Математические байки

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

Собственно, вот кусочек с этой леммой —

И в статье Токарского именно из этого свойства доказывается, что источник света в одной точке не может осветить другую.

И это в точности то же рассуждение, которое мы уже видели раньше — только там оно было для получающейся из правильного тетраэдра решётки из правильных треугольников.

(Image credit: М. Панов)

Если мы достроим отражения не только вдоль траектории, а все вообще, получится решётка — на которой образы исходного острого угла образуют вдвое более крупную подрешётку. А тогда любой отрезок, их соединяющий, раньше пройдёт через другую вершину — через середину:

(Image credit: М. Панов)

Потому что — достроим все возможные отражения треугольника, чтобы бильярдная траектория стала прямой:

(Image credit: М. Панов)

Возвращаясь к многогранникам и бильярдам — помните, как мы доказывали, что на правильном тетраэдре нет траектории из вершины в себя? Точно так же доказывается, что если в бильярде в равнобедренном прямоугольном треугольнике выпустить траекторию из одного из острых углов — обратно в него она вернуться не сможет. Вот в другой угол — пожалуйста; собственно, одну такую траекторию мы уже видели:

(Немного сменим тему; понятно, что тысяча лет тут указана, чтобы вопрос был формально корректно поставлен — можно было бы и десять тысяч взять...)

И делается это опять через трансляционные поверхности и их преобразования. А именно — мы начинаем путь длины t сжимать, уменьшая его длину, и смотрим, как при этом перестраивается соответствующая поверхность. А подробнее это, пожалуй, тема для другого рассказа.

См. — Vincent Delecroix, Pascal Hubert, Samuel Lelièvre, Diffusion for the periodic wind-tree model https://arxiv.org/pdf/1107.1810.pdf

А тут возникает показатель (2/3)!

Если бы деревьев не было, частица убежала бы на бесконечность с линейной скоростью. Броуновское движение типичным образом в момент времени t оказывается на расстоянии порядка корня из t от начала пути.

И в завершение — ещё один результат, о котором рассказывал в тех лекциях Антон Зорич. Пусть на координатной плоскости периодически посажены прямоугольные деревья. Как в них будет запутываться "бильярдный" ветер — частичка, движущаяся по бильярду в их дополнении?

В общем — совершенно классно сделано! (До того, как я увидел это видео не увидел — если бы мне сказали, что можно станцевать геодезические на трансляционных поверхностях, я бы не поверил!)