Geometry Daily

#нер-во (простое) Источник ??? M, N, A - середины BC, CA, MJ. Доказать, что AB + BJ >= AJ + AC

Для привлечения внимания - два факта, которые генератор выдал на одном из тестов. ABC - треугольник, Б_a, Б_b, Б_c - точки Болтая. 1) AБ_a, BБ_b, СБ_c пересекают (ABC) в A', B', C'. Доказать соосность (AA'Б_b), (BB'Б_c), (CC'Б_a). 2) Пусть M - середина AC. A, C, M отразили относительно сторон треугольника из Болтаев (как на рисунке). Доказать прямую

Дорогие подписчики, мы с Ваней Полянским представляем вам КРОПОЛЯТОР! ‎Теперь машина умеет считать задачи не только в комплексных (компланатор), но и в БАРИЦЕНТРИЧЕСКИХ (бариканатор, можно переключить движок) координатах! Также появилась возможность работать с КОНИКАМИ. ‎ ‎Также в компланатор мы встроили ГЕНЕРАТОР ЗАДАЧ. На вход он принимает нарисованную конструкцию, пользователь ограничивает число построений в теореме, количество слоев и бюджет поиска, после чего машина ищет ВСЕ ТЕОРЕМЫ с данными ограничениями (НЕ СЧИТАЮЩИЕСЯ В УГЛАХ). Простенький алгоритм сортирует задачи по интересности (чаще всего не супер), к каждой есть опция нарисовать и получить текстовое условие. Очевидные факты часто проскакивают, но в целом их не так много. ‎ ‎Генератор может работать довольно долго (час-два), если дать ему слабые ограничения на постноения и большой бюджет. Так что перед использованием попробуйте сгенерировать базовые теоремы (не считающиеся в углах!!). ‎ ‎Если вам удалось нагенерировать что-то интересное, мы просим показать нам, может, даже на олимпиаду закинем. ‎ ‎Совершенствоваться еще есть куда, поэтому новые апргейды будут (нужно научить генератор проверять теоремы на следствия, реализовать баянатор, научить придумывать синтетику и т.д.). Пока что подписчики канала могут забрать крополятор по ссылке через бот: https://t.me/WhatTheFileBot?start=CMNqfAkQLgxFICWBAc2YAKSQCUpGRfFNMHHhz31IJpdF6r3gBy1fBA

Например, #баян (сложный) Источник: USAMO 2021, P6 Противоположные стороны четырёхугольника параллельны, а их попарные произведения равны. Доказать, что ортоцентр треугольника из середин его диагоналей лежит на прямой, проходящей через центры нарисованных окружностей

Мы решили разграничить рубрики канала по смыслу и сложности, а также сделать удобную навигацию Теперь будут #баян #из_предложки #авторка и другие. В общем постараемся, чтобы всем было интересно 😊

Инструкция Кнопки "рисовать" и "движок включен" отключают во время их использование геогебру / движок соответственно. Это удобно, например, чтобы рисовать ненужные объекты и не засорять их уравнениями память. Когда вы делаете построения, в алгебре точек все координаты и уравнения отображаются. Делать построения также можно командами в командной строке (какие есть команды там написано). Если вам вдруг удалось натыкать объект, уравнение которого считается больше 5 с, вам будет предложено посчитать еще немного и так до победного. Однако это повод задуматься сменить план счета задача. Если выражения огромные, то компланатор выносит по умолчанию только понятные скобочки. Для тотального разложения на скобки используйте строку "выражения от координат". Забиваете туда все, что угодно, компланатор приводит уравнение к каноничному виду и сам предлагает это сделать. Аналогично работает "условие на точки". Эта штука нужна, например, чтобы записать уравнение на исходные объекты, когда в задаче "оказалось, что". Командная строка также умеет решать системы уравнений. Для этого в одной строке вы можете написать несколько команд с несколькими неизвестными точками, компланотор решит систему и все нарисует. !!! Рекомендуется использовать это например для пересечения (ABC) и (DEC). Человек бы тоже не стал для этого писать уравнения обеих окружностей и пересекать. Иррациональности компланатор поддерживает как "независимые переменные", но помнит на них условие. Все последующие координаты зависят от этих племенных, но в них нет симметрияеских частей, квадратов и тд. Какой-то потолок у компланатора есть. Он упирается в многочлены огромной степени (степень зависит от числа независимых переменных). Мы тестировали компланатор на максимально стремных задачах из файлика, и ни в одной потолок не был достигнут даже близко. Но, если вам удалось это сделать, то это повод задуматься, а не надо ли вам сменить план счета

