Geometry Ukraine

авторка Дано трикутник ABC з бісетрисами BE, CF, I - інцентр. Нехай EF перетинає (ABC) в точках P,Q. Доведіть що якщо O лежить на PQ то

Прикольна задача зі вчорашнього стріма. Дано рівнобедрений трикутник АВС, на основі ВС якого обрані точки M, N таким чином, що ∠MAN=1/2 ∠BAC. Серединні перпендикуляри до AM, AN перетинаються у точці Р, та перетинають сторону ВС у точках Q, R. На QP, RP обрані точки S, T, таким чином що ST перпендикулярно АР. Доведіть, що якщо K, L — точки симетричні A відносно RS, QT, то описані кола трикутників CMK, BNL мають спільну точку на А-висоті трикутника АВС.

Прикольна задача зі вчорашнього стріма. IGO 2025 Advanced, Problem 4. Дано рівнобедрений трикутник АВС, на основі ВС якого обрані точки M, N таким чином, що ∠MAN=1/2 ∠BAC. Серединні перпендикуляри до AM, AN перетинаються у точці Р, та перетинають сторону ВС у точках Q, R. На QP, RP обрані точки S, T, таким чином що ST перпендикулярно АР. Доведіть, що якщо K, L — точки симетричні A відносно RS, QT, то описані кола трикутників CMK, BNL мають спільну точку на А-висоті трикутника АВС.

Всередині шестикутника з рівними фіолетовими кутами обрано довільну червону точку. Доведіть, що сума червоних відрізків не менша за суму синіх.

Дано трикутник АВС з інцентром І та ортоцентром Н. Провели три описані кола трикутників, заключених між двома бісектрисами та висотою з третьої вершини трикутника АВС. Ці три кола попарно перетинаються у трьох точках, окрім І, через які провели описане коло Г. На описаному колі трикутника АВС обрані точки N, T таким чином, що A, H, N одна пряма, та кут ∠ АТК=90, де К — середина АН. Доведіть що якщо N лежить на Г, то і T, K також лежать на Г. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з ортоцентром Н. На прямій АН обрані точки K, L таким чином, що BK, CL — дотичні до описаного кола трикутника ABC. Описані кола трикутників HBK та HCL перетинаються вдруге у точці Ра. Доведіть, що якщо визначити Pb, Pc аналогічним чином, то Pa, Pb, Pc лежать на одній прямій. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з інцентром І, та описаним колом Г. На АВ і АС обрали точки X, Y відповідно, так що AI=XI=YI. Z — точка перетину дотичних в В і С до Г, а точки P, Q — перетин прямих IX, IY зі стороною ВС. Доведіть, що якщо описані кола трикутників IPC, IQB вдруге перетинаються у точці Т, то BC, XY, ZT перетинаються в одній точці. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з інцентром І та ортоцентром Н. Провели коло Г через Н, І з центром на ВС, і виявилося що воно дотикається до описаного кола трикутника АВС. Доведіть, що центр Г лежить на вписаному колі трикутника АВС. (Михайло Сидоренко)

До описанного кола Г трикутника АВС (АВ<AC) провели дотичні у точках В і С, які перетнулися у точці Р. Х — довільна точка на стороні АС, а Y така точка на меншій дузі АВ, що дотична до Г в Y паралельна PX. на бісектрисі кута BPX обрана точка Z, така що AZ=ZB. Доведіть, що X, Y, Z лежать на одній прямій. (Михайло Сидоренко)

Також, виступаючи за Великобританію, медаль здобув і засновник каналу Geometry Ukraine Михайло Сидоренко — 22 🥉 Вітаємо! Тепер чекаємо на оприлюднення ISL 2025...

Вітаємо команду України з вольовим виступом на ІМО 2026! Олександр Горбунов — 29 🥇 Володимир Пригунов — 27 🥈 Остап Гіщак — 23 🥈 Дмитро Смоголь — 22 🥉 Володимир Гринь — 19 🥉 Іван Харчук — 15 НМ Командне 28-е місце.

Вітаємо Михайла з другою задачею на IMO! Чудова задача і велика перемога!

IMO 2026, P2 Нехай ABC — трикутник, а точки M і N — середини сторін AB та AC відповідно. Нехай точки K і L вибрані всередині трикутників BMC та BNC відповідно так, що K лежить усередині кута LBA, L лежить усередині кута ACK, і ∠KBA = ∠ACL, ∠LBK = ∠LNC, ∠LCK = ∠BMK. Нехай O — центр описаного кола трикутника AKL. Доведіть, що OM = ON. Proposed by Mykhailo Shtandenko, Ukraine

Дано рівнобедренний трикутник АВС з АВ=АС та ортоцентром Н. Точка Р така, що АВ^2-ВС^2=АР^2, а точка Q на описаному колі трикутника АВС така, що AQ паралельна ізогоналі АР для кута ВРС. Доведіть, що APHQ вписаний. (Алекс Чуї)

Під час нічного обстрілу у будинок родини члена збірної України на ІМО Олександра Горбунова сталося влучання. Унаслідок удару загинули мешканці, а будинок став непридатним для життя. Саша та його рідні уціліли. На своїй сторінці у Facebook Світлана, мама Саші, пише: "Дуже радію, що вдалось визволити з квартири валізу і вишиванку сину на ІМО у Шанхай". Підтримайте родину Олександра в цей складний час. Реквізити для допомоги та деталі — у дописі на сторінці Світлани у Facebook. Одна з головних цілей нашого каналу — ділитись ідеями і об'єднувати людей навколо спільного захоплення математикою. Побічним ефектом є те, що кожен із нас надихається і має змогу відчувати себе частиною великої спільноти однодумців. Кожного дня нам доводиться переживати наслідки планомірного терору, що триває понад 4 роки. Ми бажаємо сил і витримки кожному, хто став заручником важких обставин. Ви не одні. Навіть у найтемніші часи ми закликаємо звертатись до світла в усіх його проявах, зокрема — в інших людях. Вже завтра розпочинається ІМО, ми бажаємо Олександру та усій команді успіхів. Дякуємо за увагу.

Дано трикутник АВС з центром O описаного кола Г. На стороні AС обрана така точка S, що CS=BO, а на Г обрана точка D на меншій дузі ВС таким чином, що ∠CAD=15°, ∠BAD=45°. Нарешті, взяли точку K на відрізку AD, так що DK=DC. Доведіть, що ортоцентр трикутника OSK — інцентр трикутника ABC.