Математические байки

Вот тут — http://www.scholarpedia.org/article/Andronov-Hopf_bifurcation — есть очень хорошие картинки этих двух сценариев:

И это называется жёсткой потерей устойчивости, или субкритической бифуркацией Андронова-Хопфа.

- до бифуркации есть притягивающая неподвижная точка; - её бассейн притяжения (область устойчивости) ограничен (отталкивающей) периодической орбитой периода 2 (или отталкивающим предельным циклом для дифференциального уравнения) - эта область всё уменьшается и уменьшается, и в момент бифуркации схлопывается в нашу неподвижную точку — которая уже в этот момент становится неустойчивой (но медленно), а сразу за бифуркационным значением параметра — неустойчивой и по линейным членам.

Этот случай можно превратить в исходный, если перейти к обратному отображению (или обратить время для дифференциального уравнения). И сценарий тут получается таким:

Но коэффициент мог получиться и положительным (скажем, возьмём отображение w->-w+w^2-10w^3). И тогда мы видим, что в момент бифуркации точка уже глобально неустойчива — все близкие точки от неё будут "далеко" убегать.

В-третьих: сценарий, который мы видели, это на самом деле только один из двух вариантов, мягкая потеря устойчивости (для Андронова-Хопфа — суперкритическая бифуркация). Мы посмотрели на квадрат нашего отображения в момент бифуркации, когда мультипликатор пересекал (-1), и коэффициент при w^3 был отрицательным. И в этом сценарии мы из просто неподвижной точки перешли в режим "малых биений" — притягивающей стала (близкая) периодическая орбита периода 2 (или предельный цикл для дифференциального уравнения).

Во-вторых, такой сценарий — потеря устойчивости при переходе пары сопряжённых собственных значений через мнимую ось — появляется в физике как флаттер. Кстати, про флаттер — вот этот ролик minutephysics про разрушение Такомского моста ( https://youtu.be/6ai2QFxStxo?t=61 ) мне очень нравится; и — если вы не видели само его падение, я тоже очень советую посмотреть (вот тут одноминутный ролик — https://youtu.be/XggxeuFDaDU?t=19 — и вид огромной конструкции, ходящей ходуном, внушает).

И, собственно, если мы проведём через неподвижную точку прямую (например, горизонтальную) и посмотрим на отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения), то мы увидим, что это совсем одна и та же картина: у отображения первого возвращения как раз мультипликатор переходит через (-1).

"Значит", родился притягивающий предельный цикл:

Далёкие точки всё ещё к неподвижной точке притягивались. Но близкие после этого пересечения начали от неё убегать:

- шло время, параметры системы менялись, и в некоторый момент пара комплексно-сопряжённых собственных значений пересекла мнимую ось:

- жила-была неподвижная точка — притягивающий фокус:

Да — давайте, прежде, чем идти дальше в комплексной динамике, я скажу пару слов из теории динамических систем/бифуркаций. Во-первых, аналогичный сценарий бывает с дифференциальными уравнениями, и там называется бифуркацией Андронова-Хопфа:

Вот она —

И вот та область параметров c, где есть притягивающая периодическая орбита периода 2 — это касающаяся главной кардиоиды в точке с=-3/4 гиперболическая компонента множества Мандельброта. (На всякий случай, это не связная компонента — множество Мандельброта связно!)