Математические байки

Во-первых, можно заметить, что выражение выше это производная по x от чего-то явного. Потому что f * f_x = (f^2/2)_x; и в сумме выражение это производная от -c f + (3/4) f^2 + (1/4) f_xx. И раз производная равна нулю — то это выражение равно (неизвестной) константе.

Давайте теперь посмотрим, как можно искать солитонные решения? Солитон движется, сохраняя свою форму. То есть нас интересует решение, которое просто движется вперёд с фиксированной скоростью c. Это значит, что производная u_t это просто -c*u_x. И наоборот, если в начальный момент времени у нас выполнено равенство u_t = -c * u_x (и мы верим в единственность решения), то решение и дальше « поедет со скоростью c », будет иметь вид u(t,x) = u(0,x-ct). И вот мы и получаем уравнение на профиль f(x)=u(0,x) солитона: нужно просто заменить u_t на -cu_x в уравнении КдФ. Итого: -c f_x + (3/2) f f_x + (1/4) f_xxx = 0. Будем решать? (Сейчас окажется, что всё вполне решается, причём с интересными промежуточными шагами.)

Добавлю (к пересылаемому) от себя — Тадаси совершенно прекрасен! Очень много что я узнал в первый раз от него, включая истории про приливы, про муары (как раз то, что я тут рассказывал), и так далее.

https://youtu.be/POmhapS12mA Tadashi Tokieda. Pure Mathematics as Applied Physics 24.01 7pm ET = 25.01, 03:00Msk (неловко анонсировать мероприятие в такое время, но лектор совершенно замечательный, а записи не планируется) Humans tend to be better at physics than at mathematics. When an apple falls from a tree, there are more people who can catch it—they know physically how the apple moves—than people who can compute its trajectory from a differential equation. Applying physical ideas to discover and explain mathematical results is therefore natural, even if it has seldom been tried in the history of science. (The exceptions include Archimedes, some old Russian sources, a recent book of Levi’s, as well as my articles and lectures.) A variety of elementary yet surprising examples will be presented.

А что с положениями этих групп? Как и раньше — более быстрая группа сдвигается вперёд, а более медленная назад! (Опять же, можно думать об упругом столкновении, когда задняя группа передаёт свой импульс передней.)

При этом положении момент столкновения не очень хорошо виден — давайте чуть-чуть сдвинем начальное положение одной из групп. Теперь виден момент « 4 камня-2 пустых-3 камня », когда как раз и происходит столкновение групп.

И… в момент столкновения группы как-то смешались — но потом опять разошлись именно как группы из 2 и 5 камней (а не 3 и 4, например!).

Вот тут мы запустили два солитона — группы из 5 и из 2 камней. Понятно, что группа из 5 движется быстрее и догоняет. Вот-вот…

Немного уходя в сторону — солитоны можно видеть и в дискретных моделях. Меня когда-то очень простой и симпатичной такой модели научил Е. Ю. Смирнов (он как раз тогда вернулся из поездки, где это узнал — и мы стояли вечером около метро и беседовали; до сих пор это помню!). Итак, Box-Ball System. Пусть в каждой целочисленной точке на прямой выкопана лунка; в некоторых из них лежит по камню (всего — конечное число). Каждую минуту из минус бесконечности в плюс бесконечность пробегает гонец с мешком. Пробегая мимо камня, он его подбирает и убирает в мешок. Пробегая мимо пустой лунки, если у него есть хоть один камень в мешке — он туда один камень кладёт. Эквивалентно ещё можно сказать так: начиная с самого левого камня, последовательно перемещаем каждый камень, который ещё не сдвинут, в ближайшую пустую лунку правее него. (Да — вот тут про эту модель рассказывает Vincent Duchêne на « пятиминутке Лебега ».) Тогда группа из n камней образует « солитон » — движущийся как раз со скоростью n. А что будет, если два таких солитона столкнутся?

Интересно, что на то же самое столкновение можно смотреть по-другому. Можно считать, что происходит абсолютно упругое столкновение между частицами-солитонами — в результате которого, как и положено при соударении одинаковых частиц на прямой, они обмениваются импульсами. Просто импульс (или скорость) частицы-солитона влияет на то, как он выглядит как волна; так что тот солитон, что был впереди, впереди и остался, просто у него теперь импульс больше.

То есть — солитоны « столкнулись », провзаимодействовали. Но когда разошлись, то остались сами собой — просто медленный в результате отстал, а быстрый ушёл вперёд. Удивительно, правда?

Иии… Зелёная сумма — когда мы медленный солитон сдвинули влево, а быстрый вправо — опять идеально закрыла синий график точного решения!

t=1.25: настоящее решение разделилось обратно на два солитона… только более медленный из них левее, а более быстрый правее, чем они были бы, если бы не взаимодействовали. А давайте сдвинем слагаемые в сумме?

t=0.75: сумма ведёт себя похоже на то, как настоящее решение вело себя пару слайдов назад — а настоящее уже совсем разделилось…

t=0.5: … синее решение уже заметно разделилось на два горба…

t=0.25. Сумма волн ещё была бы « слившейся » — а вот настоящее решение уже начинает разделяться…

t=0, « момент столкновения ». Горбы слились в одну волну — более широкую и менее низкую, чем была бы их сумма.

t=-0.25. Синее решение начинает проявляться из-под графика суммы. Видно, что его пик стал ниже, чем был бы максимум суммы.

t=-0.75, волны уже зацепились друг за друга, но всё ещё ведут себя, как если бы решение было суммой…

Я буду рисовать поверх синего точного решения оранжевый график — сумму двух солитонов. Если бы уравнение было линейным, то сумма решений была бы решением (и если предположить устойчивость, то оранжевое « решение » всегда продолжило бы идеально закрывать синее). А что мы увидим на самом деле? t=-1.75, горбы начинают сближаться…