Математические байки

https://www.shawprize.org/laureates/2024-mathematical-sciences/ The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2024 is awarded to Peter Sarnak, Gopal Prasad Professor, School of Mathematics, Institute for Advanced Study and Eugene Higgins Professor of Mathematics, Princeton University, USA, for his development of the arithmetic theory of thin groups and the affine sieve, by bringing together number theory, analysis, combinatorics, dynamics, geometry and spectral theory.

О, и есть запись: https://www.youtube.com/watch?v=XicGYyhC9CQ А ещё я хочу воспользоваться этим случаем, чтобы посыпать голову пеплом. Все эти годы, когда я хотел найти что-то конкретное из вышедшего в Квантике, я просто пытался гуглить — а если знал год, то переходил по ссылке «Архив» на их главной странице. Что было совсем не всегда удобно. И все эти годы, на самом виду, там висела ссылка на рубрикатор! По которой я почему-то скользил взглядом… и не пытался посмотреть, «а что там?». То есть, если хочется перечитать (отличный!) цикл статей Валерии Сироты про экскурсию по Солнечной системе, или найти рассказ Ивана Высоцкого про количество блюд из курицы и рыбы на борту самолёта (применение центральной предельной теоремы, если говорить на языке высокой науки!) — это делается в пару кликов. Кстати, я заодно обнаружил, что в цикле-экскурсии есть и статья про Землю, Луну и приливы — которую я почему-то тогда пропустил. В общем — пользуйтесь!

О, и есть запись: https://www.youtube.com/watch?v=XicGYyhC9CQ А ещё —

В пятницу 17 мая в 19:00 мск мы побеседуем в прямом эфире с Сергеем Александровичем Дориченко! Сергей Александрович является председателем жюри международной олимпиады «Турнир городов», преподавателем математики 179-й школы, создателем журнала «Квантик» и потрясающим популяризатором математики. Мы уверены, что разговор будет интересный 🙂 Узнаем у Сергея Александровича: — как заинтересовать ребёнка математикой, — откуда ежегодно на «Турнире городов» так много классных задач, а на «Летней конференции Турнира городов» — так много классных проектов, — тяжело ли работать в редколлегии журнала «Квант», — как в 2011-м году родилась идея создать журнал «Квантик» и как он развился за эти 13 лет, — действительно ли математика похожа на музыку, — важно ли интересоваться не только математикой и быть разносторонним человеком, — и многое другое. Ссылка на эфир появится в нашем канале в пятницу. Оставляйте в комментариях под этим постом интересующие Вас вопросы! Подписаться на «Математические кружки» #мт_интервью

