Математические байки

Соберём из этих (n+2) векторов матрицу M и посмотрим на их матрицу Грама относительно билинейной формы D — иными словами, на G = M^* D M. Во-первых, это в точности та матрица, которая появляется на доске: * D-скалярный квадрат (0 1 0000) равен нулю, потому что тут вторая координата вектора умножается на первую, а она равна 0 * его D-скалярное произведение с любым другим вектором набора равно 1, потому что у них у всех на первом месте стоит 1 * D-скалярные произведения остальных векторов друг с другом равны квадратам расстояний между вершинами симплекса — мы так наши вектора и произведение D строили.

У нас сейчас получился набор из (n+1) вектора в (n+2)-мерном пространстве, у которых все координаты, кроме второй, какие нужно, а вторую мы совсем не контролируем. Ну так добавим к этому набору (первым) вектор (0 1 0 0 ... 0). Тогда определитель из таких (n+2) векторов будет таким же, как определитель из (n+1) исходного вектора в (n+1)-мерном — который как раз равнялся (n! V).

А теперь любому вектору u из R^n сопоставим вектор в R^{n+2}, дописав к нему в начало не только 1 (как мы уже делали раньше), но и квадрат его длины: u':=(1 , |u|^2 , u) Тогда квадрат расстояния получается, как вычисление на u' и v' билинейной (и уже не положительно-определённой) формы D такого вида: перемножаем крест-накрест первые две координаты, и вычитаем удвоенное скалярное произведение остальных. Вот её матрица:

А нельзя ли сделать из этого просто "скалярное произведение", только в R^{n+2}, и каких-то новых точек? Можно! Запишем нужное нам выражение как |u|^2 * 1 + 1* |v|^2 - 2.

Давайте посмотрим, а как эти квадраты расстояний через собственно координаты выражаются. Если у нас есть два вектора u и v, то |u-v|^2 = = |u|^2 + |v|^2 - 2 (можно сказать, что я записал банальную теорему косинусов).

Но только пока получилось не совсем то, что надо: у матрицы Грама по диагонали стоят квадраты длин векторов, а вне диагонали скалярные произведения, а нам нужно, чтобы внутри подматрицы (n+1)x(n+1) стояли квадраты попарных расстояний между точками в R^n. Плюс, матрица у нас порядка (n+2), то есть явно, что работать нужно в R^{n+2}.

Следующий шаг — квадраты сторон и квадрат объёма наводят на мысль о матрице Грама, матрице скалярных произведений векторов. А именно, если у нас есть n векторов в R^n, то матрица из их попарных скалярных произведений называется матрицей Грама, и её определитель равен квадрату объёма натянутого на них параллелепипеда. Потому что если мы запишем наши векторы по столбцам матрицы M, то их матрица Грама будет задаваться как G=M^* M, и её определитель будет равен квадрату определителя M — то есть квадрату объёма.

Это хорошо, но у нас-то (n+1) точка в R^n. Поэтому давайте возьмём их координаты и допишем к ним единицу в начало. Получится (n+1) вектор в R^{n+1} — и объём натянутого на них симплекса в (n+1)! раз меньше объёма натянутого на них же параллелепипеда. С другой стороны, этот же объём равен 1/(n+1) * объём исходного симплекса, потому что высота из вершины 0 равна 1: все остальные вершины живут в n-мерной плоскости x_1=1. Сокращая, получаем, что объём исходного симплекса равен (1/n!)*объём (n+1)-мерного параллелепипеда.

А как такую формулу доказывать? Для начала давайте поймаем n!. А именно — если у нас есть n векторов в R^n, то объём симплекса, натянутого на эти вектора и начало координат, отличается от объёма натянутого на них же параллелограмма (иными словами, от составленного из них определителя) в n! раз. Ибо площадь треугольника это половина произведения основания на высоту, объём тетраэдра это треть произведения высоты на площадь основания, и так далее — и вот и получается множитель 1/(n*(n-1)*...*2*1)= 1/n!

В частности — вот версия для объёма тетраэдра (тоже скриншот из видеозаписи, правда, в этот раз из курса в ЛШСМ — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=9386, — и тут l_{ij} обозначают просто длины, поэтому в определителе они возведены в квадрат):

Снизу — общая формула; учтите, что тут А.А. обозначил через l_{ij} не длину ребра от P_i до P_j, а её квадрат.

Сверху — классическая формула Герона, но в варианте с раскрытыми скобками; из этого вида видно, что квадрат площади — многочлен не только от длин сторон, но и от их квадратов.

Один из шагов при доказательстве теоремы Сабитова — это формула, выражающая объём симплекса через длины его рёбер; многомерный аналог формулы Герона. И на неё интересно посмотреть саму по себе. Вот скриншот из видеозаписи лекции А. А. Гайфуллина в лаборатории Чебышева, https://www.youtube.com/watch?v=L_DjieJPY8I :

Да, давайте я добавлю пару слов — видео про Монстра совершенно замечательное: рассказ о группах как группах симметрий и как об абстрактном объекте, рассказ "с нуля" про серии групп и про спорадические группы, и заканчивается Монстром и той наименьшей размерностью, в которой он действует. 3blue1brown крут; снимаю шляпу!

