Материалы по геометрии и топологии 2024

Одна формула, чтобы править всеми 00:27 Формула Ньютона-Лейбница 00:57 Формула Грина о роторе 02:19 Формула Гаусса-Остроградского о дивергенции в 3D 02:53 Формула Грина о дивергенции в 2D 03:07 Внешняя производная 03:57 Теорема Стокса 04:56 Интегрирование vs дифференцирование (источник)

Две интуитивные версии теоремы Грина 00:00 Изначальная формулировка (источник) 01:09 Приложения: 01:42 Динамические системы и теория индекса 01:55 Комплексный анализ и теорема о вычетах 02:18 Предвкушение формулы Стокса (источник) 03:09 1. Формула Грина о роторе 04:02 2. Формула Грина о дивергенции 04:44 Сравнение плотностей (источник) 07:41 Правильная формулировка 09:11 Физическая [интуитивная] интерпретация (источник) Из серии «Calculus BLUE»

Ротор и дивергенция: наглядное объяснение 0:00 Векторные поля 2:24 Дивергенция 4:40 Ротор 5:57 Уравнения Максвелла: электрические и магнитные поля 7:50 Динамические системы 10:46 Геометрический смысл: скалярное и векторное произведения (источник)

Голоморфные (аналитические) функции 1:53 Производная в вещественном смысле 4:31 Дифференциал гладкого отображения наглядно 9:17 Производная в комплексном смысле 13:02 Конформность (сохранение углов) 16:01 Условия Коши-Римана интуитивно (источник)

Преобразования Мёбиуса 02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности) 08:31 Свойства инверсии 14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы) 19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана 22:37 Гиперболическая геометрия 23:12 Комплексная геометрия 23:24 Математическая физика (источник)

Визуализация комплексных функций 01:03 Использование цвета 03:35 Трёхмерные графики 05:45 Векторные поля 07:50 z-w-плоскость 10:53 Сфера Римана 13:42 Примеры 14:43 Добавление константы 16:33 Умножение на константу 19:58 Экспоненциирование 23:29 Возведение в целую степень 27:53 Комплексная инверсия 29:21 Ветви квадратного корня 34:29 Римановы поверхности 36:35 Логарифм 40:33 Спиральный график логарифма (источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса) 00:11 Параллельные переносы 00:17 Растяжения 00:23 Повороты 00:27 Инверсии (источник)

Суть комплексного анализа 01:31 План мини-курса 02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham 02:58 Введение в комплексные числа 10:09 Декартовы и полярные координаты 10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство 12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство 16:01 Сложение и вычитание 17:10 Умножение 19:04 Сопряжение 20:43 Деление 22:21 Возведение в степень 23:09 Логарифмирование 24:48 Синус и косинус 26:54 Формула Муавра 27:46 Извлечение корней 31:51 Формула Эйлера возвращается 34:10 Выводы

Комплексный анализ — невероятно мощный инструмент, находящий приложения в дифференциальных уравнениях (уравнения Лапласа, обратные преобразования Фурье/Лапласа), основной теореме алгебры, теории чисел, гипотезе Римана и вычислении красивых интегралов (чтобы повыпендриваться!) Мы начинаем мини-курс, который сосредоточен на визуальном восприятии идей комплексного анализа, а не на традиционном строгом подходе. Мы не коснёмся сильно продвинутых тем вроде теоремы Римана об отображении или теоремы Пикара, но получим уверенное базовое представление о предмете. (источник)

Как правильно думать о производных и интегралах 01:20 Линейные отображения 06:01 Производная в 1D 08:08 Производная в 2D 13:01 Интегрирование 17:26 Замена переменных при интегрировании в 1D 19:25 Замена переменных при интегрировании в 2D 22:59 От декартовой к полярной системе координат (источник)

