сладко стянул

подробнее о законе сохранения уток см. Предложение 2.3 в https://www.mathnet.ru/rus/rm2266

Вообще нестандартные методы в качественной теории дифференциальных уравнений — это отдельная большая тема. Решения дифференциальных уравнений вида ax''+f(x', x) = 0, где a мало, могут иметь вид, показанный на картинке. Сформулировать этот вид на языке стандартного анализа не получается. Но если a — бесконечно малое гипервещественное число, то понятно, что происходит: соответствующее решение дифференциального уравнения — это внутренняя функция, которая бесконечно близка с стандартной непрерывной функции везде, кроме дискретного множества бесконечно малых интервалов. А на этих бесконечно малых интервалах можно сделать увеличить масштаб в 1/a раз, и там получится своё дифференциальное уравнение. Обо всём этом можно начать узнавать по статье Пьера Картье: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=2267&option_lang=rus

#чёпочитать 45 лет назад: обзорный доклад Пьера Картье на семинаре Бурбаки про нестандартный анализ в диффурах. Буквально 1984. В гости к Робинсонам. Ключевые термины для привлечения внимания: ореол, галактика, тень, микроскоп, утка

5. Вместо PS: в обзоре https://arxiv.org/abs/1812.03319 по классическим инвариантам Милнора утверждается, что неизвестны их полноценные многомерные аналоги (см. 4.2). Вдруг так что-то можно придумать? не знаю

4. Возвращаемся к простому. Это всё стартует с простой геометрической конструкции (с отображения a_n). Понял сейчас (послушав доклад Хорошкина), что её можно обобщить примерно так. Может, это уже изучается, а может идея и свежая. Пусть Г — простой граф на n вершинах. Рассмотрим хроматическое конфигурационное пространство Conf_Г(X) := {(x1,...,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех рёбер (i,j) графа Г}. [Этим пространствам и связанным структурам посвящена вторая половина обзора Каллела https://arxiv.org/abs/2407.11092 а ещё недавняя статья Лыскова и Хорошкина, https://arxiv.org/abs/2509.21255 . Эта серия постов появилась, когда я задумался, "зачем эти пространства могут кому-то пригодиться"] Например, если Г=K_n — полный двудольный граф, то Conf_Г(X) = Conf_n(X). А несвязное объединение переходит в произведение. Что можно с помощью них изучать? Рассмотрим, например, пространство A={f: X ⊔ Y -> Z| f(X) и f(Y) не пересекаются}. В теории узлов, например, изучаются "зацепления с точностью до узлов" — этому посвящена первая статья Милнора; вот тут какое-то далёкое обобщение. Можно взять n точек в X, m точек в Y, и с помощью f изготовить из них n+m точек в Z. Более того, точки из X не попадут в точки из Y: так получается отображение X^n x Y^m -> Conf_{K(m,n)}(Z), где K(n,m) — полный двудольный граф на n+m вершинах. Получаем стрелку A -> Map(X^n x Y^m, Conf_{K(n,m)}(Z)). Возможно, из таких стрелок (взятым по всевозможным n и m) можно изготовить что-то похожее на красивую науку как выше. Ещё пример: можно изучать B = {f: X ⊔ Y -> Z | f(X) и f(Y) не пересекаются, а X -> Z — вложение}. Аналогично, получаем стрелки вида B -> Map(Conf_n(X) x Y^m, Conf_Г(Z)), где Г — объединение K(n,m) с полным графом на n вершинах. Кстати, этот граф Г хордовый (любой цикл разбивается на треугольники), поэтому Conf_Г(Z) устроены несколько проще, чем в общем случае... Как это можно обобщать — думаю, понятно.