Кстати, а вот тут бифуркация удвоения периода наблюдается для игрушечного дятла: https://youtu.be/yjBPdkSvFPw?t=301 (спасибо Г. Мерзону за ссылку!)

Ещё немного асимптотической комбинаторики: Random Sorting Networks — https://t.me/mathtabletalks/898 Алиса и Боб: кто скорее разорился раньше? https://t.me/mathtabletalks/931 Слова Фибоначчи, квазикристаллы и фрактал Рози — https://t.me/mathtabletalks/948 Записки из Warwick-а https://t.me/mathtabletalks/1053 Два взгляда на теорему о высотах в сферической геометрии (и на плоскости Лобачевского) — https://t.me/mathtabletalks/1080 Пара слов с Матпраздника — https://t.me/mathtabletalks/1123 ... и рассказ о числах Мерсенна: как их проверяют на простоту? https://t.me/mathtabletalks/1129 Бильярды в треугольниках и не только — https://t.me/mathtabletalks/1178 Задача о пересылке бриллианта и применение эллиптических кривых в криптографии для защиты... https://t.me/mathtabletalks/1198 ... и для нападения (алгоритм факторизации Ленстры) — https://t.me/mathtabletalks/1244 Игла Бюффона: как обойтись совсем без интегрирования — https://t.me/mathtabletalks/1264 Лекция Ингрид Добеши на ICM-2018: холсты из одного рулона (и кто бы мог подумать, что это можно будет проверить) — https://t.me/mathtabletalks/1279 Доказательство Ламберта иррациональности π: цепная дробь для тангенса (!) — https://t.me/mathtabletalks/1307 (и цепные дроби вообще, и небольшое упоминание фризов https://t.me/mathtabletalks/1402 ) ... и последовательности Фарея https://t.me/mathtabletalks/1464 Премия Абеля — работы Фюрстенберга https://t.me/mathtabletalks/1514 Два слова о числах Каталана — https://t.me/mathtabletalks/1586 Абелевский сезон, продолжение — работы Маргулиса: https://t.me/mathtabletalks/1638 Факторизация: как работает метод квадратичного решета — начало (метод Диксона) https://t.me/mathtabletalks/1691 + окончание https://t.me/mathtabletalks/1716 Абелевский сезон-2, продолжение о работах Маргулиса: https://t.me/mathtabletalks/1727 Вспоминая Конвея: лексикографические коды https://t.me/mathtabletalks/1750 несколько фотографий https://t.me/mathtabletalks/1791 программируя на FRACTRAN-е https://t.me/mathtabletalks/1797 статья о разных доказательствах иррациональности корня из двух — https://t.me/mathtabletalks/1803 (и отступление к доказательству рождественской теореме Ферма https://t.me/mathtabletalks/1822 ) статья "A Headache Causing Problem" https://t.me/mathtabletalks/1849 Катящиеся окружности и гипоциклоиды в них — https://t.me/mathtabletalks/1889 Рассказ о комплексной динамике, начало (когда множество Жюлиа связно?) — https://t.me/mathtabletalks/1919 Уходя в далёкое прошлое — https://t.me/mathtabletalks/1943 Упаковки шаров: начало —https://t.me/mathtabletalks/2003 Кватернионы, вращения и правильные многогранники — https://t.me/mathtabletalks/2054 Упаковки шаров: продолжение — решётка E8 https://t.me/mathtabletalks/2104 , ... формула суммирования Пуассона, теорема Горбачёва-Кона-Элкиса и доказательства оптимальности Вязовской https://t.me/mathtabletalks/2173 Комплексная динамика, продолжение (множество Жюлиа как множество хаотической динамики, метод Ньютона и открытые множества с общей границей, главная кардиоида и кролик Дуади) — https://t.me/mathtabletalks/2235 Комплексная динамика, продолжение (параболическая точка и динамика рядом с ней, бифуркация удвоения периода и логистическое отображение) https://t.me/mathtabletalks/2329 Комплексная динамика, продолжение (переход в другие гиперболические компоненты, диск Зигеля, КАМ-теория и щели Кирквуда, множества Жюлиа положительной меры и алгоритмическая неразрешимость) — https://t.me/mathtabletalks/2454 "Трёхглавый дракон", начало — https://t.me/mathtabletalks/2562 Окончание комплексной динамики: ренормализация и универсальность Фейгенбаума-Куле-Трессера — https://t.me/mathtabletalks/2619 Кривая Веронезе и выпуклые многогранники https://t.me/mathtabletalks/2692 Лекция Жиса и его "прогулка": теорема Концевича с билета в метро, Плутарх, Ньютон, доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, алгебраические кривые и хордовые диаграммы — https://t.me/mathtabletalks/2699 Равносоставленность фигур — https://t.me/mathtabletalks/2807

Продолжил оглавление — с того места, докуда доходило оглавление в архиве. Получилось немало: