Математические байки

Но мы уже знаем, что это гарантирует попадание с в множество Мандельброта (или потому, что образы 0 будут этой орбитой притянуты, или потому, что заполненное множество Жюлиа содержит бассейн притяжения — и тем самым гарантировано не канторово).

Так вот — на самом деле, мы только что поняли, что происходит, когда λ для отображения w-> λw+w^2 пересекает значение (-1) — или, что то же самое, параметр c для z->z^2+c пересекает c=-3/4. А именно — рождается новая притягивающая периодическая орбита!

(Чтобы не запутаться: для логистического отображения x->λx(1-x) параметр λ это производная в 0 (коэффициент воспроизводства, когда кроликов/рыбок/... мало, и они друг другу не мешают) — а (-1) пересекает мультипликатор в другой неподвижной точке, x_0=1-1/λ. )

А когда её мультипликатор пересекает (-1) — притягивающую орбиту периода 2:

Вот линии, которые этому соответствуют на диаграмме предельных режимов логистического отображения: сначала мы видим притягивающую неподвижную точку —

Так вот — то, что мы увидели, называется бифуркацией удвоения периода: при переходе мультипликатора ("производной в") неподвижной точки через (-1) она теряет устойчивость — и из неё рождается периодическая орбита вдвое большего периода.

(Слово "значит" тут нужно взять в кавычки — чтобы это стало строгим рассуждением, нужно действовать гораздо аккуратнее — но, надеюсь, "на уровне картинок" это достаточно убедительно.)

Значит, где-то между далёкими точками (которые приближались — и всё ещё приближаются просто по непрерывности — скажем, w=-0.1 не почувствует эффекта при λ=-1.00000001) и близкими, которые уже начали удаляться, должен найтись общий для них предельных режим — притягивающая периодическая орбита периода 2:

Когда |λ| станет больше единицы, сама точка w=0 превратится в отталкивающую — близкие к ней точки от неё удаляются (ибо их модуль умножается примерно на |λ|>1) :

При λ=-1 к точке w=0 на вещественной прямой близкие к ней точки приближаются (пусть и очень медленно, потому что (-2w^3) много меньше w). При этом они прыгают, каждый раз меняя знак:

Так что же происходит, когда параметр c пересекает (-3/4), или, что то же самое, когда λ переходит через (-1)?

И действительно, если нарисовать множество Жюлиа для c=-3/4 (то есть для λ=-1), то мы увидим убегающие вверх и вниз от неподвижной точки z_0=-1/2 "клювики", попадающие в зазор между притягивающими лепестками. Там точки убегут под действием итераций слишком далеко (за ту область, где векторное поле, у которого возвращаются все траектории, хорошо приближает итерации) — и уже не вернутся.

Тут как притягивающих, так и отталкивающих лепестков n-1=3 — то есть это картина для n=4, например, для отображения z->z - z^4 (я выбрал знак минус, чтобы правый лепесток, содержащий вещественные положительные числа, действительно получился притягивающим, а не отталкивающим).