Geometry Ukraine

Прокинулись — посміхнулись 🍀

У трикутнику ABC, де ∠C = 90°, CH — висота; HL₁, HL₂ — бiсектриси у трикутниках CHB та CHA вiдповiдно. E, F — середини вiдрiзкiв HL₁ та HL₂ вiдповiдно. Доведiть, що прямi AF та BE перетинаються на бiсектрисi кута ACB.

Епілог Виявилось, що дана задача також має узагальнення 🙂‍↕️

Ну і наостанок 🤩

Узагальнення даної задачі для довільної червоної точки на стороні.

Дано трикутник АВС з діаметром АА' та серединним перпендикуляром до нього, який перетинає АВ, АС у точках P, Q та проходить через центр описаного кола О. N — середина PQ, через яку провели довільну пряму. На цій прямій вибрали точки X, Y таким чином, що A'X, A'Y дотичні до описаного кола трикутника OXY. Доведіть, що описане коло трикутника OXY дотикається до сталої прямої, незалежно від вибору прямої через N.

Дано трикутник ABC з діаметром АА

Близько 10 років тому на China NO (по суті) була така цікава цікава задачка: О та I — центри описаного та вписаного кіл трикутника АВС відповідно. К — точка дотику вписаного кола зі стороною ВС. Дотичні до описаного кола в точках В та С перетинаються в точці Q, а дотична в точці А перетинає пряму ВС в точці S. Доведіть, що точки O, I, S лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли точки A, K, Q лежать на одній прямій. Виявляється, що за відповідних умов такий трикутник буде мати і таку властивість: сторона ВС буде дорівнювати (AB² + AC²)/(AB + AC). @don_schijuan свого часу дослідив даний клас трикутників і сформував її у окрему добірку задач, яку ви зможете переглянути за посиланням.

Дано трикутник ABC з інцентром І та висотою ID у трикутнику BIC. На ВС як на хорді побудували коло, яке внутрішнє дотикається у точці Х до кола Г, яке дотикається сторін АВ та АС. Доведіть, що XI бісектриса кута AXD.

Прямі через точку Х паралельні до АВ, АС відтинають у трикутнику ABC синій та червоний трикутники. Знайдіть усі такі точки Х, для яких АХ перпендикулярно лінії центрів описаних кіл червоного та синього трикутників.

Дано трикутник АВС з точкою D на стороні ВС, такою що сума квадратів сторін АВ і BD дорівнює сумі квадратів сторін AC і CD. P, Q обрані на АВ, АС таким чином що DP=DB, DC=DQ. Доведіть, що перпендикуляри з D, P, Q до відповідних сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Дано трикутник ABC з висотою АН_1, точкою D на стороні ВС, точкою Р на стороні АС, та точкою Q всередині трикутника, таким чином що BH1=CD=DQ=DP та QD⊥ВС. Знайдіть величину ∠APQ. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з ортоцентром Н та центром описаного кола О. Описане коло трикутника АОН перетинає АВ та АС у точках P, Q, а точка Т на стороні ВС така, що HOT=90°. Доведіть, що ∠PAQ=∠PTQ. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з інцентром I та центром описаного кола О. Перпендикуляр з І на ВС перетинає описане коло трикутника АІО вдруге у точці Р. Доведіть, що АР=ІО. (Михайло Сидоренко)

В цьому році на емблемі олімпіади "5-12" була така грайлива задачка, буквально, прокинулись — посміхнулись 🌚 Дано квадрат, що розбитий синіми відрізками на три прямокутники. Доведіть, що сума площ жовтих трикутників дорівнює сумі площ червоних трикутників.

EMO 2026, P2. Дано трикутник ABC. Нехай точки K і L — різні точки на стороні AC, такі що ∠ABK =∠CBL. Промені BK і BL не перпендикулярні до AC і вдруге перетинають описане коло трикутника ABC у точках K₁ та L₁ відповідно. Точки K₂ і L₂ лежать на дотичних до описаного кола трикутника ABC, проведених у точках K₁ та L₁ відповідно, причому ∠BKK₂ =∠BLL₂ = 90°. Доведіть, що точки A, C, K₂ і L₂ лежать на одному колі. Яна Колодач та Антон Тригуб