Математические байки

Так что для расстояния r(t) от центра до льва получаем дифференциальное уравнение: dr/dt= \sqrt{1-r^2(t)}.

Способ ловли за льва — занять положение на радиусе, утыкающемся в человека, и бежать к человеку так, чтобы это свойство сохранялось. Тогда (пусть скорости и радиус окружности единичные), если лев на расстоянии r от центра, то на парирование движения человека "по углу" ему хватает скорости в r по нормали к радиусу. А значит, на движение к человеку остаётся \sqrt{1-r^2}.

Интуитивно хочется сказать, что лучшее, что может сделать человек, это убежать по прямой от льва на границу круга, после чего бежать вдоль границы. Но в этом случае лев его поймает.

Так вот — тот же самый Безикович получил удивительный ответ в задаче "о льве и человеке" (с аллюзией на римскую казнь): одна точка преследует другую в круге ("на арене"), причём скорости у них одинаковые, а вторая точка, естественно, пытается убежать. Одинаковые скорости это, конечно, спорное предположение, но допустим, что лев старый, а человек в отличной форме.

А ещё Безикович придумал стратегию, дающую удивительный ответ в одной задаче о преследовании. Если меня не подводит память — я это узнал из лекции Плахова на финале олимпиады Шарыгина в 2017-м ( http://geometry.ru/olimp/2017.php ). Собственно, основной темой лекции тогда была задача Какейя о том, внутри фигуры какой наименьшей площади можно развернуть (на 180 градусов) отрезок-"иголку". С удивительным, полученным Безиковичем, ответом, что площадь такой фигуры может быть сколь угодно малой: см. http://kvant.mccme.ru/1973/04/o_vrashchenii_otrezka.htm . Собственно, в тексте по ссылке выше коллеги про это пишут. А ещё есть видео Numberphile об этой конструкции — кстати, очень простой — https://youtu.be/j-dce6QmVAQ ; а ещё — см. вот эту задачу на Элементах: https://elementy.ru/problems/2353/Zadacha_ob_igolke (думаю, конструкция Безиковича как раз будет в послесловии).

Математика Безиковича — квадрат Канторовского множества, неопределённые повторные интегралы и красивые картинки (20Мб) http://mathcenter.spb.ru/nikaan/book/besicovitch_math.pdf

Напоследок — его же анимация, как лучи эту область заполняют:

(И ещё раз спасибо М. Панову за картинки!)

А вот картинка освещения в такой же, но с меньшим числом сторон, области (правда, в ней может возникнуть желание сказать, что "а давайте разрешим прямому лучу A_0 A_1 пройти "вдоль стены"). И тут будут освещены все точки, кроме A_1:

Несложно видеть, что траектории из A_0 строго по горизонтали, вертикали или под 45 градусов сразу же утыкаются в вершины (и потому не продолжаются). А все остальные траектории можно "уронить" на один треугольник ABC, отправив туда все треугольнички последовательностью отражений — и получить бильярдную траекторию. А мы уже знаем, что из вершины A в себя бильярдной траектории там нет.

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

А вся область состоит из отражений одного такого треугольника — причём точки A_0 и A_1 обе получаются из одного и того же острого угла:

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

Собственно, вот кусочек с этой леммой —

И в статье Токарского именно из этого свойства доказывается, что источник света в одной точке не может осветить другую.

И это в точности то же рассуждение, которое мы уже видели раньше — только там оно было для получающейся из правильного тетраэдра решётки из правильных треугольников.

(Image credit: М. Панов)