Математические байки

к сегодняшней лекции Этьена Жиса напомним про книгу A Singular Mathematical Promenade — английская версия доступна на архиве ( https://arxiv.org/abs/1612.06373 ), русское издание готовится к выходу

Для произвольного n — стрелка в одну сторону в теореме Жиса очевидна. А вот почему запрет на четвёрки единственно необходимый, надо смотреть. Давайте я об этом сюжете скажу ещё буквально пару слов — и отошлю к выложенной записи лекции и к книге Жиса "A Singular Mathematical Promenade", английский текст которой, кстати, выложен в открытом доступе.

Но f_2 меняет знак при переходе через ноль, значит, его нормирование нечётное. А f_3 сохраняет, значит, его нормирование чётное. Но одно и то же число не может быть и чётным, и нечётным одновременно!

Применим эту лемму: слева от нуля |f_4|>|f_3|>|f_2| (напомним, f_1=0), поэтому v(f_4)<=v(f_3)<=v(f_2). С другой стороны, справа от нуля |f_2|>|f_4|, поэтому v(f_2)<=v(f_4), значит, все три нормирования совпадают.

Доказать теорему Концевича очень просто: Доказательство. От противного — пусть такая четвёрка полиномов существует. Сразу можно предположить, что f_1=0 (просто вычтя его из остальных). Определение. Нормирование (valuation) v(P) многочлена P — это порядок его корня в нуле, иными словами, самая младшая степень, коэффициент при которой отличен от нуля. Это определение очень полезно: если нормирование у многочлена чётно, то он справа и слева от нуля одного знака, а если нечётно, то разных. А ещё легко увидеть, что верно вот такое вспомогательное утверждение: Лемма. Если |P|>|Q| в левой или правой окрестности нуля, то v(P)<=v(Q). (Собственно, очень логично: чем выше порядок нуля, тем меньше в малой окрестности должен быть многочлен.)

Кстати, вышла эта статья в номере American Mathematical Monthly, посвящённом "евро-Дубне" — европейской летней школе-близнецу ЛШСМ, проходившей в Бремене и в Лионе. Поэтому у этого номера бременские музыканты на обложке: https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.03.232?seq=1

Из статьи Этьена Жиса "Intersecting curves (variation on an observation of Maxim Kontsevich)" — http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/intersectingcurves.pdf

А что будет для произвольного n? Теорема: Перестановка n элементов реализуется некоторым набором из n полиномов тогда и только тогда, когда никакие четыре точки не переставляются ни одним из двух запрещённых способов.

Для n=4 же есть ровно две невозможные перестановки: та, которую Концевич показывал Жису на билете в метро, и её обратная (соответствующая зеркальному отражению картинки).

Вопрос: какие перестановки таким образом реализуются? Для n=1,2,3 — все возможные. Это простое упражнение — а вот картинка из книги Жиса "A Singular Mathematical Promenade":

Конечно, такой же вопрос можно задавать для любых n различных многочленов — и наоборот, для любой перестановки n элементов спрашивать, реализуется ли она. Так, тройка многочленов x^2,0,-x^2 реализует тождественную перестановку, а тройка x,0,-x — переворачивающую перестановку 123 -> 321.

Теорема Концевича: 4 графика многочленов не могут образовывать картинку с билета на метро — иными словами, перестановка 1-> 3, 2-> 1, 3-> 4, 4-> 2 не реализуется никакой четвёркой многочленов.

Тогда есть порядок, в котором их графики идут слева от 0 (достаточно близко к 0, чтобы там не было других точек пересечения), а есть — порядок справа от 0. Поэтому возникает перестановка "прохода вдоль графиков" — переводящая порядок слева от 0 в порядок справа от 0.

Это и была теорема Концевича. Вот что она утверждает, если её сформулировать более развернуто. Предположим, что у нас есть несколько многочленов, обращающихся в ноль в точке x=0:

Как-то раз, много лет назад, Этьен Жис и Максим Концевич сидели рядом на скучном заседании какой-то комиссии, и Концевич что-то писал на маленьком кусочке бумаги. В какой-то момент он передал Этьену билет на (парижское) метро, на котором был рисунок и одно-единственное слово, "impossible" = "невозможно".

А ещё — из позавчерашней лекции Этьена Жиса, её отправная точка: теорема Концевича "с билета на метро".