AD x QT, то ∠AQP=90. (Михайло Сидоренко)

Розпочнемо навчальний рік із бази На сторонах трикутника АВС обрано точки D та E таким чином, що чотирикутник BDEC вписаний. Точки X та Y обрані на стороні ВС так, що рівні червоні та сині кути відповідно. Прямі EX та DY перетинаються в точці Z. Доведіть, AZ⊥BC.

авторка Дано трикутник ABC з бісетрисами BE, CF, I - інцентр. Нехай EF перетинає (ABC) в точках P,Q. Доведіть що якщо O лежить на PQ то

Прикольна задача зі вчорашнього стріма. Дано рівнобедрений трикутник АВС, на основі ВС якого обрані точки M, N таким чином, що ∠MAN=1/2 ∠BAC. Серединні перпендикуляри до AM, AN перетинаються у точці Р, та перетинають сторону ВС у точках Q, R. На QP, RP обрані точки S, T, таким чином що ST перпендикулярно АР. Доведіть, що якщо K, L — точки симетричні A відносно RS, QT, то описані кола трикутників CMK, BNL мають спільну точку на А-висоті трикутника АВС.

Прикольна задача зі вчорашнього стріма. IGO 2025 Advanced, Problem 4. Дано рівнобедрений трикутник АВС, на основі ВС якого обрані точки M, N таким чином, що ∠MAN=1/2 ∠BAC. Серединні перпендикуляри до AM, AN перетинаються у точці Р, та перетинають сторону ВС у точках Q, R. На QP, RP обрані точки S, T, таким чином що ST перпендикулярно АР. Доведіть, що якщо K, L — точки симетричні A відносно RS, QT, то описані кола трикутників CMK, BNL мають спільну точку на А-висоті трикутника АВС.

Всередині шестикутника з рівними фіолетовими кутами обрано довільну червону точку. Доведіть, що сума червоних відрізків не менша за суму синіх.

Дано трикутник АВС з інцентром І та ортоцентром Н. Провели три описані кола трикутників, заключених між двома бісектрисами та висотою з третьої вершини трикутника АВС. Ці три кола попарно перетинаються у трьох точках, окрім І, через які провели описане коло Г. На описаному колі трикутника АВС обрані точки N, T таким чином, що A, H, N одна пряма, та кут ∠ АТК=90, де К — середина АН. Доведіть що якщо N лежить на Г, то і T, K також лежать на Г. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з ортоцентром Н. На прямій АН обрані точки K, L таким чином, що BK, CL — дотичні до описаного кола трикутника ABC. Описані кола трикутників HBK та HCL перетинаються вдруге у точці Ра. Доведіть, що якщо визначити Pb, Pc аналогічним чином, то Pa, Pb, Pc лежать на одній прямій. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з інцентром І, та описаним колом Г. На АВ і АС обрали точки X, Y відповідно, так що AI=XI=YI. Z — точка перетину дотичних в В і С до Г, а точки P, Q — перетин прямих IX, IY зі стороною ВС. Доведіть, що якщо описані кола трикутників IPC, IQB вдруге перетинаються у точці Т, то BC, XY, ZT перетинаються в одній точці. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з інцентром І та ортоцентром Н. Провели коло Г через Н, І з центром на ВС, і виявилося що воно дотикається до описаного кола трикутника АВС. Доведіть, що центр Г лежить на вписаному колі трикутника АВС. (Михайло Сидоренко)

До описанного кола Г трикутника АВС (АВ<AC) провели дотичні у точках В і С, які перетнулися у точці Р. Х — довільна точка на стороні АС, а Y така точка на меншій дузі АВ, що дотична до Г в Y паралельна PX. на бісектрисі кута BPX обрана точка Z, така що AZ=ZB. Доведіть, що X, Y, Z лежать на одній прямій. (Михайло Сидоренко)

Також, виступаючи за Великобританію, медаль здобув і засновник каналу Geometry Ukraine Михайло Сидоренко — 22 🥉 Вітаємо! Тепер чекаємо на оприлюднення ISL 2025...