сладко стянул
Open in Telegram
l̶o̶r̶e̶&̶y̶a̶p̶p̶i̶n̶g̶ "математическая" "культура" и комб-алг-топ-болтовня
Show more1 455
Subscribers
+124 hours
+57 days
+830 days
Data loading in progress...
Similar Channels
Tags Cloud
Incoming and Outgoing Mentions
---
---
---
---
---
---
Attracting Subscribers
September '26
September '26
+6
in 0 channels
August '26
+27
in 0 channels
Get PRO
July '26
+21
in 0 channels
Get PRO
June '26
+29
in 1 channels
Get PRO
May '26
+21
in 0 channels
Get PRO
April '26
+17
in 0 channels
Get PRO
March '26
+35
in 1 channels
Get PRO
February '26
+27
in 1 channels
Get PRO
January '26
+44
in 1 channels
Get PRO
December '25
+39
in 0 channels
Get PRO
November '25
+24
in 0 channels
Get PRO
October '25
+34
in 0 channels
Get PRO
September '25
+16
in 0 channels
Get PRO
August '25
+37
in 1 channels
Get PRO
July '25
+31
in 0 channels
Get PRO
June '25
+40
in 3 channels
Get PRO
May '25
+38
in 2 channels
Get PRO
April '25
+43
in 1 channels
Get PRO
March '25
+37
in 1 channels
Get PRO
February '25
+52
in 3 channels
Get PRO
January '25
+29
in 0 channels
Get PRO
December '24
+29
in 1 channels
Get PRO
November '24
+45
in 2 channels
Get PRO
October '24
+46
in 1 channels
Get PRO
September '24
+47
in 1 channels
Get PRO
August '24
+25
in 0 channels
Get PRO
July '24
+47
in 0 channels
Get PRO
June '24
+110
in 2 channels
Get PRO
May '24
+27
in 0 channels
Get PRO
April '24
+50
in 2 channels
Get PRO
March '24
+36
in 0 channels
Get PRO
February '24
+23
in 0 channels
Get PRO
January '24
+47
in 0 channels
Get PRO
December '23
+44
in 0 channels
Get PRO
November '23
+15
in 0 channels
Get PRO
October '23
+23
in 1 channels
Get PRO
September '23
+29
in 0 channels
Get PRO
August '23
+37
in 0 channels
Get PRO
July '23
+79
in 0 channels
Get PRO
June '23
+10
in 0 channels
Get PRO
May '23
+56
in 0 channels
Get PRO
April '23
+45
in 0 channels
Get PRO
March '23
+42
in 0 channels
Get PRO
February '23
+93
in 0 channels
Get PRO
January '23
+32
in 0 channels
Get PRO
December '22
+50
in 0 channels
Get PRO
November '22
+212
in 0 channels
Get PRO
October '22
+14
in 0 channels
Get PRO
September '22
+13
in 0 channels
Get PRO
August '22
+11
in 0 channels
Get PRO
July '22
+45
in 0 channels
Get PRO
June '22
+240
in 0 channels
| Date | Subscriber Growth | Mentions | Channels | |
| 09 September | 0 | |||
| 08 September | +1 | |||
| 07 September | +1 | |||
| 06 September | 0 | |||
| 05 September | +1 | |||
| 04 September | +2 | |||
| 03 September | 0 | |||
| 02 September | +1 | |||
| 01 September | 0 |
Channel Posts
подробнее о законе сохранения уток см. Предложение 2.3 в https://www.mathnet.ru/rus/rm2266
| 2 |  Вообще нестандартные методы в качественной теории дифференциальных уравнений — это отдельная большая тема.
Решения дифференциальных уравнений вида ax''+f(x', x) = 0, где a мало, могут иметь вид, показанный на картинке. Сформулировать этот вид на языке стандартного анализа не получается. Но если a — бесконечно малое гипервещественное число, то понятно, что происходит: соответствующее решение дифференциального уравнения — это внутренняя функция, которая бесконечно близка с стандартной непрерывной функции везде, кроме дискретного множества бесконечно малых интервалов. А на этих бесконечно малых интервалах можно сделать увеличить масштаб в 1/a раз, и там получится своё дифференциальное уравнение.
