Математические байки

Один из шагов при доказательстве теоремы Сабитова — это формула, выражающая объём симплекса через длины его рёбер; многомерный аналог формулы Герона. И на неё интересно посмотреть саму по себе. Вот скриншот из видеозаписи лекции А. А. Гайфуллина в лаборатории Чебышева, https://www.youtube.com/watch?v=L_DjieJPY8I :

Да, давайте я добавлю пару слов — видео про Монстра совершенно замечательное: рассказ о группах как группах симметрий и как об абстрактном объекте, рассказ "с нуля" про серии групп и про спорадические группы, и заканчивается Монстром и той наименьшей размерностью, в которой он действует. 3blue1brown крут; снимаю шляпу!

Кстати, а вот тут бифуркация удвоения периода наблюдается для игрушечного дятла: https://youtu.be/yjBPdkSvFPw?t=301 (спасибо Г. Мерзону за ссылку!)

Ещё немного асимптотической комбинаторики: Random Sorting Networks — https://t.me/mathtabletalks/898 Алиса и Боб: кто скорее разорился раньше? https://t.me/mathtabletalks/931 Слова Фибоначчи, квазикристаллы и фрактал Рози — https://t.me/mathtabletalks/948 Записки из Warwick-а https://t.me/mathtabletalks/1053 Два взгляда на теорему о высотах в сферической геометрии (и на плоскости Лобачевского) — https://t.me/mathtabletalks/1080 Пара слов с Матпраздника — https://t.me/mathtabletalks/1123 ... и рассказ о числах Мерсенна: как их проверяют на простоту? https://t.me/mathtabletalks/1129 Бильярды в треугольниках и не только — https://t.me/mathtabletalks/1178 Задача о пересылке бриллианта и применение эллиптических кривых в криптографии для защиты... https://t.me/mathtabletalks/1198 ... и для нападения (алгоритм факторизации Ленстры) — https://t.me/mathtabletalks/1244 Игла Бюффона: как обойтись совсем без интегрирования — https://t.me/mathtabletalks/1264 Лекция Ингрид Добеши на ICM-2018: холсты из одного рулона (и кто бы мог подумать, что это можно будет проверить) — https://t.me/mathtabletalks/1279 Доказательство Ламберта иррациональности π: цепная дробь для тангенса (!) — https://t.me/mathtabletalks/1307 (и цепные дроби вообще, и небольшое упоминание фризов https://t.me/mathtabletalks/1402 ) ... и последовательности Фарея https://t.me/mathtabletalks/1464 Премия Абеля — работы Фюрстенберга https://t.me/mathtabletalks/1514 Два слова о числах Каталана — https://t.me/mathtabletalks/1586 Абелевский сезон, продолжение — работы Маргулиса: https://t.me/mathtabletalks/1638 Факторизация: как работает метод квадратичного решета — начало (метод Диксона) https://t.me/mathtabletalks/1691 + окончание https://t.me/mathtabletalks/1716 Абелевский сезон-2, продолжение о работах Маргулиса: https://t.me/mathtabletalks/1727 Вспоминая Конвея: лексикографические коды https://t.me/mathtabletalks/1750 несколько фотографий https://t.me/mathtabletalks/1791 программируя на FRACTRAN-е https://t.me/mathtabletalks/1797 статья о разных доказательствах иррациональности корня из двух — https://t.me/mathtabletalks/1803 (и отступление к доказательству рождественской теореме Ферма https://t.me/mathtabletalks/1822 ) статья "A Headache Causing Problem" https://t.me/mathtabletalks/1849 Катящиеся окружности и гипоциклоиды в них — https://t.me/mathtabletalks/1889 Рассказ о комплексной динамике, начало (когда множество Жюлиа связно?) — https://t.me/mathtabletalks/1919 Уходя в далёкое прошлое — https://t.me/mathtabletalks/1943 Упаковки шаров: начало —https://t.me/mathtabletalks/2003 Кватернионы, вращения и правильные многогранники — https://t.me/mathtabletalks/2054 Упаковки шаров: продолжение — решётка E8 https://t.me/mathtabletalks/2104 , ... формула суммирования Пуассона, теорема Горбачёва-Кона-Элкиса и доказательства оптимальности Вязовской https://t.me/mathtabletalks/2173 Комплексная динамика, продолжение (множество Жюлиа как множество хаотической динамики, метод Ньютона и открытые множества с общей границей, главная кардиоида и кролик Дуади) — https://t.me/mathtabletalks/2235 Комплексная динамика, продолжение (параболическая точка и динамика рядом с ней, бифуркация удвоения периода и логистическое отображение) https://t.me/mathtabletalks/2329 Комплексная динамика, продолжение (переход в другие гиперболические компоненты, диск Зигеля, КАМ-теория и щели Кирквуда, множества Жюлиа положительной меры и алгоритмическая неразрешимость) — https://t.me/mathtabletalks/2454 "Трёхглавый дракон", начало — https://t.me/mathtabletalks/2562 Окончание комплексной динамики: ренормализация и универсальность Фейгенбаума-Куле-Трессера — https://t.me/mathtabletalks/2619 Кривая Веронезе и выпуклые многогранники https://t.me/mathtabletalks/2692 Лекция Жиса и его "прогулка": теорема Концевича с билета в метро, Плутарх, Ньютон, доказательство Гаусса основной теоремы алгебры, алгебраические кривые и хордовые диаграммы — https://t.me/mathtabletalks/2699 Равносоставленность фигур — https://t.me/mathtabletalks/2807

