Математические байки
Open in Telegram
Рассказы про разную математику. Архив: http://dev.mccme.ru/~merzon/mirror/mathtabletalks/
Show more4 288
Subscribers
+124 hours
No data7 days
+130 days
Posts Archive
4 288
В завершение — пара кусочков из биографии Безиковича: в 1919 году (гражданская война!) он успел побывать в Пермском университете и ректором, и деканом физико-математического факультета.
4 288
Картинка из вот этой статьи в "Кванте" — http://kvant.mccme.ru/1973/03/sobaka_bezhit_napererez.htm — и собственно, там же можно прочесть и решение Безиковича.
4 288
Кстати — возвращаясь к варианту, где человек движется только по граничной окружности: если человек движется всё время в одном и том же направлении, то "радиально" преследующий его лев будет двигаться по окружности вдвое меньшего радиуса.
4 288
Так вот — несложно увидеть, что такая последовательность L_n найдётся. Потому что достаточно взять гармонический ряд 1/n и умножить его на достаточно маленькую константу, чтобы было выполнена оценка для суммы квадратов.
Вот и всё!
4 288
Тогда:
1) очевидно, что пока человек может делать эти шаги, лев его не поймает.
Потому что в проекции на направление, куда бежит человек, лев от него отстаёт (ну или хотя бы не нагоняет): проекция льва движется со скоростью, не большей 1, поскольку это проекция единичного вектора скорости.
2) Чтобы человек мог делать такие шаги неограниченно долго, нужно, чтобы сумма ряда \sum L_n расходилась.
(Иначе это к Зенону 🙂 )
3) За один шаг квадрат расстояния до центра возрастает на L_n^2.
(ибо теорема Пифагора: начинает бежать человек перпендикулярно радиусу)
Значит, нужно, чтобы сумма \sum L_n^2 сходилась — и её сумма, плюс квадрат начального радиуса, был бы меньше 1 (ну или квадрата радиуса арены).
4 288
(Мы тут предполагаем, что человек начинает не на границе — иначе пусть он сделает хотя бы один шаг внутрь, а потом уже запускает алгоритм.)
4 288
Более того — оказывается, что алгоритм убегания для человека очень простой. Он состоит из бесконечного числа шагов следующего вида:
Шаг номер n
- провести прямую через себя и центр арены, посмотреть, по какую сторону от неё находится лев
- пробежать расстояние L_n перпендикулярно этой прямой в ту полуплоскость, где льва нет
4 288
Ну так вот — можно было бы предположить, что раз человек так ото льва не ушёл, он и вовсе не уйдет.
Ан нет! Безикович показал, что всё не так — что человек может убегать ото льва в круге неограниченно долго.
4 288
И ещё кстати, диффур для уровня воды, вытекающей из ванной, когда из неё достали пробку, такой же —
h'= – const* \sqrt{h}.
И его решение тоже уходит в 0 за конечное время. Но это я отклонился в сторону.
4 288
На самом деле, ещё этот диффур можно просто явно решить, не задумываясь применив общий метод решения одномерных автономных уравнений первого порядка: превратив dr/dt = f(r) в dr/f(r) = dt, проинтегрировав и получив выражение для времени t через неизвестную r, после чего его обратив и найдя r.
А ещё можно угадать решение r(t)=sin t (ну и все его сдвиги, sin (t+C), раз система автономная) 🙂
Которое, естественно, в единицу обращается в конечный момент времени.
4 288
А это уравнение приходит к единице за конечное время. В качестве рукомахательного объяснения — разница 1-r убывает со скоростью, примерно равной корню из себя (потому что (1-r^2)=(1-r)(1+r), то есть примерно 2(1-r)). А корень из маленькой величины её сильно больше.
Если на это смотреть более строго, но почти школьными методами — можно посмотреть, за какое время лев приблизится к человеку от расстояния 1/2^k до расстояния 1/2^{k+1}. Ему для этого нужно пройти расстояние порядка 1/2^k со скоростью 1/2^(k/2), значит, время будет тоже порядка 1/2^(k/2). А значит, сумма таких времён оценивается убывающей геометрической прогрессией — и потому сходится.