Обо всём этом можно начать узнавать по статье Пьера Картье: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=2267&option_lang=rus | 616 |
| 3 | #чёпочитать
45 лет назад: обзорный доклад Пьера Картье на семинаре Бурбаки про нестандартный анализ в диффурах. Буквально 1984. В гости к Робинсонам. Ключевые термины для привлечения внимания: ореол, галактика, тень, микроскоп, утка | 594 |
| 4 | 5. Вместо PS: в обзоре https://arxiv.org/abs/1812.03319 по классическим инвариантам Милнора утверждается, что неизвестны их полноценные многомерные аналоги (см. 4.2). Вдруг так что-то можно придумать? не знаю | 789 |
| 5 | 4. Возвращаемся к простому. Это всё стартует с простой геометрической конструкции (с отображения a_n). Понял сейчас (послушав доклад Хорошкина), что её можно обобщить примерно так. Может, это уже изучается, а может идея и свежая.
Пусть Г — простой граф на n вершинах. Рассмотрим хроматическое конфигурационное пространство
Conf_Г(X) := {(x1,...,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех рёбер (i,j) графа Г}.
[Этим пространствам и связанным структурам посвящена вторая половина обзора Каллела https://arxiv.org/abs/2407.11092
а ещё недавняя статья Лыскова и Хорошкина, https://arxiv.org/abs/2509.21255 . Эта серия постов появилась, когда я задумался, "зачем эти пространства могут кому-то пригодиться"]
Например, если Г=K_n — полный двудольный граф, то Conf_Г(X) = Conf_n(X). А несвязное объединение переходит в произведение.
Что можно с помощью них изучать?
Рассмотрим, например, пространство
A={f: X ⊔ Y -> Z| f(X) и f(Y) не пересекаются}.
В теории узлов, например, изучаются "зацепления с точностью до узлов" — этому посвящена первая статья Милнора; вот тут какое-то далёкое обобщение.
Можно взять n точек в X, m точек в Y, и с помощью f изготовить из них n+m точек в Z. Более того, точки из X не попадут в точки из Y: так получается отображение
X^n x Y^m -> Conf_{K(m,n)}(Z),
где K(n,m) — полный двудольный граф на n+m вершинах.
Получаем стрелку
A -> Map(X^n x Y^m, Conf_{K(n,m)}(Z)).
Возможно, из таких стрелок (взятым по всевозможным n и m) можно изготовить что-то похожее на красивую науку как выше.
Ещё пример: можно изучать
B = {f: X ⊔ Y -> Z | f(X) и f(Y) не пересекаются, а X -> Z — вложение}.
Аналогично, получаем стрелки вида
B -> Map(Conf_n(X) x Y^m, Conf_Г(Z)),
где Г — объединение K(n,m) с полным графом на n вершинах.
Кстати, этот граф Г хордовый (любой цикл разбивается на треугольники), поэтому Conf_Г(Z) устроены несколько проще, чем в общем случае...
Как это можно обобщать — думаю, понятно. | 754 |
| 6 | 3. Сейчас этот подход развивают вот каким образом. Очень грубо, потому что я о другом хочу рассказать.
Если X — d-мерное многообразие, то Conf_n(X) гомотопически эквивалентно своей "канонической компактификации по Фултону—Макферсону", Conf_n[X]. Если X вдобавок параллелизуемо, то набор пространств Conf[X]:={Conf_n[X]: n ≥ 0} образует модуль над операдой Фултона—Макферсона FM_d = Conf[R^d].
(Совсем неформально, геометрия тут такая: точку в X можно заменить на маленький диск, интерпретировать его как копию R^d, и засунуть туда конфигурацию точек в R^d. Так можно из n точек в X и m точек в R^d изготовить n+m-1 точек в X. Точнее, можно из n точек в X, m_1 точек в R^d, ..., и m_n точек в R^d изготовить (m_1+...+m_n) точек в X. Это и есть действие операды.)