3. Сейчас этот подход развивают вот каким образом. Очень грубо, потому что я о другом хочу рассказать. Если X — d-мерное многообразие, то Conf_n(X) гомотопически эквивалентно своей "канонической компактификации по Фултону—Макферсону", Conf_n[X]. Если X вдобавок параллелизуемо, то набор пространств Conf[X]:={Conf_n[X]: n ≥ 0} образует модуль над операдой Фултона—Макферсона FM_d = Conf[R^d]. (Совсем неформально, геометрия тут такая: точку в X можно заменить на маленький диск, интерпретировать его как копию R^d, и засунуть туда конфигурацию точек в R^d. Так можно из n точек в X и m точек в R^d изготовить n+m-1 точек в X. Точнее, можно из n точек в X, m_1 точек в R^d, ..., и m_n точек в R^d изготовить (m_1+...+m_n) точек в X. Это и есть действие операды.) Так вот, отображения a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n[X], Conf_n[Y]) согласованы с этой конструкцией. Возникает, грубо говоря, стрелка Emb(X,Y) -> Map_{FM-mod} (Conf[X], Conf[Y]) в "пространство наборов отображений Conf_n[X] -> Conf_n[Y], согласованных с действием операды". Хорошая новость: если всё правильно определить, при некоторых предположениях эта стрелка — слабая гомотопическая эквивалентность. (Это "сходимость башни Вайсса" —- сложный результат Гудвилли и Клейна). К сожалению, к классической задаче "классифицировать все узлы" этот результат не применим, но зато применим к некоторым многомерным узлам. Например, к изучению гомотопического типа Emb(S^1,S^n) при n>3. Правда, эти пространства уже связны Почему это хорошая новость? Потому что гомотопические свойства пространств вложения — сложнейшая благородная задача. А гомотопические свойства конфигурационных пространств и пространств отображений можно как-то изучать. Например, рациональные гомотопические типы пространств отображений моделируются элементами Маурера—Картана для dg-алгебр Ли, которые моделируют наши пространства... Короче, в благоприятных случаях можно "описать алгебраически" рациональные гомотопические типы компонент связности пространств Emb(X,Y). Ссылки для устрашения: https://arxiv.org/abs/1204.0501 и https://arxiv.org/abs/2008.08146

2. На самом деле тут есть дополнительная структура. Например, отображение f_n уважает действие симметрической группы, так что можно уточнить инвариант и бить в пространство эквивариантных отображений Map_{S_n}(Conf_n(X),Conf_n(Y)). Это содержательный инвариант уже при n=2. Например, вот что известно: Теорема (Хефлигер). Если X — гладкое замкнутое d-мерное многообразие, то отображение π_0(Emb(X,R^m)) -> π_0(Map_{S_2}(Conf_2(X), Conf_2(R^m))) — биекция, если dim(M) < 2m/3 - 1. То есть, в метастабильном диапазоне m/2 < dim(X) < 2m/3-1 отображение a_2 позволяет классифицировать вложения с точностью до изотопии! (в стабильном диапазоне dim(X)<m/2 все вложения изотопны.) Правда, чтобы их полностью описать — надо вычислить [Conf_2(X),Conf_2(R^m)]_{S_2} — множество S_2-эквивариантных отображений Conf_2(X) -> Conf_2(R^m) с точностью до S_2-эквивариантных гомотопий. Справа стоит, с точностью до гомотопии, S^{m-1} с антиподальным действием, — но вычисление все равно совсем не простое. (Я даже не знаю, насколько непростое, — но хочу как-нибудь изучить.)

