Математические байки

2) Раздел про три геометрии — https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ — с плакатами (и файлами для скачивания!). И интерактивный раздел, где в модели Пуанкаре в диске можно с геометрией Лобачевского поэкспериментировать — https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ ; если справа-сверху у рисунка есть мышка с подсвеченной левой кнопкой — точки на нём можно двигать! На скриншотах: пучок прямых, проходящих через жёлтую точку и не пересекающих белую; иллюстрации к повороту и к гиперболическому движению (сдвиг вдоль прямой); и — паркет из одинаковых правильных треугольников, сходящихся по 7 в каждой вершине + двойственный паркет из правильных семиугольников.

И непериодический паркет (с той самой, недавно открытой, «шляпой Эйнштейна» — плиткой, из которой паркет можно сделать только непериодическим) у них тоже есть: https://etudes.ru/mathgrounds/aperiodic-tiling/

Кажется, я об этом ещё не писал, а между тем, у Мат.Этюдов за прошедшие полгода много чего появилось. 1) Раздел с материалами для игротек: https://etudes.ru/mathgrounds/ Если вдруг про «лабиринты» (https://etudes.ru/mathgrounds/labyrinths/ ) кажется, что будет банальность — нет, они с интересными правилами! И вырезания из листа бумаги тоже — там есть и вырезание длинного «ожерелья», и то вырезание, при котором получаются два сердца! (Я про этот сюжет узнал когда-то от Тадаси Токиэды.)

Квартика Клейна: абажур в CIRM-е (и этикетка-описание-пояснение к нему)

почитать про нее можно в сборнике «The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve» https://library2.msri.org/books/Book35/contents.html (в него входит, в частности, известная статья N.Elkies. The Klein Quartic in Number Theory)

https://math.ucr.edu/home/baez/klein.html замощения сферы одинаковым правильными сферическими многоугольниками соответствуют правильным многогранникам а что хорошего можно сделать из замощений плоскости Лобачевского? если правильным образом их покрасить, а потом отождествить части одного цвета, можно получить интересные римановы поверхности по ссылке объясняется, например, как таким образом получить квартику Клейна

https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ у Мат. Этюдов недавно появились разные картинки и разговоры на тему [модели Пуанкаре] плоскости Лобачевского в частности, можно смотреть на разные замощения плоскости Лобаческого одинаковыми правильными многоугольниками

Эти два скриншота — из написанной в те годы статьи Ф. Петрова и С. Тихомирова, «Об углах и расстояниях», по ссылке из недавнего поста в fp math.

У окружности есть повороты, сохраняющие её центр. Чтобы поворот не унёс наше «окно наблюдения» слишком далеко, поворачивать нужно на угол порядка (1/R). Тогда в пределе получатся параболические повороты — линейные преобразования (x,y) -> (x+t, y+tx+(t^2/2)). Углы превратятся в параболические углы — если раньше угол наклона прямой y=kx+c можно было определить как arctg k (мы пока не задумываемся про π и знак/ориентацию), то теперь это просто k. Потому что при обратном сжатии такая прямая превратится в почти горизонтальную, с коэффициентом k/R — а арктангенс маленького числа это почти что оно само. Зато никакого «полного угла» в параболическом смысле нет.

При этом словарь получается нетривиальным. То есть площадь это площадь и есть (просто при горизонтальном растяжении в R раз и вертикальном в R^2 она умножается на R^3 — но равные площади остаются равными). А вот с длинами интереснее — если мы из « параболической » картинки возвращаемся обратно, к окружности, то у нас вертикальное сжатие в R раз сильнее горизонтального, так что на длину результата практически влияет только разность абсцисс. Что, собственно, мы можем видеть на этой картинке: две касательных к параболе из заданной точки вовсе не равны (левый синий и красный отрезки). Но равны их разности абсцисс — компоненты, перпендикулярные оси параболы.

