Математические байки

Само множество Мандельброта —

Давайте я немного поговорю о том, что происходит рядом с главной кардиоидой. И начну с точки (1/4): "уголка" кардиоиды, где у отображения z-> z^2 + (1/4) есть параболическая неподвижная точка z_0=(1/2), производная в которой равна 1 — по линейным членам нет ни притяжения, ни отталкивания. Если увеличить рядом с ней множество Мандельброта, то мы увидим много-много его как-бы-копий; таких же, как мы видим во многих других местах. И это пока, вроде бы, совершенно непонятно (оно же множество параметров, почему его кусочки на него похожи?!) — но к этому мы перейдём чуть позже.

Ну и на этом на сегодня я прекращаю дозволенные речи — а в следующий раз собираюсь всё-таки проговорить, что же именно мы при движении вдоль кардиоиды видим.

Видно, что если точка первого отражения параллельного пучка отстоит от точки его касания со стаканом на α, то придёт отражённый луч в точку 3α — а огибающая таких отражённых лучей и будет (видимой глазом) каустикой.

И проверить это совершенно несложно: собственно, вот соответствующая картинка —

(фото — Д. Миронов, М. Панов)

Зато, если взять отражение от цилиндрического стакана, то получается половина нефроиды — кривой, которую можно увидеть либо через "таблицу умножения на 3", либо при внешнем качении по окружности другой, вдвое меньшей её:

(фото Gérard Janot отсюда — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Caustique.jpg )

Да — ещё кардиоида получается как каустика в конической "кофейной чашке", если одна из образующих конуса смотрит на Солнце:

И это и есть уже знакомый нам вид — а огибающая и есть кривая, которую заметают такие "точки пересечений при бесконечно малом смещении".

И довольно несложно понять, почему это так: если мы соединяем точку z с точкой z^2 (а это и есть умножение на 2), то два таких очень близких отрезка пересекутся, разделившись в отношении 1:2 — таком же, как то, насколько смещаются z и z^2. И тогда точка такого пересечения будет (1/3) z+ (2/3) z^2 = (1/3) (z+ z^2/2)

Тут мы взяли 21 точку — а вот что будет, если взять 200:

Возвращаясь к кардиоиде — она же получается как огибающая "таблицы умножения на 2": если расставить много-много точек на равных расстояниях на окружности и соединить отрезком точку номер k с точкой номер 2k.

Ну и вообще, если вы этого никогда не делали — я очень советую поиграть с такими картинками, увеличивая во много раз какую-нибудь часть множества Мандельброта и смотря на соответствующее множество Жюлиа. Там будет много красивого.