Математические байки

К одной оффлайновой дискуссии вчера: про предел (1+a/n)^n -> e^a при n->\infty. Двадцать лет назад я считал, что «правильный» способ об этом думать, это раскрыть скобки по биному, перейти к пределу почленно — из C_n^k /n^k * a^k = (n(n-1)…(n-k+1))/(k!*n^k) * a^k предельным переходом получается a^k/k! (потому что в числителе тоже почти что n^k). Дальше получается ряд \sum_k a^k/k!, а это и есть экспонента e^a; остаётся объяснить корректность (равномерную по n сходимость этих сумм по k, ибо они мажорируются как раз рядом для экспоненты). А подход через логарифм считал странным трюком. А сейчас — наоборот: мне кажется, что «правильный» (ну или, как минимум, один из правильных) способов к этому подходить — это рефлекторное применение правила «Видишь [длинное] произведение — прологарифмируй!». А n-я степень это то же произведение. Убираем под логарифм, получаем n * \ln (1+ a/n) = n* (a/n + o(1/n)) -> a, n ->\infty, значит, сама степень стремится к e^a. Понятно, что можно и так, и так. Но рефлекс, что произведение всегда гораздо лучше выглядит после логарифмирования (сложение это гораздо более простая операция, а вычисление логарифмов сомножителей работает с ними по отдельности, что обычно просто) — по-моему, это рефлекс правильный…