Geometry Ukraine

Також, виступаючи за Великобританію, медаль здобув і засновник каналу Geometry Ukraine Михайло Сидоренко — 22 🥉 Вітаємо! Тепер чекаємо на оприлюднення ISL 2025...

Вітаємо команду України з вольовим виступом на ІМО 2026! Олександр Горбунов — 29 🥇 Володимир Пригунов — 27 🥈 Остап Гіщак — 23 🥈 Дмитро Смоголь — 22 🥉 Володимир Гринь — 19 🥉 Іван Харчук — 15 НМ Командне 28-е місце.

Вітаємо Михайла з другою задачею на IMO! Чудова задача і велика перемога!

IMO 2026, P2 Нехай ABC — трикутник, а точки M і N — середини сторін AB та AC відповідно. Нехай точки K і L вибрані всередині трикутників BMC та BNC відповідно так, що K лежить усередині кута LBA, L лежить усередині кута ACK, і ∠KBA = ∠ACL, ∠LBK = ∠LNC, ∠LCK = ∠BMK. Нехай O — центр описаного кола трикутника AKL. Доведіть, що OM = ON. Proposed by Mykhailo Shtandenko, Ukraine

Дано рівнобедренний трикутник АВС з АВ=АС та ортоцентром Н. Точка Р така, що АВ^2-ВС^2=АР^2, а точка Q на описаному колі трикутника АВС така, що AQ паралельна ізогоналі АР для кута ВРС. Доведіть, що APHQ вписаний. (Алекс Чуї)

Під час нічного обстрілу у будинок родини члена збірної України на ІМО Олександра Горбунова сталося влучання. Унаслідок удару загинули мешканці, а будинок став непридатним для життя. Саша та його рідні уціліли. На своїй сторінці у Facebook Світлана, мама Саші, пише: "Дуже радію, що вдалось визволити з квартири валізу і вишиванку сину на ІМО у Шанхай". Підтримайте родину Олександра в цей складний час. Реквізити для допомоги та деталі — у дописі на сторінці Світлани у Facebook. Одна з головних цілей нашого каналу — ділитись ідеями і об'єднувати людей навколо спільного захоплення математикою. Побічним ефектом є те, що кожен із нас надихається і має змогу відчувати себе частиною великої спільноти однодумців. Кожного дня нам доводиться переживати наслідки планомірного терору, що триває понад 4 роки. Ми бажаємо сил і витримки кожному, хто став заручником важких обставин. Ви не одні. Навіть у найтемніші часи ми закликаємо звертатись до світла в усіх його проявах, зокрема — в інших людях. Вже завтра розпочинається ІМО, ми бажаємо Олександру та усій команді успіхів. Дякуємо за увагу.

Дано трикутник АВС з центром O описаного кола Г. На стороні AС обрана така точка S, що CS=BO, а на Г обрана точка D на меншій дузі ВС таким чином, що ∠CAD=15°, ∠BAD=45°. Нарешті, взяли точку K на відрізку AD, так що DK=DC. Доведіть, що ортоцентр трикутника OSK — інцентр трикутника ABC.

Прокинулись — посміхнулись 🍀

У трикутнику ABC, де ∠C = 90°, CH — висота; HL₁, HL₂ — бiсектриси у трикутниках CHB та CHA вiдповiдно. E, F — середини вiдрiзкiв HL₁ та HL₂ вiдповiдно. Доведiть, що прямi AF та BE перетинаються на бiсектрисi кута ACB.

Епілог Виявилось, що дана задача також має узагальнення 🙂‍↕️

Ну і наостанок 🤩

Узагальнення даної задачі для довільної червоної точки на стороні.

Дано трикутник АВС з діаметром АА' та серединним перпендикуляром до нього, який перетинає АВ, АС у точках P, Q та проходить через центр описаного кола О. N — середина PQ, через яку провели довільну пряму. На цій прямій вибрали точки X, Y таким чином, що A'X, A'Y дотичні до описаного кола трикутника OXY. Доведіть, що описане коло трикутника OXY дотикається до сталої прямої, незалежно від вибору прямої через N.

Дано трикутник ABC з діаметром АА