Фулл и точка

#геом_разминка #medium #9 Задача. В четырёхугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 углы 𝐵 и 𝐷 прямые. Прямые 𝐴𝐵 и 𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝐸, а прямые 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 пересекаются в точке 𝐹. Прямая, проходящая через 𝐵 параллельно 𝐶𝐷, пересекает описанную окружность 𝜔 треугольника 𝐴𝐵𝐹 в точке 𝐾, а отрезок 𝐾𝐸 пересекает 𝜔 в точке 𝑃. Докажите, что точки 𝐴, 𝑃 и середина 𝐶𝐸 лежат на одной прямой.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Лучи 𝐵𝐴 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Прямая, проходящая через 𝑃 и параллельная касательной к окружности в точке 𝐷, пересекает в точках 𝑈 и 𝑉 касательные, проведённые к окружности в точках 𝐴 и 𝐵. Докажите, что окружности, описанные около треугольника 𝐶𝑈𝑉 и четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, касаются.

#imo_2026 #красота_спасет_мир Публикуем сегодняшнюю задачу по геометрии с межнара. Была предложена под номером 2. Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶, точки 𝑀 и 𝑁 середины сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Пусть точки 𝐾 и 𝐿 выбраны внутри треугольников 𝐵𝑀𝐶 и 𝐵𝑁𝐶 соответственно так, что 𝐾 лежит внутри угла 𝐿𝐵𝐴, 𝐿 лежит внутри угла 𝐴𝐶𝐾, причем ∠𝐾𝐵𝐴 = ∠𝐴𝐶𝐿, ∠𝐿𝐵𝐾 = ∠𝐿N𝐶, ∠𝐿𝐶𝐾 = ∠𝐵M𝐾. Пусть 𝑂 центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐾𝐿. Докажите, что 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁.

#красота_спасет_мир Сегодня снова предлагаем распилить 🪚 прямоугольник: Задача. Прямоугольник разрезан на прямоугольники, длина одной из сторон каждого из которых — целое число. Докажите, что длина одной из сторон исходного прямоугольника — целое число.

#геом_разминка #easy #8 Задача. Прямоугольник разрезан на 9 квадратов, как показано на рисунке. Сторона маленького белого квадрата равна 1. Найдите стороны прямоугольника.

#красота_спасет_мир Задача. На поле вырыт круглый колодец. У нас есть очень много разных бесконечно длинных досок. Каждая доска имеет какую-то свою ширину. Этими досками полностью закрыли колодец так, что не осталось никаких щелей (доски необязательно все параллельны друг другу). Доказать, что сумма ширин досок всегда будет не меньше диаметра колодца.

#геом_разминка #medium #8 Задача. Из 9 единичных квадратов сложили большой квадрат 3×З. Какое максимальное число точек можно выбрать среди 16 вершин маленьких квадратов, чтобы никакие три точки не были бы вершинами равнобедренного прямоугольного треугольника?

#геом_разминка #easy #8 Задача. Пусть 𝐼 — точка пересечения биссектрис треугольника 𝐴𝐵𝐶. Обозначим через 𝐴', 𝐵', 𝐶' точки, симметричные 𝐼 относительно сторон треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что окружность, описанная около треугольника 𝐴'𝐵'𝐶', проходит через вершину 𝐵 тогда и только тогда, когда ∠𝐴𝐵𝐶 = 60°.

#геом_разминка #medium #8 Задача. Круг поделили хордой 𝐴𝐵 на два круговых сегмента и один из них повернули на некоторый угол вокруг точки 𝐴. При этом повороте точка 𝐵 перешла в точку 𝐷. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка 𝐵𝐷, перпендикулярны друг другу.

#геом_разминка #medium #7 Задача. Торт имеет форму тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?

