Математические байки

Это и была теорема Концевича. Вот что она утверждает, если её сформулировать более развернуто. Предположим, что у нас есть несколько многочленов, обращающихся в ноль в точке x=0:

Как-то раз, много лет назад, Этьен Жис и Максим Концевич сидели рядом на скучном заседании какой-то комиссии, и Концевич что-то писал на маленьком кусочке бумаги. В какой-то момент он передал Этьену билет на (парижское) метро, на котором был рисунок и одно-единственное слово, "impossible" = "невозможно".

А ещё — из позавчерашней лекции Этьена Жиса, её отправная точка: теорема Концевича "с билета на метро".

Меньше, чем через три часа, в "Математических вечерах ЛШСМ" ( https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ ) лекция Александра Логунова, "Гармонические функции и парадоксы вокруг теоремы Лиувилля".

Но это было в качестве рекламы — а завтра Этьен будет рассказывать совсем о другом!

Давайте я пока оставлю тут ссылку на статью Жиса, Табачникова и Тиморина (Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem, Math. Intelligencer 35 (2013)) — http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/osculatingcurves.pdf — и упомяну заодно лекцию 10 ("Вокруг четырёх вершин") из "Математического дивертисмента" Фукса-Табачникова

Сама спираль, кстати, могла бы быть и не нарисована: мы бы всё равно её увидели из-за того, как на ней семейство окружностей сгущается (и это не случайность!).

Потому что пока радиус кривизны меняется монотонно — соприкасающиеся окружности лежат одна внутри другой и не пересекаются! Вот как выглядит их набор для спирали:

Так вот — это абсолютно неверно!

Вот здесь Этьен говорит: зачастую, если вы просите кого-то нарисовать кривую и множество соприкасающихся с ней окружностей в всех точках, вы получаете что-нибудь такое:

Завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Этьена Жиса; если (надеюсь!) не будет никаких накладок, то я буду её синхронно переводить на русский. А пока — в качестве рекламы хочется вспомнить его лекцию в ЛШСМ-2008: http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=228 Она начинается с прекрасного сюжета про соприкасающиеся окружности — который я, собственно, тогда от Этьена и узнал.

http://book.etudes.ru/toc/patternhappen/ «Наполненные гелием воздушные шары в моём детстве были редкостью и завораживали нас своим стремлением ввысь. Теперь, конечно, ими никого не удивишь, но всё равно грустно смотреть вслед упущенному и стремительно взмывающему вверх шару. Самое время поразмыслить о случайности и закономерности…» пусть здесь будет небольшой текст Андрея Окунькова из «Математической составляющей»

А завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет лекция Окунькова!

И потому эти две вершины это действительно вершины выпуклой оболочки, причём соединённые ребром. А начиная с размерности 6, точно так же можно построить выпуклый многогранник, у которого любые три вершины соединены двумерной гранью-треугольником. И так далее.

Их выпуклая оболочка и будет искомым многогранником. Действительно: посмотрим на многочлен P(t) = (t-t_i)^2 (t-t_j)^2. Если в нём раскрыть скобки, то получится линейная комбинация 1, t ,..., t^4: P(t)=a_0+a_1 t +...+a_4 t^4. Превратим её в линейную функцию: L(x_1,...,x_4)=a_0+a_1 x_1+...+a_4 x_4. Эта функция равна 0 в вершинах с t=t_i и t=t_j, и положительна во всех остальных. Значит, эти две вершины лежат на гиперплоскости L=0, а все остальные — вне неё в одном и том же полупространстве L>0.