Мы с Ваней Полянским представляем вам первую версию компланатора! ‎ ‎Это движок на геогебру умеет считать задачи (в комплексных координатах) со скоростью построения картинки. Теперь, чтобы реализовать план счета, (похожий хотя бы немного на адекватный 😁), у вас потребуется несколько секунд. ‎Мы решили подарить компланатор только подписчикам нашего канала. Забрать вы его можете по ссылке через бот. Обратите внимание, что пока он работает только на компе. https://t.me/WhatTheFileBot?start=U7QrA6AqkaBAt1XAuSrGWA5JOLhAw3kIuN5QmIBMACB5IUAxgq_g2g ‎Мы будем рады, если вы найдете баги и несовершенства и поделитесь ими с нами. Инструкция как это юзать скоро появится в комментариях.

Решили с @Acopianker вчера такую задачку (23 из файлика). Там два пункта, но один из них уже рисовался в этом канале, поэтому картинка только к пункту б (картинка от К Бельского) Вроде на ней все понятно; доказать касание

Задачу @claws0n из файлика вчера решили независимо @Anton_skd и @sh_andrei_a. Условие: точки A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1 образуют октет, X, Y, Z, T - середины AA_1, BB_1, CC_1, DD_1. а) Доказать, что есть окружность через X, Y, Z, T. б) Доказать, что ее центр лежит на прямой Гаусса четырёхугольника из центров (ABA_1B_1), (BCB_1C_1), (CDC_1D_1), (DAD_1A_1).

Завтра будут ещё посты. Пока скажу только, что 17 задача из файлика решилась мной, но уже была решённой Петром ~также и в общем ничего нового не произошло.

Это задача 10 из файлика, автор @Mamonovclhgffkuffhj Решил ее сегодня некто Полиграф Шариков Вот и думайте

Задачу 15 из файлика решили! Благодарим за решение @sh_andrei_a А за авторство спасибо @DmitriyKrohalev Условие: В треугольнике ABC диаметр описанной окружности равен D. Точки X и Y таковы, что (XB·AC+XC·AB)/AX = (YB·AC+Y C·AB)/AY = 2R. Среди всех максимальных углов XAY для треугольников ABC найти минимальный.

У нас снова есть продвижения по файлику: Во-первых, мы с @Acopianker нашли еще одно, наверное самое простое решение задачи 8. Во-вторых, мне это помогло решить задачу 7, которой посвящен этот пост. Картинка будет от автора

https://drive.google.com/drive/folders/1HULtL7ry4kxniCBuKSrS8ao3m5PKZ6TH?usp=sharing Актуальная версия файлика

Это 28 задача. Ее решили мы с легендарным @Acopianker

Короче несколько объявлений по файлику: 1) Задачи 14, 24, 29 оказались неверными 1.1) В задаче 14 единственная точка НЕ X_45 1.2) В задаче 24 доказывайте, что коники C_abc образуют связку 1.3) В задаче 29 пока не удалось исправить условие 2) Мы посмотрели на файлик и поняли, что новая версия 14 задачи и 12 задача - неинтересные и слишком алгебраические. Поэтому в ближайшем будущем мы их планируем заменить. 3) Мы исправили несколько опечаток. Видно, что несколько мест для задач освободилось, поэтому подписчики могут предложить новые.

Доказывайте просто единственность

Задачу номер 14 из файлика только что опроверг Claude fable. Оказывается точка просто очень близка в X_45 (настолько, что мы до сегодняшнего дня не замечали это в геогебре). Однако в формулировке что такая точка единственная задача всё ещё открыта.

Задачу 1 решили наш подписчик Д. Крохалев и я За авторство спасибо @egfed Условие: Дан треугольник. Стороны треугольника Жергонна всегда пересекают антисоот- ветственные стороны антисерединного треугольника в шести точках, лежащих на одной конике. Докажите, что чевианная окружность центра этой коники касается вписанной окружности.

Задачу 6 из файлика решил @Anton_skd За авторство благодарим @kosmonauten3114 Условие: В треугольнике ABC выбирается произвольная точка P на кубике Томсона, PAPBPC — ее педальный треугольник, A′B′C' — окружностно-чевианный треугольник. A1, B1, C1 — образы симметрий точек A′, B′, C′ относительно BC, AC, AB соответственно. А2, B2, C2 — образы симметрий относительно MA, MB, MC соответственно. A3, B3, C3 — образы симметрий относительно PA, PB, PC соответственно. Докажите, что окруж- ности (A1B1C1), (A2B2C2), (A3B3C3) соосны.