Geometry Ukraine

За мотивами RMM 2020 У прямокутному трик АВС, І інцентр, А1,А1,С1 точки дотику вписаного кола. Точки X,Y,Z,P,Q симметр D,D,C1,С,С відносно прямих А1С1,В1С1,СІ (дивись малюнок) Допоможіть Даші-мандрівниці знайти 10 вписаних чотирикутників в вершинах на малюнку 🙏🙏

JBMO 2025 Shortlist G4 У трикутнику ABC, де AB < AC, бісектриса кута A перетинає сторону BC у точці L, а описане коло \Omega — у точці W. На описаному колі трикутника WLC обрано точку P \neq W таку, що BP = CP. Дотична до кола \Omega у точці A перетинає пряму BC у точці T. На прямій BW обрано точку Q таку, що TB = TQ. Доведіть, що точки Q, A, P, W лежать на одному колі. Михайло Штанденко

JBMO Shortlist 2025 G9 Точки X і Y вибрано всередині чотирикутника ABCD на бісектрисах внутрішніх кутів A і C відповідно так, що точки A, X, Y, C лежать на одному колі та XY \perp BD. Доведіть, що або кути чотирикутника ABCD можна розбити на дві групи з рівними сумами, або сторони чотирикутника можна розбити на дві групи з рівними добутками. Михайло Штанденко

Дано трикутник АВС у якому ізогонально спряжені точки P, Q такі, що PQ проходить через центр описаного кола трикутника ABC. H - ортоцентр АВС, а Г — коло симетричне до описаного кола трикутника HPQ відносно PQ. Доведіть, що якщо Г перетинає відрізки АВ і АС у точках X, Y, то PX=YQ. (Михайло Сидоренко)

Авторка. О довільна на стороні, Н ортоцентр. Довести, що GUY+IOI=GAY

Авторка. О довільна на стороні, Н ортоцентр. Довести, що GUY+IOI=GAY

Дано трикутник ABC з інцентром І, центром описаного кола О та точкою Фейербаха F. Вписане коло дотикається до сторони АВ у точці K. Доведіть, що ∠CIO=∠AKF.

must do Дано трикутник ABC, Т_b, T_c — точки дотику зовнівписанних кіл до відрізків АС, АВ відповідно. Доведіть, що пряма через ортоцентри ACT_c, ABT_b паралельна зовнішній бісектрисі кута А.

Останні дні реєстрації на Кванту — поспішайте долучитися до занять! Цього тижня на STEM-гуртку Кванта стартують заняття, і ми чекаємо на вас 😸 • Викладачі — переможці олімпіад та студенти провідних вишів • Олімпіадні теми та цікаві задачі з геометрії, алгебри, комби та ТЧ • Власна ШІ-платформа для перевірки задач і підтримки між заняттями Деталі та форма реєстрації — за посиланням: 🔗 https://kvanta.xyz/news/fall-semester-start-2026 До зустічі на заняттях! Кванта

Традиційно, гурток "Кванта" запрошує усіх бажаючих долучитись до курсів з різних дисциплін! Реєстрацію було подовжено, тому у вас ще є час зареєструватись 😺

Прокинулись – посміхнулись 👀 AH — висота, О — центр (АВС), M — середина ВС. Х на прямій АО така, що ∠AXB = 90°. Доведіть, що MX = MH.

Дано трикутник ABC з точкою Нагеля N та вписаним колом ω яке дотикається до сторін ВС, СА, АВ у точках D, E, F відповідно. Відрізок AN перетинає FE, ω у X, T відповідно. Виявилося, що TX=XN. Доведіть, що DX ділить дугу ВАС навпіл. (Михайло Сидоренко)

Дано трикутник АВС з ∠А=60. У ньому провели висоту АН, бісектрису AL та медіану АМ. Доведіть, що HL<3LM. (Михайло Сидоренко)

Дано вписаний чотирикутник ABCD. M,N - середини діагоналей AC,BD. Нехай T_1 це трикутник, утворений прямими AB,CD,MN; і T_2 трикутник, утворений прямими AD.BC,MN. Доведіть що описані кола трикутників T_1,T_2 мають дві спільні точки на описаному колі ABCD

Geo slop Дано трикутник АВС з ортоцентром Н, центром О описаного кола Г, та М серединою ВС. АН перетинає Г у точці D, DO перетинає ВС у точці Х. На відрізку НМ обрана така точка Т, а на Г така точка Q, що ∠OTX=∠TQD=90. Промінь ТХ перетинає Г у точці N, а P — середина TN. Доведіть, що якщо TN^2=AD x QT, то ∠AQP=90. (Михайло Сидоренко)

Розпочнемо навчальний рік із бази На сторонах трикутника АВС обрано точки D та E таким чином, що чотирикутник BDEC вписаний. Точки X та Y обрані на стороні ВС так, що рівні червоні та сині кути відповідно. Прямі EX та DY перетинаються в точці Z. Доведіть, AZ⊥BC.

авторка Дано трикутник ABC з бісетрисами BE, CF, I - інцентр. Нехай EF перетинає (ABC) в точках P,Q. Доведіть що якщо O лежить на PQ то