Математические байки

Вот тут мы запустили два солитона — группы из 5 и из 2 камней. Понятно, что группа из 5 движется быстрее и догоняет. Вот-вот…

Немного уходя в сторону — солитоны можно видеть и в дискретных моделях. Меня когда-то очень простой и симпатичной такой модели научил Е. Ю. Смирнов (он как раз тогда вернулся из поездки, где это узнал — и мы стояли вечером около метро и беседовали; до сих пор это помню!). Итак, Box-Ball System. Пусть в каждой целочисленной точке на прямой выкопана лунка; в некоторых из них лежит по камню (всего — конечное число). Каждую минуту из минус бесконечности в плюс бесконечность пробегает гонец с мешком. Пробегая мимо камня, он его подбирает и убирает в мешок. Пробегая мимо пустой лунки, если у него есть хоть один камень в мешке — он туда один камень кладёт. Эквивалентно ещё можно сказать так: начиная с самого левого камня, последовательно перемещаем каждый камень, который ещё не сдвинут, в ближайшую пустую лунку правее него. (Да — вот тут про эту модель рассказывает Vincent Duchêne на « пятиминутке Лебега ».) Тогда группа из n камней образует « солитон » — движущийся как раз со скоростью n. А что будет, если два таких солитона столкнутся?

Интересно, что на то же самое столкновение можно смотреть по-другому. Можно считать, что происходит абсолютно упругое столкновение между частицами-солитонами — в результате которого, как и положено при соударении одинаковых частиц на прямой, они обмениваются импульсами. Просто импульс (или скорость) частицы-солитона влияет на то, как он выглядит как волна; так что тот солитон, что был впереди, впереди и остался, просто у него теперь импульс больше.

То есть — солитоны « столкнулись », провзаимодействовали. Но когда разошлись, то остались сами собой — просто медленный в результате отстал, а быстрый ушёл вперёд. Удивительно, правда?

Иии… Зелёная сумма — когда мы медленный солитон сдвинули влево, а быстрый вправо — опять идеально закрыла синий график точного решения!

t=1.25: настоящее решение разделилось обратно на два солитона… только более медленный из них левее, а более быстрый правее, чем они были бы, если бы не взаимодействовали. А давайте сдвинем слагаемые в сумме?

t=0.75: сумма ведёт себя похоже на то, как настоящее решение вело себя пару слайдов назад — а настоящее уже совсем разделилось…

t=0.5: … синее решение уже заметно разделилось на два горба…

t=0.25. Сумма волн ещё была бы « слившейся » — а вот настоящее решение уже начинает разделяться…

t=0, « момент столкновения ». Горбы слились в одну волну — более широкую и менее низкую, чем была бы их сумма.

t=-0.25. Синее решение начинает проявляться из-под графика суммы. Видно, что его пик стал ниже, чем был бы максимум суммы.

t=-0.75, волны уже зацепились друг за друга, но всё ещё ведут себя, как если бы решение было суммой…

Я буду рисовать поверх синего точного решения оранжевый график — сумму двух солитонов. Если бы уравнение было линейным, то сумма решений была бы решением (и если предположить устойчивость, то оранжевое « решение » всегда продолжило бы идеально закрывать синее). А что мы увидим на самом деле? t=-1.75, горбы начинают сближаться…

Вот график решения в начальный момент времени t=-2.75. Если на том же графике с правильным сдвигом нарисовать (оранжевым) солитоны с k=1 и k=2, то они отлично накроют горбы на синем графике — синий будет просто не виден.

Удивительный ответ: солитоны провзаимодействуют, но выживут. Давайте посмотрим на вот такое решение KdV — я взял формулу из всё тех же записок курса Н. А. Рожковской, см. с. 12 файла. (Да, на первый взгляд формула выглядит ужасом. Но не всё так страшно!)

Естественный вопрос: а что будет, если их столкнуть по-настоящему? Запустить в одном решении достаточно далеко друг от друга, чтобы они друг друга не чувствовали, и подождать, пока более быстрый не догонит более медленный. Не получится ли красивого соударения, как на коллайдере?

А вот на одних и тех же графиках наложили движения двух разных солитонов, с k=1 и с k=2. Видно, что более высокий движется быстрее и более пологого обгоняет.

Так вот, про солитоны. Найти решение уравнения Кортевега-де Фриза, двигающееся с постоянной скоростью, не очень сложно. Мы это сделаем чуть позже — а пока посмотрим на ответ. Если уравнение KdV записать с константами u_t + (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} =0, то начальное условие с профилем f(x)= 2k^2 / cosh^2 (kx) будет двигаться вправо со скоростью v=k^2. Да, k тут не обязательно целое — просто его традиционно обозначают именно этой буквой. А cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2 — гиперболический косинус. Поскольку он быстро растёт с ростом |x|, и стоит в знаменателе — волна получается очень хорошо локализованная… Вот как движется такое решение с k=1.

Ещё одно историческое отступление: всё-таки оцифрованные источники это круто. Можно найти скан текста Джона Скотта Расселла « Report on Waves » 1844 года (см. https://archive.org/details/reportonwavesma00russgoog/page/n7/mode/2up ), посмотреть на титульный лист с рукописными пометками и на рукописные иллюстрации, найти его собственный рассказ про встречу с той волной, вырвавшейся из-под баржи…

Давайте я продолжу про лекцию Кричевера и про интегрируемые системы. Поскольку за растянувшимся на больше, чем неделю, рассказом в канале следить сложно — вот содержание того, что было и что я ещё хочу (попробовать) записать. * история: инженер Джон Скотт Рассел и одинокая волна в канале * уравнение Кортевега-де Фриза, и две его "половинки": уравнение Римана-Хопфа (опрокидывающаяся волна) и "размывающее" u_t=u_xxx. * история: парадокс Ферми-Паста-Улама +* (не из той лекции — но из записок курса Н. А. Рожковской): одно- и двух-солитонные решения. Как сталкиваются солитоны? +* « дискретные » солитоны: шарики на прямой, box-ball systems. Как сталкиваются дискретные солитоны? * магия начинается: пары Лакса. +* псевдодифференциальные операторы: откуда взялись L и A? +* конечнозонные потенциалы, коммутирующие дифференциальные операторы и спектральная кривая * Алгебраическая геометрия: мультисолитонное решение, система линейных уравнений и рациональная кривая с двойными точками.