Ответ на этот вопрос даёт формула Лефшеца. Выглядит она так. Раз отображение f действует на многообразии M — оно действует и на всех k-мерных гомологиях H_k(M,\R) (которые мы будем рассматривать с вещественными коэффициентами, так что это векторное пространство). Слово «гомологии» заслуживает отдельного комментария, но если вы с ними не сталкивались — давайте временно ограничимся тем, что это какие-то векторные пространства, сопоставленные многообразию, и измеряющие, насколько в нём есть что-то нетривиальное «в размерности k». Например, у сферы с g ручками нуль-мерные гомологии это одномерное пространство (порождённое «точкой»), двумерные гомологии это тоже одномерное пространство (порождённое «всей поверхностью»), а вот одномерные гомологии это пространство размерности 2g (порождённые обходами «вдоль» и «поперёк» каждой из ручек — или, что то же самое, «параллелями» и «меридианами» каждого из g торов, как связную сумму которых можно представить поверхность). Так вот — отображение f действует на каждом из пространств k-мерных гомологий как линейное преобразование. А с линейным преобразованием много чего связано — в частности, можно рассмотреть след tr (f_* , H_k(M,\R)) Давайте посмотрим на знакопеременную сумму таких следов. Оказывается, это и есть ответ! Теорема (формула Лефшеца). \sum_{f(p)=p} ind_f(p) = \sum_{k=0}^n tr(f_* , H_k(M,\R)). То есть — сумма индексов неподвижных точек отображения определяется тем, как именно оно «перекручивает» многообразие. Красиво, правда? Пример. Возьмём векторное поле v и «проедем» вдоль него небольшое время t_0 — получив диффеоморфизм f. Его неподвижные точки это в точности особые точки v (если время было достаточно малым, чтобы ни одну периодическую орбиту мы не успели полностью проехать). И индексы у них для отображения и для векторного поля одни и те же. Так что по теореме Пуанкаре–Хопфа сумма их индексов равна эйлеровой характеристике. С другой стороны, заметим, что f гомотопно тождественному отображению (что f в тождественное отображение «можно перетянуть»). Действительно, достаточно рассмотреть семейство сдвигов вдоль того же векторного поля v за разные времена t. При t=0 это тождественное отображение, а при t=t_0 — наше f. Вот мы непрерывно и перетянули f в id. А гомотопные отображения одинаково действуют на гомологиях. Так что для такого f его действие на каждых гомологиях просто тождественно, и значит, каждый след это просто размерность соответствующего пространства гомологий. А знакопеременная сумма размерностей пространств гомологий действительно равна эйлеровой характеристике!

Warning/disclaimer: уровень сложности начинает повышаться. Итак, для векторных полей на (замкнутых ориентированных) многообразиях сумма индексов особых точек всегда равна эйлеровой характеристике. А нельзя ли что-то подобное сделать для отображений? Пусть у нас есть отображение f:M->M, и у него есть изолированная неподвижная точка p. Тогда рядом с ней можно взять локальные координаты (карту) и рассмотреть векторное поле v_f, «соединяющее» каждую точку x с f(x). У этого поля p будет изолированной особой точкой => можно рассмотреть его индекс. Определение. Индекс изолированной неподвижной точки p для отображения f — это её индекс для этого векторного поля v_f: ind_f (p) := ind_{v_f}(p). Несложно убедиться, что это определение корректно — если мы используем другую карту, индекс будет тем же самым. Но у нас уже нет глобального векторного поля: если x и f(x) «далеко» друг от друга, то неясно, как именно их соединять. Скажем, если мы на торе — обходить ли «по» или «против» меридиана? Так что сумма индексов неподвижных точек отображения f уже не обязана быть равна эйлеровой характеристике. А чему она будет равна?

(Построение векторного поля по триангуляции поверхности)

