Математические байки

Так что же происходит, когда параметр c пересекает (-3/4), или, что то же самое, когда λ переходит через (-1)?

И действительно, если нарисовать множество Жюлиа для c=-3/4 (то есть для λ=-1), то мы увидим убегающие вверх и вниз от неподвижной точки z_0=-1/2 "клювики", попадающие в зазор между притягивающими лепестками. Там точки убегут под действием итераций слишком далеко (за ту область, где векторное поле, у которого возвращаются все траектории, хорошо приближает итерации) — и уже не вернутся.

Тут как притягивающих, так и отталкивающих лепестков n-1=3 — то есть это картина для n=4, например, для отображения z->z - z^4 (я выбрал знак минус, чтобы правый лепесток, содержащий вещественные положительные числа, действительно получился притягивающим, а не отталкивающим).

И мы увидим то, что называется цветок Ло-Фату; я приведу картинку из "Голоморфной динамики" Милнора, которую я тут уже упоминал:

И если мы возьмём u=w^{-(n-1)}, то u'=- (n-1) w'/w^n = -a (n-1). То есть в u-координате у нас опять движение с постоянной скоростью из бесконечности в бесконечность, но когда мы вернёмся в координату w, нам придётся перейти к обратной величине 1/u (от чего образуются окружности, которые мы уже видели) и извлечь корень (n-1)-й степени (от чего вся картинка сожмётся по углу в (n-1) раз и (n-1) раз повторится).

Как и раньше, приблизим итерации отображения w->w+a w^n+... траекториями движения вдоль векторного поля w'=a w^n (выкинув из векторного поля все старшие члены).

А как вообще ведут себя рядом с w=0 итерации отображения w->w + a w^n + ... ? (Наш случай — n=3 и a=-2)

То есть на вещественной прямой рядом с неподвижной точкой w=0 точки к ней приближаются — потому что w^3 того же знака, и вычитается.

Если раскрыть скобки, то -(-w)=w, квадратичные члены сократятся, и останется w-> w -2w^3 +w^4.

Для начала возведём это отображение в квадрат — применим его два раза:

Так вот, давайте поймём, что же происходит. Будем работать с отображением w-> λw+w^2; для него c=-3/4 соответствует λ=-1, то есть мы итерируем w-> -w+w^2, и хотим понять, что будет происходить рядом с его неподвижной точкой w=0.

(изображение отсюда — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg )

Так вот — эта картинка обязана быть связанной с множеством Мандельброта, раз одно отображение из другого получается заменой координат. И действительно:

И есть картинка, которую всегда с логистическим отображением рисуют — где по оси абсцисс возможные значения λ, а по оси ординат — предельный режим, на который она выходит:

Например, попросить, чтобы он равнялся (-λ) — или, что то же самое, принести в 1 второй прообраз неподвижной точки 0. И тогда получается логистическое отображение w-> λw(1-w).