Математические байки

Да, ещё на этом множестве выпуклых фигур с точностью до параллельного переноса есть естественная операция умножения на положительное число — просто гомотетия. И легко видеть, что она хорошо со сложением по Минковскому согласована: aA+bA=(a+b)A.

А вот с квадратичным членом интереснее — коэффициентом при ε^2 будет сумма по рёбрам "(длина ребра)"*"(внешний двугранный угол)"; очень напоминает инвариант Дена, но я не знаю дороги к нему отсюда.

В пространстве будет то же самое — только многочлен от радиуса окрестности уже будет третьей степени; понятно, что свободным членом будет объём, линейным ε*площадь поверхности, кубическим — объём того шара радиуса ε, в который соберутся торчащие в вершинах кусочки.

Так что — площадь ε-окрестности выпуклой фигуры это в точности многочлен второй степени от ε!

Правда, тут внешние углы, а наши сектора это угол между перпендикулярами вовне к сторонам, но одно от другого отличается поворотом на 90 градусов.

(Изображение из Мат. этюдов — https://etudes.ru/ru/models/exterior-angles-sum/ )

Эта иллюстрация для случая треугольника — но для случая любого выпуклого многоугольника будет то же самое. Кстати, собирающиеся сектора это то же самое рассуждение, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 2π:

ε-окрестность разбивается на сам многоугольник, прямоугольники, построенные на его сторонах, и сектора в вершинах, собирающиеся в точности в круг радиуса ε.

Доказательство для случая многоугольника:

Утверждение, которое меня в своё время удивило: площадь ε-окрестности A_ε выпуклой фигуры A на плоскости — многочлен от ε: S(A_ε) = S(A)+ε*L(A)+πε^2, где L(A) — периметр A.

Легко понять, что при небольших ε она возрастает примерно на (периметр фигуры)*ε. А в старшей размерности — объём фигуры увеличивается в первом порядке на ε*(её площадь поверхности).

А как устроена площадь ε-окрестности выпуклой фигуры на плоскости?

Если множества A и B выпуклые, то и их сумма A+B выпуклая. (Собственно, с этой задачи статья Н. Б. Васильева и начинается.) А сумма множества A с кругом/с шаром радиуса ε это ε -окрестность A.

Иллюстрация оттуда же — показывающая много разных сумм Минковского:

Кстати — хорошая задача оттуда: как выглядит ГМТ середин отрезков, соединяющих две точки на полуокружности?

Если вместо суммы брать полусумму — то получится множество середин отрезков, соединяющих точки этих множеств. И я тут хочу вспомнить статью Н. Б. Васильева "Сложение фигур" в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1976/04/slozhenie_figur.htm .

Правда, при таком определении расположение этой суммы будет зависеть от того, где находится начало координат, так что давайте сразу рассматривать множества с точностью до параллельного переноса.