Математические байки

Как и для логистического семейства x -> λx(1-x), при маленьких значениях μ всё сваливается в x=0. При μ>1/π ноль становится неустойчивой точкой — и появляется неподвижная точка внутри отрезка.

И ещё — а что будет, если мы (забыв временно про комплексные числа) будем смотреть на такие же моменты бифуркаций для какого-нибудь другого семейства? Например, для семейства отображений x -> μ sin(πx) отрезка [0,1] в себя?

И можно спросить — а почему так происходит?

И видно, что компоненты (например, их горизонтальные диаметры) убывают (асимтотически) как геометрическая прогрессия — со знаменателем 1/4.669...

Вот тут в центре уже гиперболическая компонента с периодом 8 —

Вот — увеличенный на компоненту с периодом 4:

Возвращаясь к бифуркациям — естественно, что на второй бифуркации всё не заканчивается, если двигать параметр c дальше влево, то в какой-то момент потеряет устойчивость и орбита периода 4, и родившаяся из неё орбита периода 8, и так далее. И происходит это "всё быстрее и быстрее", ускоряясь, как геометрическая прогрессия. Вот вид на гиперболическую компоненту с периодом 2 —

Кстати, хорошее упражнение — проверить, что гиперболическая компонента множества Мандельброта, отвечающая притягивающим орбитам периода 2, не просто "круглая" — а круг и есть, с центром в точке c=-1 и радиусом (1/4), а мультипликатор орбиты периода 2 как раз и равен 4(c+1).

При дальнейшем уменьшении c мультипликатор увеличивается по модулю, и при c=-5/4 становится равным (-1). После чего происходит ещё одна бифуркация удвоения периода — и притягивающей орбитой становится орбита порядка 4:

И когда мы уйдём левее c=-1 — мультипликатор станет отрицательным. Пока маленьким, но — все ведь понимают, что дальше произойдёт?

В момент, когда мы только-только перешли в нашу новую гиперболическую компоненту, мультипликатор (производная за период) новой периодической орбиты периода 2 был положительным (и почти равнялся (-1)^2=1) ). Когда мы дойдём до c=-1, он обратится в ноль: периодической орбитой будет 0 -> -1 -> (-1)^2-1=0, а производная в нуле нулевая. Кстати, в этот момент мы увидим множество Жюлиа — базилику :

Давайте теперь вернёмся к множеству Мандельброта (и, на самом деле, к логистическому отображению) — и продолжим двигаться влево по вещественной оси для c.

И жёсткая потеря устойчивости — не такой очевидный сценарий, если об этом не задумываться (и очень неприятный, если система это что-то, что нужно контролировать, и её собственное время гораздо быстрее, чем то, с какой скоростью можно управлением подкручивать параметры).

http://www.scholarpedia.org/w/images/2/2d/SubHopf.gif — жёсткая потеря устойчивости (после бифуркации всё из окрестности неподвижной точки вылетает).

http://www.scholarpedia.org/w/images/7/7f/SuperHopf.gif — мягкая потеря устойчивости (после бифуркации выход на устойчивый предельный цикл);