Так вот, отображения a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n[X], Conf_n[Y]) согласованы с этой конструкцией. Возникает, грубо говоря, стрелка
Emb(X,Y) -> Map_{FM-mod} (Conf[X], Conf[Y])
в "пространство наборов отображений Conf_n[X] -> Conf_n[Y], согласованных с действием операды".
Хорошая новость: если всё правильно определить, при некоторых предположениях эта стрелка — слабая гомотопическая эквивалентность. (Это "сходимость башни Вайсса" —- сложный результат Гудвилли и Клейна). К сожалению, к классической задаче "классифицировать все узлы" этот результат не применим, но зато применим к некоторым многомерным узлам. Например, к изучению гомотопического типа Emb(S^1,S^n) при n>3. Правда, эти пространства уже связны
Почему это хорошая новость? Потому что гомотопические свойства пространств вложения — сложнейшая благородная задача. А гомотопические свойства конфигурационных пространств и пространств отображений можно как-то изучать. Например, рациональные гомотопические типы пространств отображений моделируются элементами Маурера—Картана для dg-алгебр Ли, которые моделируют наши пространства... Короче, в благоприятных случаях можно "описать алгебраически" рациональные гомотопические типы компонент связности пространств Emb(X,Y). Ссылки для устрашения: https://arxiv.org/abs/1204.0501 и https://arxiv.org/abs/2008.08146 | 614 |
| 7 | 2. На самом деле тут есть дополнительная структура. Например, отображение f_n уважает действие симметрической группы, так что можно уточнить инвариант и бить в пространство эквивариантных отображений Map_{S_n}(Conf_n(X),Conf_n(Y)). Это содержательный инвариант уже при n=2. Например, вот что известно:
Теорема (Хефлигер). Если X — гладкое замкнутое d-мерное многообразие, то отображение
π_0(Emb(X,R^m)) -> π_0(Map_{S_2}(Conf_2(X), Conf_2(R^m)))
— биекция, если dim(M) < 2m/3 - 1.
То есть, в метастабильном диапазоне m/2 < dim(X) < 2m/3-1 отображение a_2 позволяет классифицировать вложения с точностью до изотопии! (в стабильном диапазоне dim(X)<m/2 все вложения изотопны.) Правда, чтобы их полностью описать — надо вычислить [Conf_2(X),Conf_2(R^m)]_{S_2} — множество S_2-эквивариантных отображений Conf_2(X) -> Conf_2(R^m) с точностью до S_2-эквивариантных гомотопий. Справа стоит, с точностью до гомотопии, S^{m-1} с антиподальным действием, — но вычисление все равно совсем не простое. (Я даже не знаю, насколько непростое, — но хочу как-нибудь изучить.) | 588 |
| 8 | Пуантилизм и разноцветное
Если совсем-совсем грубо, то embedding calculus основан на идеях "пуантилизма": пространство аппроксимируется своими конечными подмножествами. (Причём совсем не так, как в топологическом анализе данных; не знаю, хорошо это или плохо)
1. Мы хотим изучить пространство Emb(X,Y) вложений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Точнее, гомотопический тип пространства Emb(X,Y). Действительно: π_0(Emb(X,Y)) — это множество вложений с точностью до изотопии. Например, в теории узлов изучают π_0(Emb(S^1,S^3))...
Идея тут такая: использовать, что пространства Map(C,D)={непрерывные отображения C->D} изучать проще. Рассмотрим конфигурационные пространства Conf_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех i≠j}.
Если X->Y инъективно, то набор различных точек в X переходит в набор различных точек в Y, и получается отображение f_n:Conf_n(X) -> Conf_n(Y). То есть, возникает
a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n(X), Conf_n(Y)).
Оно непрерывно, поэтому так можно распознавать неизотопные вложения: если a_n(f) и a_n(g) в разных компонентах связности, то [f] ≠ [g] ∈ π_0(Emb(X,Y)).