#геом_разминка #medium #9 Задача. Внутри треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝑇, из которой все стороны видны под углом 120°. Докажите, что 2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐴) ⩾ 4𝐴𝑇 + 3𝐵𝑇 + 2𝐶𝑇.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝐵𝑃𝐶𝑄 — параллелограмм (𝑃 не лежит на 𝐵𝐶). Пусть 𝑈 — точка пересечения 𝐶𝐴 и 𝐵𝑃, 𝑉 — точка пересечения 𝐴𝐵 и 𝐶𝑃, 𝑋 — точка пересечения 𝐶𝐴 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝑄, отличная от 𝐴, а 𝑌 — точка пересечения 𝐴𝐵 и описанной окружности треугольника 𝐴𝐶𝑄, отличная от 𝐴. Докажите, что 𝐵𝑈 = 𝐶𝑉 тогда и только тогда, когда прямые 𝐴𝑄, 𝐵𝑋 и 𝐶𝑌 пересекаются в одной точке.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный в окружность 𝜔 четырёхугольник. Точки 𝐵₁ и 𝐷₁ симметричны точке 𝐴 относительно середин 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 соответственно. Пусть (𝐶𝐵₁𝐷₁) пересекает 𝜔 в 𝐶 и 𝐺. Докажите, что 𝐴𝐺 — диаметр 𝜔.

#геом_разминка #medium #10 Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐵𝐶, вписанный в красную окружность. В меньшие сегменты, стягиваемые хордами 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, вписали синюю и зелёную окружности соответственно. Обозначим точку касания красной и синей окружностей через 𝑋, а точку касания красной и зелёной окружностей через 𝑌. Общая внешняя касательная к синей и зелёной окружностям пересекает отрезки 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑄 и 𝑃 соответственно. Докажите, что прямые 𝑄𝑋 и 𝑃𝑌 пересекаются на высоте треугольника 𝐴𝐵𝐶, опущенной из точки 𝐴.

#геом_разминка #medium #8 Задача. На стороне 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечены точки 𝐷 и 𝐸 так, что 𝐵𝐷 = 𝐶𝐸 и треугольник 𝐴𝐷𝐸 – остроугольный. На дуге 𝐷𝐸 описанной окружности треугольника 𝐴𝐷𝐸, не содержащей точку 𝐴, нашлись такие точки 𝑃 и 𝑄, что 𝐴𝐵 = 𝑃𝐶 и 𝐴𝐶 = 𝐵𝑄. Докажите, что 𝐴𝑃 = 𝐴𝑄.

#геом_разминка #medium #8 Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник, а 𝑆𝑏, 𝑆𝑐 — середины сторон 𝐴𝐶 и 𝐴𝐵 соответственно. Докажите, что 𝐴𝐵 < 𝐴𝐶 тогда и только тогда, когда ∠𝐵𝑆𝑐𝐶 < ∠𝐵𝑆𝑏𝐶.

#геом_разминка #medium #9 Задача. Все вершины шестиугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 лежат на окружности с центром 𝑂, причём 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 𝐸𝐹. Диагонали 𝐴𝐷, 𝐵𝐸 и 𝐶𝐹 пересекаются в точке 𝐾. Пусть 𝑆 — центр описанной окружности треугольника, образованного прямыми 𝐴𝐹, 𝐵𝐶 и 𝐷𝐸. Докажите, что точки 𝐾, 𝑂 и 𝑆 лежат на одной прямой.

#геом_разминка #medium #8 Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, пусть 𝐷 – середина стороны 𝐵𝐶. Вне треугольника 𝐴𝐵𝐶 построены равнобедренные треугольники 𝐴𝐸𝐵 и 𝐴𝑍𝐶 с основаниями 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 соответственно. Известно, что 𝐷𝐸 ⊥ 𝐷𝑍 и ∠𝐴𝐸𝐵 = 2∠𝐴𝑍𝐶. Найдите ∠𝐸𝑍𝐷.

#геом_разминка #easy #9 Задача. Две перпендикулярные хорды 𝐴𝑀, 𝐵𝑁 окружности пересекаются в точке 𝐾 и делят окружность на четыре дуги, длины которых попарно различны, причём 𝐴𝐵 — наименьшая из них. Проведём хорды 𝐴𝐷, 𝐵𝐶 так, что 𝐴𝐷 ‖ 𝐵𝐶, а точки 𝐶, 𝐷 отличны от 𝑁, 𝑀. Пусть 𝐿 — точка пересечения 𝐷𝑁 и 𝑀𝐶, а 𝑇 — точка пересечения 𝐷𝐶 и 𝐾𝐿. Докажите, что 𝐾𝑁𝐷𝑇 – вписанный.