Пуантилизм и разноцветное Если совсем-совсем грубо, то embedding calculus основан на идеях "пуантилизма": пространство аппроксимируется своими конечными подмножествами. (Причём совсем не так, как в топологическом анализе данных; не знаю, хорошо это или плохо) 1. Мы хотим изучить пространство Emb(X,Y) вложений топологического пространства X в топологическое пространство Y. Точнее, гомотопический тип пространства Emb(X,Y). Действительно: π_0(Emb(X,Y)) — это множество вложений с точностью до изотопии. Например, в теории узлов изучают π_0(Emb(S^1,S^3))... Идея тут такая: использовать, что пространства Map(C,D)={непрерывные отображения C->D} изучать проще. Рассмотрим конфигурационные пространства Conf_n(X) := {(x1,..,xn) ∈ X^n | x_i ≠ x_j для всех i≠j}. Если X->Y инъективно, то набор различных точек в X переходит в набор различных точек в Y, и получается отображение f_n:Conf_n(X) -> Conf_n(Y). То есть, возникает a_n: Emb(X,Y) -> Map(Conf_n(X), Conf_n(Y)). Оно непрерывно, поэтому так можно распознавать неизотопные вложения: если a_n(f) и a_n(g) в разных компонентах связности, то [f] ≠ [g] ∈ π_0(Emb(X,Y)). 2. На самом деле тут есть дополнительная структура. Например, отображение f_n уважает действие симметрической группы, так что можно уточнить инвариант и бить в пространство эквивариантных отображений Map_{S_n}(Conf_n(X),Conf_n(Y)). Это содержательный инвариант уже при n=2. Например, вот что известно: Теорема (Хефлигер). Если X — гладкое замкнутое d-мерное многообразие, то отображение π_0(Emb(X,R^m)) -> π_0(Map_{S_2}(Conf_2(X), Conf_2(R^m))) — биекция, если dim(M) < 2m/3 - 1. То есть, в метастабильном диапазоне m/2 < dim(X) < 2m/3-1 отображение a_2 позволяет классифицировать вложения с точностью до изотопии! (в стабильном диапазоне dim(X)<m/2 все вложения изотопны.) Правда, чтобы их полностью описать — надо вычислить [Conf_2(X),Conf_2(R^m)]_{S_2} — множество S_2-эквивариантных отображений Conf_2(X) -> Conf_2(R^m) с точностью до S_2-эквивариантных гомотопий. Справа стоит, с точностью до гомотопии, S^{m-1} с антиподальным действием, — но вычисление все равно совсем не простое. (Я даже не знаю, насколько непростое, — но хочу как-нибудь изучить.)

...Уже сейчас можно представить, что некоторые из наиболее привлекательных областей математики трансформируются в заповедники, где богатые люди смогут по высокой цене приобрести удовольствие охоты за одной-двумя теоремами, руководствуясь научными егерями. из статьи В.И. Арнольда "Полиматематика"

(via воспоминания математиков)

слайды я пока не смотрел. давайте тоже выдам чёто про ИИ в математике (и больше к этой теме постараюсь не возвращаться — и так везде обсуждают). в-нулевых, я нейросетями всерьез не пользуюсь (в т.ч. потому что боюсь выработать толерантность к буллшиту ). это старомодная и во многом иррациональная позиция, но последствия меня ещё не коснулись. скоро коснутся. во-первых, сейчас я всё-таки занимаю ксенофобскую позицию, что учёные (т.е. носители знания, то есть агенты ноосферы) — это только люди. следовательно, наша цель — это человеческое понимание. следовательно, читайте Тёрстона, у него всё написано: получать ответы на вопросы, генерировать теоремы — это все равно что распечатывать списки простых чисел. во-вторых, это не навсегда. потому что измерить понимание можно только пообщавшись, а с нейросетями можно общаться. поэтому совокупность их знаний тоже надо учитывать; это как если бы дроиды колонизировали и контролировали часть Марса. можно не считать их цивилизацией, но территорию они контролируют. в-третьих, разница между дроидами и людьми в том, что мы сомневаемся в том, насколько у дроидов правильная этика. она либо запрограммированная (т.е. топорная), либо получена в результате обучения (т.е. чёрный ящик для нас, это непредсказуемо). А этика для реалистически настроенных людей это очень важно. Аналогично, для идеалистически настроенных людей очень важна эстетика. И мы аналогичным образом сомневаемся, что у нейросетевых моделей (будут) правильные эстетические воззрения (когда они выбирают, какие теоремы доказывать и как записывают доказательства). Короче, разгон такой: к ним следует относиться не как к "нерадивым аспирантам" (или какое там стандартное сравнение?), а как к аналогу психопатов среди обычных людей. в-четвертых, людях мы (почему-то) меньше сомневаемся: сейчас оправданно, а со временем это (возможно) будет считаться бытовой ксенофобией. посмотрим