Давайте я чуть-чуть теперь скажу про то, откуда такой словарь берётся (или, точнее, может браться). Возьмём окружность единичного радиуса, x^2+ (y-1)^2=1, и точку B=(0,0) на ней. Растянем её во много раз (для начала в 10) вокруг точки B — посмотрим на её окрестность под увеличительным стеклом. Под увеличением окружность — как и любая гладкая кривая — становится всё больше похожа на касательную в той точке, вокруг которой мы увеличиваем. Так что казалось бы, ничего интересного мы так не увидим. Но! Давайте дополнительно растягивать в направлении, перпендикулярном касательной, ещё во столько же раз. В итоге, если мы по горизонтали растягиваем в 10 раз — по вертикали мы растянем в 100. Под действием такого преобразования окружность начинает становиться всё больше похожей на параболу (в данном случае, на y=x^2/2)! То есть можно брать верное семейство утверждений, у которых «всё самое интересное» происходит всё ближе и ближе к точке B, и смотреть на них через такое «кривое увеличение». В пределе из эллипсов, в которые мы растягиваем окружность, получится та самая парабола, и предельное утверждение про неё.

Так вот — в 1998 году на Летнюю Конференцию Турнира Городов Серёжа Маркелов предлагает задачу с большим словарём подобных задач (представляет её Михаил Вялый, помогает Вадим Бугаенко). Вот ещё один пример оттуда: Задача 3а. Пусть даны две концентрические окружности. Выберем на внешней из них точку M. Фигура C_M образована двумя касательными из точки M к внутренней окружности и дугой этой окружности, заключённой между точками касания (см. рис. 3а). Докажите, что площадь фигуры C_M не зависит от выбора точки M. Задача 3б. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси. Выберем на внешней из них точку M. Фигура P_M образована двумя касательными из точки M к внутренней параболе и дугой этой параболы, заключённой между точками касания (см. рис. 3б). Докажите, что площадь фигуры З_M не зависит от выбора точки M. Изображения: рисунок к задаче и текст, предваряющий решения задачи, из материалов ЛКТГ. (image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)

Собственно, как Серёжа пишет в тексте «Circles and Parabolas», сначала он наткнулся на задачу в American Mathematical Monthly: Задача. Пусть даны две пересекающиеся параболы с вертикальными осями. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 1). И эта задача замечательно перекликается с известным (и доказывающимся, например, через степень точки) утверждением про окружности: Задача. Пусть даны две пересекающиеся окружности. Тогда прямая, проходящая через две их точки пересечения, делит их отрезок их общей касательной, заключённый между точками касания, пополам (см. Figure 2). === Рисунки я взял из текста выше — S. Markelov, Circles and Parabolas, The Mathematical Intelligencer, 21 (1999). Кстати — этот текст вышел в колонке «Mathematical entertainment» под редакцией А. Шеня, и дальше в той же колонке идёт письмо В. В. Успенского про потрясающе красивое трёхмерное доказательство теоремы Брианшона — с использованием однополостного гиперболоида, двух семейств прямых на нём и «вида сверху». Я вот раньше не знал!

Давайте я добавлю к этому чуть-чуть пересказа. В геометрии есть разные утверждения, в которых используются окружности (и прямые, их пересекающие или касающиеся), иногда с какими-то дополнительными свойствами. Например: Утверждение. Пусть даны две концентрические окружности, и прямая, пересекающая первую в точках A и B, и вторую в точках A’ и B’. Тогда длины высеченных отрезков между окружностями, AA’ и BB’, равны (см. рис. 1а.) Так вот — Серёжа обнаружил, что у таких утверждений бывают «близнецы», сформулированные в терминах парабол с параллельнымми осями. В частности: Утверждение. Пусть даны две параболы с общей осью, отличающиеся на сдвиг вдоль этой оси, и прямая, пересекающая первую в точках A и B, и вторую в точках A’ и B’. Тогда длины высеченных отрезков между параболами, AA’ и BB’, равны (см. рис. 1б.) (image credit: С. Маркелов, Парабола как окружность, https://turgor.ru/lktg/1998/lktg1998.pdf ; Десятая конференция ЛКТГ, М.: МЦНМО, 1999.)

Эта замечательная задача давно стала классикой — выдал ее на занятии на этой неделе. Весной этой задаче исполнится 30 лет. Ее автор Сергей Маркелов, замечательный человек, которого сегодня увы не стало.

задача была на Московской математической олимпиаде, ее автор — Сергей Маркелов он придумал много отличных задач, часть из них есть в списке http://problems.ru/view_by_author.php?author=71&start=0

Сергей Маркелов (17.02.1976–11.12.2024)

правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных красных треугольников и одинаковых равнобедренных зеленых треугольников во сколько раз площадь большого треугольника больше площади зеленого? // доступная начинающим задача М.Евдокимова с проходившего вчера Турнира Ломоносова