Математические байки

Можно взять точку z=i (дойдя до неё по одному из "усов" сверху):

(https://elementy.ru/posters/fractals/Julia#mr=-0.34420353982300866;mi=0.47104719764011804;md=1.996548672566372;pr=0.283030777664657;pi=0.5328872007727048 )

А если перейти в другую компоненту — получится трёхлапый (и трёхухий) кролик-мутант:

Явно видны два (немного разных) уха, тело и две лапы.

Вот отсюда в множестве Мандельброта и есть эта — "главная" — кардиоида. Но состоит оно далеко-далеко не только из неё. Скажем, если перейти из неё в соседнюю большую компоненту сверху, то там живёт "кролик Дуади", множество Жюлиа вот такого вида:

Где окружности радиуса (1/4) — вектор из центра чёрной окружности в центр синей это λ/2, а вдвое быстрее поворачивающийся вектор из центра синей к отмеченной точке — это -λ^2/4.

(кадр из того же видео "Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics")

И тут уже несложно увидеть, что это кардиоида в её классическом определении — кривая, заметаемая точкой одной окружности при её качении по другой, такого же радиуса:

Граница возможных c будет образом граничных λ — то есть единичной окружности. Если мы возьмём λ=e^{i φ}, и будем смотреть, как с изменением угла φ меняется c, то мы увидим сумму двух слагаемых: одно, λ/2, это вектор длины 1/2, поворачивающийся с единичной скоростью, а второе, -λ^2/4, вдвое короче и поворачивается со вдвое большей скоростью.

А теперь из её неподвижности — и сам параметр c: c=z_0-z_0^2 = λ/2 - λ^2/4.

Сначала найдём саму неподвижную точку: производная (z^2+c) это 2z, так что z_0=λ/2.

А именно — мы же знаем, что производная λ=P'(z_0) в неподвижной точке z_0 должна быть меньше 1 по модулю — так давайте для каждой такой λ посмотрим, каким c она может соответствовать?

Но можно — и гораздо проще — пройти в обход, сыграв "от производной".

Можно к этому вопросу подойти двояко. Можно пойти "в лоб": написать квадратное уравнение на неподвижную точку, z=z^2+c, решить его, найдя неподвижную точку, найти в ней производную и попросить, чтобы она была меньше 1 по модулю.

Итак, в частности, пока у P(z)=z^2+c есть притягивающая неподвижная точка — параметр c из множества Мандельброта. А при каких c она есть?

Мне очень нравится формулировка Ю. С. Ильяшенко — из его курса, на который я в студенческие годы ходил: Каждая притягивающая орбита должна купить себе "трамвайный билетик" — критическую точку. Поэтому притягивающих орбит у рационального отображения не больше, чем критических точек.

То есть, скажем, уравнение P^10(z)=z имеет кучу решений (как-никак, в левой части стоит многочлен степени 1024); кое-где мы посчитали по нескольку раз точки одной орбиты, но всё равно периодических орбит периода 10 много. А притягивающей может быть не больше одной из них!