Математические байки

И на этом я на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Скриншот из видеозаписи первого занятия —

А ещё — сложение по Минковскому можно объявить не сложением, а... умножением. И об этом рассказывала в ЛШСМ-2013 Гаянэ Панина, см. https://www.mccme.ru/dubna/2013/courses/panina.htm + http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7277

Видны и "секторные" окрестности, возникающие на рёбрах, и "шапочки" окрестностей в вершинах.

Да, давайте я скопирую сюда иллюстрацию из всё тех же записок курса Владлена Тиморина, https://users.mccme.ru/valya/lect3.pdf — и формулировку теоремы Штейнера-Минковского:

Вот мы и получили неравносоставленность треугольников с вершинами вверх и вниз — и более того, добыли инвариант такой равносоставленности. Ну и такой же инвариант можно построить и для любой другой фигуры T, лишь бы T' было её центрально-симметричным образом. А если посмотреть, что же именно мы при этом считаем — то будут получаться какие-то интегральные выражения от того инварианта Хадвигера, который мы построили раньше. И если мы его не придумали тогда — то его можно было бы придумать, идя от этих инвариантов, задавшись вопросом "а что же мы интегрируем".

И если поверить в то, что за смешанные площади "отвечают" стороны, и добавить к этому, что при проведении разреза появляются как раз стороны противоположно направленные стороны с двух берегов разреза — то не очень сложно увидеть, что вклад верхней стороны в S(A,T) сократится с вкладом нижней в S(A,T').

А при проверке первого удобно воспользоваться как раз знанием о том, как именно устроены площади сумм Минковского: F(A)=(S(A)+S(T)+2S(A,T)) - (S(A)+S(T')+2S(A,T')) = S(A,T)-S(A,T'), поэтому этот инвариант — это разница двух смешанных площадей.

Второе проверить проще: для A=T S(T+T)=S(2T)=4S(T), S(T+T')=S(шестиугольника)=6S(T), F(T)=-2S(T); F(T')=-F(T)=2S(T).

Рассмотрим функцию — F(A) := S(A+T) - S(A+T'). Утверждение: а) это инвариант: если мы разрезаем фигуру на выпуклые части, то значение на фигуре равно сумме значений на частях. б) он различает T и T'.

Так вот — давайте я теперь вернусь к исходной задаче. Пусть T — треугольник вершиной вверх, T' — треугольник вершиной вниз. Нам нужно придумать инвариант от "разрезания+ параллельного переноса", который их различит. Можно считать, что мы всегда режем на выпуклые части — если вдруг какая-то часть это невыпуклый многоугольник, то доразрежем его хоть на треугольники, а потом всё вместе перенесём.

Эта функция называется смешанным объёмом.

И соответственно, объёму Vol(A) как многочлену степени n можно сопоставить функцию Vol(A_1,...,A_n), симметричную и линейную (в смысле сложения по Минковскому!) по каждому аргументу, которая превращается в обычный объём, когда вместо всех аргументов подставляется одно и то же A.

Так вот, и давайте я тут сошлюсь на записки одной из лекций курса Владлена Тиморина (на который я в своё время ходил — и с тех пор эти вещи и помню!) — https://users.mccme.ru/valya/lect3.pdf — оказывается, что функция объёма выпуклых тел в R^n это однородный многочлен степени n. Или, более формально, становится многочленом в ограничении на любое конечномерное подпространство в пространстве всех выпуклых тел — если мы будем рассматривать Vol(t_1 A_1+...+t_k A_k), где t_1,..,t_k>0 то получим однородный многочлен от t_1,...,t_k.

В таком линейном пространстве настоящие выпуклые многогранники/тела будут его частью — выпуклым конусом.

А вообще множество выпуклых тел уже почти является линейным пространством — только вычитать нельзя. Ну если нельзя, но очень хочется, то можно: давайте его превратим в линейное пространство, добавив "формальные разности" двух множеств. А именно, рассмотрим все формальные "разности" A-B выпуклых множеств, и отфакторизовав по отношению эквивалентности: положим A-B=C-D, если A+D=B+C (немного напоминает определение поля частных, правда? и кстати, проверять нужно тоже похожие вещи, хоть я это сейчас и под ковёр заметаю)

А что можно сказать о площади "линейной комбинации" aA+bB двух выпуклых множеств A и B с положительными коэффициентами a,b>0? Оказывается, это однородный многочлен степени 2: S(aA+bB)=a^2*S(A)+b^2*S(B)+2ab*S(A,B), где S(A,B) — некоторая величина, которую мы назовём смешанной площадью фигур A и B. Немного напоминает, как по квадратичной форме восстанавливается билинейная, правда?