Математические байки

Вот так — участок побольше:

Вот так будет выглядеть начальный участок:

Так вот, обычную скатерть Улама наверняка многие видели. А что будет, если её начать не с 1, а с другого числа — а именно, с числа 41?

А вот фотография скатерти Улама из столовой МЦНМО/НМУ (спасибо Г. Мерзону за фотографии!) —

Оказывается, что они часто выстраиваются вдоль диагоналей; вот скатерть Улама в квадрате 200x200 — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_1.png

И закрашиваем в этой спирали простые числа:

Ещё одно начало истории: вот многим наверняка знакома классическая скатерть Улама. А именно — выписываем натуральные числа по спирали:

Задача честная — делается без калькулятора (а решение можно рассказать вообще без бумаги).

В качестве затравки к следующей байке — задача:

И вот (-1)^{n+1} и 2^n из формулы и появились — это определитель D. А раз мы уже знаем, что det M = n! V, то всё, формула Кэли-Менгера доказана. Ура!

С другой стороны, как и для обычной матрицы Грама, определитель G содержит квадрат определителя M — только в этот раз умноженный на det D: