Математические байки

Естественно, что такое совпадение совершенно не случайно; это — универсальность Фейгенбаума—Кулле—Трессера. А откуда она берётся — и что ещё происходит на главной кардиоиде и рядом с ней — я расскажу в следующий раз.

И получаем... опять 4.669... !

Смотрим на то, с какой скоростью происходит "учащение" — то есть на предел

При дальнейшем увеличении μ в некоторый момент μ_1 эта точка теряет устойчивость — и из неё рождается притягивающая орбита периода 2. Увеличиваем μ дальше — при некотором значении μ_2 эта орбита тоже теряет устойчивость (мультипликатор переходит через (-1)), и рождается притягивающая орбита периода 4. И так далее...

Как и для логистического семейства x -> λx(1-x), при маленьких значениях μ всё сваливается в x=0. При μ>1/π ноль становится неустойчивой точкой — и появляется неподвижная точка внутри отрезка.

И ещё — а что будет, если мы (забыв временно про комплексные числа) будем смотреть на такие же моменты бифуркаций для какого-нибудь другого семейства? Например, для семейства отображений x -> μ sin(πx) отрезка [0,1] в себя?

И можно спросить — а почему так происходит?

И видно, что компоненты (например, их горизонтальные диаметры) убывают (асимтотически) как геометрическая прогрессия — со знаменателем 1/4.669...

Вот тут в центре уже гиперболическая компонента с периодом 8 —

Вот — увеличенный на компоненту с периодом 4:

Возвращаясь к бифуркациям — естественно, что на второй бифуркации всё не заканчивается, если двигать параметр c дальше влево, то в какой-то момент потеряет устойчивость и орбита периода 4, и родившаяся из неё орбита периода 8, и так далее. И происходит это "всё быстрее и быстрее", ускоряясь, как геометрическая прогрессия. Вот вид на гиперболическую компоненту с периодом 2 —

Кстати, хорошее упражнение — проверить, что гиперболическая компонента множества Мандельброта, отвечающая притягивающим орбитам периода 2, не просто "круглая" — а круг и есть, с центром в точке c=-1 и радиусом (1/4), а мультипликатор орбиты периода 2 как раз и равен 4(c+1).

При дальнейшем уменьшении c мультипликатор увеличивается по модулю, и при c=-5/4 становится равным (-1). После чего происходит ещё одна бифуркация удвоения периода — и притягивающей орбитой становится орбита порядка 4:

И когда мы уйдём левее c=-1 — мультипликатор станет отрицательным. Пока маленьким, но — все ведь понимают, что дальше произойдёт?