Откровения геомшиза Ярослава

Добрая задача! Мне показалось очень забавной формулировка сама. Доказать, что пунктир проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора Х на стороне ВС! Turkey EGMO TST 2016 P3

#колм Сегодня на кубке Колмогорова 🏆 прошли вторые туры матбоев. Присоединяйтесь к обсуждению матчей и задач в комментариях👇 Задача. Точки 𝐻 и 𝑂 – ортоцентр и центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Точки 𝑃 и 𝑄 выбраны на описанной окружности 𝜔 так, что ∠𝐵𝑃𝐻 = ∠𝐶𝑄𝐻 = 90°. Пусть прямая 𝑃𝑄 пересекает касательную к 𝜔, проведенную в точке 𝐴, в точке 𝑆, а отрезки 𝑂𝑃 и 𝑂𝑄 пересекают отрезки 𝐵𝐻 и 𝐶𝐻 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что 𝑂𝑆 ‖ 𝑋𝑌.

Кстати вроде очень забавная задача.

Доказать что пунктир проходит через фиксированную точку. Случайно сегодня обнаружил, но кажется это баян.

И все же пусть будет рядом и вот эта задача про триссектрису угла, которая куда более известная. Геометрия в картинках, 2 издание. 4.8.44(Лемма к доказательству теоремы Лестера из JCG; СПбМО-2023, 9-7; СПбМО-2023, 11-6) #SPMO #SPMO2023

Ладно, тоже наверное довольно добрая задача, но лично у меня к ней свое отношение. Геометрия в картинках, 2 издание. 4.8.43. #A48

Вот кстати ответ, что происходит, когда P, Q изогонально сопряжены в ABC!

Так, ладно. Давайте позлее задачу! P, Q произвольные точки на изогоналях. P.S. Что дополнительно верно, если они изогонально сопряжены в ABC? Баян.

Очень люблю следующую задачу. Мне кажется мое решение супер забавным. Оно прямо очень короткое и доброе, но не прямо очевидное... Геометрия в картинках, 2 издание. 4.8.45(China TST, 2010, TST1, P1) #A48 #ChinaTST #ChinaTST2010

Угарная задача... Авторские размышления...

Добрая задача! Немного удивился, когда придумал сегодня утром но выглядит как баян.

И вторая задача! Вот с ней я прямо долго мучался... Геометрия в картинках, 2 издание. 4.8.63(https://www.geogebra.org/geometry/r22kffsx) #A48

Я сегодня хочу напомнить вот эти 2 замечательные задачи(одни из самых важных для меня в 4.8.х). Я их прямо очень сильно люблю. У меня тут есть прямо стремная синтетика(хотя не знаю как для вас)... А что о них знаете вы? Геометрия в картинках, 2 издание. 4.8.62(https://www.geogebra.org/geometry/udkcky4j) #A48

Забавная задача. На олимпиаде ее решил только Александр Макаренко. Отрезок II_a равен 1(где I - центр вписанной окружности, а I_a - центр А-вневписанной окружности треугольника АВС). Найти радиус описанной окружности треугольника B1C1X. Моя 9-11.6 с вот этой олимпиады.

Проснулись-присмехнулись!

И еще факт вам про перевернутого воробья! Be - точка Бэвена. I - центр вписанной окружности. D, E, F - проекции Be на биссектрисы. N - точка Нагеля треугольника ABC. Тогда N - ортоцентр треугольника DEF, а ON - прямая Штейнера точки Be в треугольнике DEF.

О, кстати забавный факт! На мой вкус довольно естественная задача. IMO Shortlist 2018, G5 (https://www.geogebra.org/geometry/nvrhnpqg) #IMOSL #IMOSL2018

Накидываем таблеточек на этот пост! Н - ортоцентр треугольника ABC. HP = HS. Красная окружность проходит через 3 отражения точки P относительно сторон треугольника АВС, а зелёная через 3 отражения точки S. Две пунктирные окружности это окружности, проходящие через отражения точек пересечения AP, AS,... с описанной окружность треугольника ABC относительно соответственных сторон треугольника АВС. Докажите, что у окружностей всегда общая рад.ось! Авторская по мотивам леммы TelvColh.

Добрый факт... Но я его не знал, хотя и догадывался о нем... Наверное завтра я даже покажу, к чему он у меня вылез, если он окажется полезным... P_a, P_b, P_c - отражения P относительно BC, AC, AB. D', E', F' - отражение D, E, F относительно BC, AC, AB. Докажите, что черные треугольники подобны. Баян.