2. На самом деле тут есть дополнительная структура. Например, отображение f_n уважает действие симметрической группы, так что можно уточнить инвариант и бить в пространство эквивариантных отображений Map_{S_n}(Conf_n(X),Conf_n(Y)). Это содержательный инвариант уже при n=2. Например, вот что известно:
Теорема (Хефлигер). Если X — гладкое замкнутое d-мерное многообразие, то отображение
π_0(Emb(X,R^m)) -> π_0(Map_{S_2}(Conf_2(X), Conf_2(R^m)))
— биекция, если dim(M) < 2m/3 - 1.
То есть, в метастабильном диапазоне m/2 < dim(X) < 2m/3-1 отображение a_2 позволяет классифицировать вложения с точностью до изотопии! (в стабильном диапазоне dim(X)<m/2 все вложения изотопны.) Правда, чтобы их полностью описать — надо вычислить [Conf_2(X),Conf_2(R^m)]_{S_2} — множество S_2-эквивариантных отображений Conf_2(X) -> Conf_2(R^m) с точностью до S_2-эквивариантных гомотопий. Справа стоит, с точностью до гомотопии, S^{m-1} с антиподальным действием, — но вычисление все равно совсем не простое. (Я даже не знаю, насколько непростое, — но хочу как-нибудь изучить.) | 673 |
| 9 | ...Уже сейчас можно представить, что некоторые из наиболее привлекательных областей математики трансформируются в заповедники, где богатые люди смогут по высокой цене приобрести удовольствие охоты за одной-двумя теоремами, руководствуясь научными егерями.
из статьи В.И. Арнольда "Полиматематика"
(via воспоминания математиков) | 1 234 |
| 10 | слайды я пока не смотрел. давайте тоже выдам чёто про ИИ в математике (и больше к этой теме постараюсь не возвращаться — и так везде обсуждают).
в-нулевых, я нейросетями всерьез не пользуюсь (в т.ч. потому что боюсь выработать толерантность к буллшиту ). это старомодная и во многом иррациональная позиция, но последствия меня ещё не коснулись. скоро коснутся.
во-первых, сейчас я всё-таки занимаю ксенофобскую позицию, что учёные (т.е. носители знания, то есть агенты ноосферы) — это только люди. следовательно, наша цель — это человеческое понимание. следовательно, читайте Тёрстона, у него всё написано: получать ответы на вопросы, генерировать теоремы — это все равно что распечатывать списки простых чисел.
во-вторых, это не навсегда. потому что измерить понимание можно только пообщавшись, а с нейросетями можно общаться. поэтому совокупность их знаний тоже надо учитывать; это как если бы дроиды колонизировали и контролировали часть Марса. можно не считать их цивилизацией, но территорию они контролируют.
в-третьих, разница между дроидами и людьми в том, что мы сомневаемся в том, насколько у дроидов правильная этика. она либо запрограммированная (т.е. топорная), либо получена в результате обучения (т.е. чёрный ящик для нас, это непредсказуемо). А этика для реалистически настроенных людей это очень важно.
Аналогично, для идеалистически настроенных людей очень важна эстетика. И мы аналогичным образом сомневаемся, что у нейросетевых моделей (будут) правильные эстетические воззрения (когда они выбирают, какие теоремы доказывать и как записывают доказательства). Короче, разгон такой: к ним следует относиться не как к "нерадивым аспирантам" (или какое там стандартное сравнение?), а как к аналогу психопатов среди обычных людей.
в-четвертых, людях мы (почему-то) меньше сомневаемся: сейчас оправданно, а со временем это (возможно) будет считаться бытовой ксенофобией. посмотрим | 1 636 |
| 11 | (из комментов к https://t.me/tropicalgeometry/1159 ) | 1 248 |
| 12 | https://teorth.github.io/tao-web/slides/age-of-ai-icm-2026.pdf | 1 277 |
| 13 |  Интересная идея, но я думаю лучше исходить из слайдов Т.Тао:
что мы хотим от людей с math PhD? Хотим proof digestion. Тогда за это и надо давать PhD | 1 378 |
| 14 | https://zzhang-iu.github.io/papers/direct-consequences-jacobian/ | 1 389 |
| 15 |  +1легенды дизайна кстати
https://erlagol.ru/arhiv/ | 1 695 |
| 16 |  лемма, кстати, первый шаг вот в каком симпатичном результате | 1 329 |
| 17 |  Почему с кручением так не получится? Давайте попробуем победить всю группу π=π_2(Y) сразу.
