Математические байки

И соответственно, объёму Vol(A) как многочлену степени n можно сопоставить функцию Vol(A_1,...,A_n), симметричную и линейную (в смысле сложения по Минковскому!) по каждому аргументу, которая превращается в обычный объём, когда вместо всех аргументов подставляется одно и то же A.

Так вот, и давайте я тут сошлюсь на записки одной из лекций курса Владлена Тиморина (на который я в своё время ходил — и с тех пор эти вещи и помню!) — https://users.mccme.ru/valya/lect3.pdf — оказывается, что функция объёма выпуклых тел в R^n это однородный многочлен степени n. Или, более формально, становится многочленом в ограничении на любое конечномерное подпространство в пространстве всех выпуклых тел — если мы будем рассматривать Vol(t_1 A_1+...+t_k A_k), где t_1,..,t_k>0 то получим однородный многочлен от t_1,...,t_k.

В таком линейном пространстве настоящие выпуклые многогранники/тела будут его частью — выпуклым конусом.

А вообще множество выпуклых тел уже почти является линейным пространством — только вычитать нельзя. Ну если нельзя, но очень хочется, то можно: давайте его превратим в линейное пространство, добавив "формальные разности" двух множеств. А именно, рассмотрим все формальные "разности" A-B выпуклых множеств, и отфакторизовав по отношению эквивалентности: положим A-B=C-D, если A+D=B+C (немного напоминает определение поля частных, правда? и кстати, проверять нужно тоже похожие вещи, хоть я это сейчас и под ковёр заметаю)

А что можно сказать о площади "линейной комбинации" aA+bB двух выпуклых множеств A и B с положительными коэффициентами a,b>0? Оказывается, это однородный многочлен степени 2: S(aA+bB)=a^2*S(A)+b^2*S(B)+2ab*S(A,B), где S(A,B) — некоторая величина, которую мы назовём смешанной площадью фигур A и B. Немного напоминает, как по квадратичной форме восстанавливается билинейная, правда?

Да, ещё на этом множестве выпуклых фигур с точностью до параллельного переноса есть естественная операция умножения на положительное число — просто гомотетия. И легко видеть, что она хорошо со сложением по Минковскому согласована: aA+bA=(a+b)A.

А вот с квадратичным членом интереснее — коэффициентом при ε^2 будет сумма по рёбрам "(длина ребра)"*"(внешний двугранный угол)"; очень напоминает инвариант Дена, но я не знаю дороги к нему отсюда.

В пространстве будет то же самое — только многочлен от радиуса окрестности уже будет третьей степени; понятно, что свободным членом будет объём, линейным ε*площадь поверхности, кубическим — объём того шара радиуса ε, в который соберутся торчащие в вершинах кусочки.

Так что — площадь ε-окрестности выпуклой фигуры это в точности многочлен второй степени от ε!

Правда, тут внешние углы, а наши сектора это угол между перпендикулярами вовне к сторонам, но одно от другого отличается поворотом на 90 градусов.

(Изображение из Мат. этюдов — https://etudes.ru/ru/models/exterior-angles-sum/ )

Эта иллюстрация для случая треугольника — но для случая любого выпуклого многоугольника будет то же самое. Кстати, собирающиеся сектора это то же самое рассуждение, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 2π:

ε-окрестность разбивается на сам многоугольник, прямоугольники, построенные на его сторонах, и сектора в вершинах, собирающиеся в точности в круг радиуса ε.

Доказательство для случая многоугольника:

Утверждение, которое меня в своё время удивило: площадь ε-окрестности A_ε выпуклой фигуры A на плоскости — многочлен от ε: S(A_ε) = S(A)+ε*L(A)+πε^2, где L(A) — периметр A.

Легко понять, что при небольших ε она возрастает примерно на (периметр фигуры)*ε. А в старшей размерности — объём фигуры увеличивается в первом порядке на ε*(её площадь поверхности).

А как устроена площадь ε-окрестности выпуклой фигуры на плоскости?

Если множества A и B выпуклые, то и их сумма A+B выпуклая. (Собственно, с этой задачи статья Н. Б. Васильева и начинается.) А сумма множества A с кругом/с шаром радиуса ε это ε -окрестность A.