Продолжим? Представим себе, что у нас векторное поле v задано не на плоскости, а на какой-то ориентированной поверхности S — сфере, торе, кренделе, и т. д. То есть нам дана поверхность S, и в каждой точке p\in S задан вектор v(p), касательный к S в этой точке. Если брать аналогию с векторным полем как набором скоростей ветра — то ветер не дует ни вверх, ни вниз, а в каждой точке по касательной к Земле в этой точке. Теперь, если кривая γ «большая», мы не можем сравнивать направления векторов в разных её точках — касательные плоскости в них разные. А вот если она нам задана вместе с картой, целиком кривую содержащей — тогда можно перенести векторное поле на карту, и индекс опять определён. И от выбора карты результат будет зависеть: индекс векторного поля вдоль экватора, посчитанный с помощью карты-северного полушария, отличается от индекса, посчитанного в южном полушарии. Но индекс особой точки всё ещё определён (ибо маленькая окружность заключена в карте). Так вот, есть такое замечательное утверждение: Предложение. Сумма индексов особых точек векторного поля на S, у которого особых точек конечное число — от выбора такого поля не зависит. Набросок доказательства. Если деформировать поля друг в друга, оставаясь в классе полей с изолированными особыми точками, то сумма остаётся постоянной в процессе деформации. Действительно, в любой момент разрежем поверхность на маленькие кусочки, границы которых в текущий момент не проходят через особые точки поля. Тогда, в силу теоремы о сумме индексов, вся сумма равна сумме индексов по границам кусочков (закрываемых картами, содержащими кусочки целиком). А каждый из таких индексов при малом возмущении не меняется. Так что сумма индексов — локально-постоянная функция; а значит, она и просто константа. Остаётся убедиться, что любые два поля перетаскиваются одно в другое. Ну и для этого можно сначала соединить любые два векторных поля u и v просто отрезком u_t(p)=t*u(p) + (1-t)*v(p), t\in [0,1]. А потом, если этот путь от u_0=u к u_1=v не работает (в какой-то момент t у поля u_t есть неизолированные особые точки), возмутить его, заменив на близкий, но «типичный»: наличие неизолированной особой точки это очень, очень сильное вырождение. А чему равна эта сумма? Ответ очень красивый: Теорема Пуанкаре-Хопфа. Сумма индексов особых точек векторного поля с изолированными особыми точками на замкнутом ориентированном многообразии M равна эйлеровой характеристике многообразия χ(M). (Она справедлива для любой размерности M, но у нас пока что индекс точки определён только для поверхности, так что давайте я пока продолжу, как будто M это поверхность.) Доказательство. Мы уже убедились, что сумма не зависит от выбора поля. Остаётся построить поле, у которого ответ будет точно равен χ(M). Давайте триангулируем M и возьмём поле, у которого особые точки — по одному источнику в центре каждого треугольника, по седловой точке в середине каждого ребра, и по стоку в каждой вершине триангуляции (см. рис. ниже). Индексы источника и стока равны по +1, у седловой точки он (-1), так что сумма индексов как раз и будет равна эйлеровой характеристике, В-Р+Г= χ(M). Собственно, мы только что доказали теорему о причёсывании ежа: эйлерова характеристика сферы равна 2 (классическая формула Эйлера для многогранников, В-Р+Г=2 !), так что сумма индексов особых точек должна быть равна 2. И значит, хотя бы одна особая точка должна быть (сумма пустого множества равна 0).

Ещё одно применение логики деформации — это Теорема о даме с собачкой: если для двух векторных полей u, v в любой точек кривой γ выполнено |u(x)|>|v(x)|, то ind_γ u = ind_γ (u+v). Действительно, соединим поля u и u+v путём u_t=u+tv, где «время» t\in [0,1]. Ни в какой момент на γ нет особых точек u_t (ибо |u|>|v|), так что индекс при деформации не меняется. Значит, индексы начального поля u и конечного u+v равны. Кстати, на этом пути можно доказать основную теорему алгебры. Действительно, комплексный многочлен P(z) тоже можно рассматривать как векторное поле: в точке z\in C = R^2 ставим вектор P(z)\in C = R^2. Рассмотрим теперь огромную окружность γ_R = { |z|=R }. На ней старший моном z^n сильно больше, чем все остальные. Значит, можно применить теорему о даме с собачкой: индексы вдоль γ_R полей, задаваемых z^n и полным многочленом P, совпадают. Но \arg z^n = n \arg z, так что индекс z^n равен n. Значит, особые точки — корни многочлена P — внутри γ_R есть! Собственно, индекс особой точки такого поля равен её кратности как нуля P, так что сумма кратностей корней сразу получается равной n.

Пусть теперь у векторного поля в какой-то области D все особые точки изолированные. Посмотрим на его индекс вдоль границы \gamma=∂D этой области. Если «сдуть» D (как воздушный шарик), не давая её границе перескакивать через особые точки v — то останутся как раз обходы вокруг этих особых точек, да плюс пути между ними туда-обратно, которые дают сокращающийся вклад. Так что верна такая замечательная Теорема. Индекс векторного поля по [положительно ориентированной] границе области равен сумме индексов его особых точек в этой области, ind_{∂D} v = \sum_{p: v(p)=0} ind_p v.