Математические байки

Да — давайте я покажу тут пару картинок из записок мини-курса Arnaud Cheritat, http://num.math.uni-goettingen.de/~summer/cheritat.pdf . Во-первых, просто картинка лепестков — показывающая, как устроена динамика f^q рядом с параболической точкой:

и раз одно равно другому, то λ^m=λ, то есть m=kq+1. (Я не проверил, что собственно q+1-я степень действительно выживает — заметём это под ковёр.)

То же самое происходит, если мы посмотрим на отображение f : w-> λw + w^2, где λ=exp(2πi p/q) — корень q-й степени из единицы. Если посмотреть на f^q(w)=w+ A w^m+..., то первой выжившей степенью будет m=q+1-я — по тем же причинам, что f и f^q должны коммутировать:

А после пересечения главной кардиоиды мы попадаем в гиперболическую компоненту, где притягивающая орбита имеет период 3; её "центр" — параметр, при котором критическая точка 0 оказывается периодичной — и соответствует тому самому кролику, которого мы видели раньше.

Иными словами — "толстую" версию кролика Дуади:

Посмотрим теперь на отображение w->f^3(w). Ноль всё ещё неподвижная точка, и производная в нём (она же коэффициент при w) равна λ^3=1. Если раскрыть скобки, то можно увидеть, что члены с w^2 и даже с w^3 сократятся. Это можно увидеть прямым вычислением — но правильнее всего заметить, что f и f^3 коммутируют, и w^4 — первая степень, ненулевой коэффициент при которой этому не противоречит. Поэтому f^3(w) = w + A w^4 + ..., и мы получаем параболическую точку с тремя притягивающими лепестками — которые f^3 сохраняет, а f переставляет по циклу.

А что происходит, если мультипликатор будет не (-1), а корнем кубическим из 1, если мы будем итерировать отображение f : w-> λw + w^2, где λ=exp(2πi/3) ? Или, как мы уже научились пересчитывать, z->z^2+c, где с=(λ/2)-(λ/2)^2 ?

Давайте я договорю про периодические компоненты рядом с главной кардиоидой. Вот мы посмотрели на то, что происходит, когда мы пересекаем её в точке с мультипликатором (-1) — рождается притягивающая периодическая орбита периода 2, а в момент пересечения квадрат отображения имеет вид z -> z + Az^3 + ...; у этой параболической точки два притягивающих (и два отталкивающих) лепестка Фату (собственно, f в каждой паре лепестки переставляет — на то у него и мультипликатор (-1)).

https://youtu.be/laAtv310pyk видимо что-то такое в воздухе сейчас — Numberphile сегодня тоже про мудрецов в колпаках

https://youtu.be/wTJI_WuZSwE новое видео от 3blue1brow обсуждается примерно такая задача «Тюремщик пообещал двум друзьям, что завтра первого из них приведут в комнату, где на каждой клетке шахматной доски лежит монета — либо вверх орлом, либо вверх решкой (но как именно, заранее неизвестно) — и предложат перевернуть одну из монет. После этого тюремщик перевернет одну из монет, приведет второго друга и предложит ему определить, какую из монет перевернул тюремщик. Если он определил правильно — обоих друзей отпустят. Как им освободиться?»

А вот упомянутая там замедленная съёмка биений бумажки — https://www.youtube.com/watch?v=Y9-W9BaAyww (via https://kvantik.com/issue/2015/ )

P.S. Оказывается, про Такомский мост писали в "Квантике": http://old.kvantik.com/art/files/pdf/2015-04.6-8.pdf

Естественно, что такое совпадение совершенно не случайно; это — универсальность Фейгенбаума—Кулле—Трессера. А откуда она берётся — и что ещё происходит на главной кардиоиде и рядом с ней — я расскажу в следующий раз.

И получаем... опять 4.669... !

Смотрим на то, с какой скоростью происходит "учащение" — то есть на предел

При дальнейшем увеличении μ в некоторый момент μ_1 эта точка теряет устойчивость — и из неё рождается притягивающая орбита периода 2. Увеличиваем μ дальше — при некотором значении μ_2 эта орбита тоже теряет устойчивость (мультипликатор переходит через (-1)), и рождается притягивающая орбита периода 4. И так далее...