(из комментов к https://t.me/tropicalgeometry/1159 )

Интересная идея, но я думаю лучше исходить из слайдов Т.Тао: что мы хотим от людей с math PhD? Хотим proof digestion. Тогда за это и надо давать PhD

легенды дизайна кстати https://erlagol.ru/arhiv/

лемма, кстати, первый шаг вот в каком симпатичном результате

Почему с кручением так не получится? Давайте попробуем победить всю группу π=π_2(Y) сразу. Пришёл, заклеил, запетлил: Y' -> Y -p-> K(π,2), ΩY' -> ΩY -Ωp-> K(π,1). Так как π=π_1(ΩY)=H_1(ΩY), возникает отображение s: M(π,1) -> ΩY (изоморфизм на π_1). Это и есть наше "сечение". Его композиция с проекцией — это стандартное вложение M(π,1) -i-> K(π,1). Если π=Z — эквивалентность, победили. Если π конечна — у пространства слева есть лишние гомотопические группы, у пространства справа — есть лишние гомологии. Лучшее, что мы можем сделать — это превратить это вложение в расслоение G -> M(π,1) -i-> K(π,1); тогда пулбэк вдоль ΩY -> K(π,1) приводит к расслоению G -> ΩY' x M(π,1) -> ΩY. (Его тотальное пространство расщепилось в произведение — это тень былой победы). Пространство G односвязно, но не более того; например, при π=Z/2 имеем S^2 -> RP^2 -i-> RP^infty и получаем S^2 -> ΩY' x RP^2 -> ΩY. Из этого можно извлечь то, что на картинке, но, видимо, не более

Это кажется мне красивым по двум причинам. Во-первых, конструкция похожа на башню Уайтхеда ("убивание гомотопических групп"), только мы убиваем не всю π_2(Y), а только свободную часть. Но если эта группа свободная, то "первое расслоение в этой башне после запетливания имеет сечение и поэтому становится тривиальным". Во-вторых, для меня было неожиданностью, что сюжет "расслоение такое, что Ωp имеет сечение" проявляется чуть ли не в каждом односвязном пространстве (причём расслоение не абы какое, а "соответствующее действию тора": если правильно посмотреть, оно имеет вид X -> X/T -> BT). Сюжету, кстати, посвящен немного загадочный мемуар Терио (и наверняка он вылезет в его будущей книге с Хуангом)

Второе расскажу, первое — упражнение (по аналогии (arXiv:1909.11129, Lemma 5.1)). Обозначим k=b_2(Y); тогда факторгруппа π_2(Y)/Tors(π_2(Y)) изоморфна Z^k. Возьмём гомотопический слой Y' у композиции p: Y -> K(π_2(Y),2) -> K(π_2(Y)/Tors,2), где первая стрелка — это "заклеивание" старших гомотопических групп. Получается расслоение Y' -> Y -p-> K(π_2(Y)/Tors,2) и, следовательно, расслоение ΩY' -> ΩY -Ωp-> T^k (так как K(Z^k,1) — это k-мерный тор). И дальше стандартный трюк: ΩY — H-пространство; поэтому если у расслоения есть гомотопическое сечение, то оно гомотопически тривиально. Оно строится так: π_2(Y) = π_1(ΩY), поэтому найдутся отображения f1,..,fk: S^1 -> ΩY, композиция которых с Ωp — это просто вложения окружностей в тор. Поэтому сечением будет отображение s: T^k -> ΩY, s(x1,...,xk) := f1(x1)*...*fk(xk) (где * — это умножение в ΩY).

окружность — одновременно и пространство Мура, и пространство Эйленберга—Маклейна. Следствия забавные: от надстройки можно отщепить букетом все вторые когомологии, а от пространства петель можно отщепить множителем все первые. (Кручение в H_2(ΣC) и в H_1(ΩF) так уже не убрать)