Продолжил оглавление — с того места, докуда доходило оглавление в архиве. Получилось немало:

И на этом я на сегодня прекращаю дозволенные речи.

Скриншот из видеозаписи первого занятия —

А ещё — сложение по Минковскому можно объявить не сложением, а... умножением. И об этом рассказывала в ЛШСМ-2013 Гаянэ Панина, см. https://www.mccme.ru/dubna/2013/courses/panina.htm + http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=7277

Видны и "секторные" окрестности, возникающие на рёбрах, и "шапочки" окрестностей в вершинах.

Да, давайте я скопирую сюда иллюстрацию из всё тех же записок курса Владлена Тиморина, https://users.mccme.ru/valya/lect3.pdf — и формулировку теоремы Штейнера-Минковского:

Вот мы и получили неравносоставленность треугольников с вершинами вверх и вниз — и более того, добыли инвариант такой равносоставленности. Ну и такой же инвариант можно построить и для любой другой фигуры T, лишь бы T' было её центрально-симметричным образом. А если посмотреть, что же именно мы при этом считаем — то будут получаться какие-то интегральные выражения от того инварианта Хадвигера, который мы построили раньше. И если мы его не придумали тогда — то его можно было бы придумать, идя от этих инвариантов, задавшись вопросом "а что же мы интегрируем".

И если поверить в то, что за смешанные площади "отвечают" стороны, и добавить к этому, что при проведении разреза появляются как раз стороны противоположно направленные стороны с двух берегов разреза — то не очень сложно увидеть, что вклад верхней стороны в S(A,T) сократится с вкладом нижней в S(A,T').

А при проверке первого удобно воспользоваться как раз знанием о том, как именно устроены площади сумм Минковского: F(A)=(S(A)+S(T)+2S(A,T)) - (S(A)+S(T')+2S(A,T')) = S(A,T)-S(A,T'), поэтому этот инвариант — это разница двух смешанных площадей.

Второе проверить проще: для A=T S(T+T)=S(2T)=4S(T), S(T+T')=S(шестиугольника)=6S(T), F(T)=-2S(T); F(T')=-F(T)=2S(T).

Рассмотрим функцию — F(A) := S(A+T) - S(A+T'). Утверждение: а) это инвариант: если мы разрезаем фигуру на выпуклые части, то значение на фигуре равно сумме значений на частях. б) он различает T и T'.

Так вот — давайте я теперь вернусь к исходной задаче. Пусть T — треугольник вершиной вверх, T' — треугольник вершиной вниз. Нам нужно придумать инвариант от "разрезания+ параллельного переноса", который их различит. Можно считать, что мы всегда режем на выпуклые части — если вдруг какая-то часть это невыпуклый многоугольник, то доразрежем его хоть на треугольники, а потом всё вместе перенесём.

Эта функция называется смешанным объёмом.