Главное из анализа функций одной переменной 01:13 Суть матанализа (1) 10:15 Интеграл 13:04 Производная 15:06 Основная теорема матанализа 16:00 Парадокс производной (2) 23:06 Определение 26:06 Примеры 32:32 Формулы производных через геометрию (3) 38:00 Приводная x^3 наглядно 44:20 Задача для размышления 45:40 Производная синуса 49:33 Производные произведения и композиции (4) 56:15 Примеры 01:05:13 Что особенного в числе Эйлера? (5) 01:08:49 Геометрическая аналогия 01:18:39 Дифференцирование неявно заданных функций (6) 01:22:04 Задача о лестнице 01:28:31 Пример с синусом 01:31:11 Натуральный логарифм 01:32:20 Многомерный анализ 01:33:51 Пределы (7) 01:41:46 Эпсилон-дельта определение 01:48:05 Правило Лопиталя 01:51:36 Интегрирование (8) 01:52:55 Задача об автомобиле 01:58:16 Площадь под графиком 02:06:50 Основная теорема матанализа 02:10:56 Какое отношение площадь имеет к наклону? (9) 02:13:00 Среднее значение 02:21:55 Суть: нахождение среднего наклона 02:23:15 Производные высших порядков (10) 02:25:19 Аналогия с ускорением 02:28:44 Ряд Тейлора (11) 02:37:09 Факториалы и контроль производных 02:43:09 Геометрическое понимание 02:47:59 Радиус сходимости 02:50:39 Другой способ визуализации производных (12) 02:56:42 Применение к цепным дробям 02:58:50 Магический пример 1+1/x (источник)

Теорема Гаусса-Бонне 00:00 Формулировка 00:48 Появление эйлеровой характеристики 01:44 Отображение Гаусса и гауссова кривизна 04:36 Интиуитивный смысл теоремы 07:23 Идея доказательства 08:06 Параллельный перенос, геодезические и голономия 13:35 Отображение Гаусса сохраняет параллельный перенос 15:40 Сведение воедино 19:15 Обобщения (источник)

Минимальные поверхности 00:00 Задача Плато 01:28 Силы, действующие на поверхность 03:36 Давление 08:40 Поток и средняя кривизна 11:06 Минимальность поверхности 13:36 Математическая модель 14:28 Решение задачи Плато 15:46 Применение в компьютерной графике (источник)

Дифференциальная геометрия vs линейная алгебра 00:00 Понятие кривизны 01:57 Отображение Гаусса 05:59 Вторая квадратичная форма 07:43 Гауссова и средняя кривизны 11:12 Матричное представление второй квадратичной формы 14:33 Сведение воедино (источник)

Блистательная теорема Гаусса 00:00 Формулировка 02:40 Кривизна 10:32 Площади сферических треугольников 17:34 Отображение Гаусса... 22:15 ...сохраняет геодезические 27:16 ...сохраняет параллельный перенос 31:46 На сфере голономия это площадь 36:43 Сведение воедино (источник)

Каталог материалов по маломерной топологии ▪️Картинки ▪️Анимации (требуется VPN) ▪️Литература ▪️Курсы лекций и доклады

Евклидовы трёхмерные многообразия 00:00 «Curved Spaces» 00:27 Работа зрения на примере квадратного тора 02:09 Трёхмерный тор (модель в кубе) 03:28 Модель трёхмерного тора в шестиугольной призме 04:08 Три двумерные геометрии 05:20 Классификация евклидовых многообразий (18) 06:15 Тор отображения поворота на одну шестую 06:47 Тор отображения полуоборота 07:42 Пространство Ханце-Вендта 08:22 Пространство Клейна 09:30 Наша вселенная 10:50 Гиперболическая геометрия 11:17 Пространство Зейферта-Вебера 11:30 Многообразие «призма» (источник)

Обзор сферической геометрии 00:00 Геометрия двумерной сферы с точки зрения флатландцев 00:55 Геометрия трёхмерной сферы 02:21 Hyperbolica (источник)

Карта простых конечных групп (link)

Знакопеременная подгруппа A_5 группы SO(3) в модели в трёхмерном шаре с антиподальным порталом Вершины многогранников представляют элементы группы. Центр шара — нейтральный элемент, а вершины одного и того же многогранника образуют отдельные классы сопряженности в A_5 Напомним, что действие элемента группы A_5 на R^3 представляет собой поворот вокруг прямой, идущей из центра шара в соответствующую вершину, на угол, равный расстоянию от центра до этой вершины Обозначения: ▪️Серая сфера радиуса \pi — граница шаровой модели для SO(3). ▪️Желтый икосододекаэдр радиуса \pi — класс сопряженности (2,2)-циклов. Вершин 30, но ввиду портала получается 15 элементов. ▪️Фиолетовый и красный икосаэдры радиусов 4\pi/5 и 2\pi/5 представляют половину расщепимых 5-циклов, каждый из 12 элементов. ▪️Зелёный додекаэдр радиуса 2\pi/3 представляет класс сопряжённости 3-циклов и состоит из 20 элементов. Итого: 1+15+12+12+20=60 элементов в A_5 P. S. Единственный нетривиальный внешний автоморфизм группы A_5 меняет два икосаэдра местами (link)

Карта топологии: теория гомотопий, дифференциальная топология, алгебраическая топология, топология многообразий, теоретико-множественная топология