Пришёл, заклеил, запетлил:
Y' -> Y -p-> K(π,2),
ΩY' -> ΩY -Ωp-> K(π,1).
Так как π=π_1(ΩY)=H_1(ΩY),
возникает отображение
s: M(π,1) -> ΩY
(изоморфизм на π_1).
Это и есть наше "сечение". Его композиция с проекцией — это стандартное вложение
M(π,1) -i-> K(π,1).
Если π=Z — эквивалентность, победили. Если π конечна — у пространства слева есть лишние гомотопические группы, у пространства справа — есть лишние гомологии. Лучшее, что мы можем сделать — это превратить это вложение в расслоение
G -> M(π,1) -i-> K(π,1); тогда пулбэк вдоль ΩY -> K(π,1) приводит к расслоению
G -> ΩY' x M(π,1) -> ΩY.
(Его тотальное пространство расщепилось в произведение — это тень былой победы). Пространство G односвязно, но не более того; например, при π=Z/2 имеем
S^2 -> RP^2 -i-> RP^infty
и получаем
S^2 -> ΩY' x RP^2 -> ΩY.
Из этого можно извлечь то, что на картинке, но, видимо, не более | 1 069 |
| 18 | Это кажется мне красивым по двум причинам.
Во-первых, конструкция похожа на башню Уайтхеда ("убивание гомотопических групп"), только мы убиваем не всю π_2(Y), а только свободную часть. Но если эта группа свободная, то "первое расслоение в этой башне после запетливания имеет сечение и поэтому становится тривиальным".
Во-вторых, для меня было неожиданностью, что сюжет "расслоение такое, что Ωp имеет сечение" проявляется чуть ли не в каждом односвязном пространстве (причём расслоение не абы какое, а "соответствующее действию тора": если правильно посмотреть, оно имеет вид X -> X/T -> BT). Сюжету, кстати, посвящен немного загадочный мемуар Терио (и наверняка он вылезет в его будущей книге с Хуангом) | 805 |
| 19 | Второе расскажу, первое — упражнение (по аналогии (arXiv:1909.11129, Lemma 5.1)).
Обозначим k=b_2(Y); тогда факторгруппа π_2(Y)/Tors(π_2(Y)) изоморфна Z^k.
Возьмём гомотопический слой Y' у композиции
p: Y -> K(π_2(Y),2) -> K(π_2(Y)/Tors,2),
где первая стрелка — это "заклеивание" старших гомотопических групп.
Получается расслоение
Y' -> Y -p-> K(π_2(Y)/Tors,2)
и, следовательно, расслоение
ΩY' -> ΩY -Ωp-> T^k
(так как K(Z^k,1) — это k-мерный тор).
И дальше стандартный трюк: ΩY — H-пространство; поэтому если у расслоения есть гомотопическое сечение, то оно гомотопически тривиально.
Оно строится так: π_2(Y) = π_1(ΩY), поэтому найдутся отображения f1,..,fk: S^1 -> ΩY, композиция которых с Ωp — это просто вложения окружностей в тор. Поэтому сечением будет отображение s: T^k -> ΩY,
s(x1,...,xk) := f1(x1)*...*fk(xk)
(где * — это умножение в ΩY). | 800 |
| 20 |  окружность — одновременно и пространство Мура, и пространство Эйленберга—Маклейна. Следствия забавные: от надстройки можно отщепить букетом все вторые когомологии, а от пространства петель можно отщепить множителем все первые. (Кручение в H_2(ΣC) и в H_1(ΩF) так уже не убрать) | 815 |
