Математические байки

+ картинка из Википедии: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hydrogen_spectrum.svg

Ну и слово "спектр" тут вполне себе физически мотивировано. Мы тут недавно как раз вспоминали спектр атома — как раз допустимые для электрона уровни энергии являются собственными значениями соответствующего оператора (Шрёдингера или Дирака) из квантовой механики. А при перепрыгивании электрона с более высокого энергетического уровня на более частота излучаемого фотона соответствует (E=hν) разности энергий — так что вот мы и видим "серию полосок" в спектре (точнее, сразу много серий — потому что всевозможные попарные разности — но заметём это под ковёр!).

Давайте теперь я чуть-чуть поговорю про вторую половину. Если линейное преобразование переводит вектор в пропорциональный себе, то такой вектор называется собственным вектором, а коэффициент пропорциональности — собственным значением. Есть очень хорошее видео 3blue1brown про эти понятия — https://www.youtube.com/watch?v=PFDu9oVAE-g Собственно, то, что числа Фибоначчи растут как c*φˆn, связано с тем, что φ — наибольшее собственное значение матрицы (1 1) (1 0), применение которой соответствует сдвигу "окна наблюдения" в последовательности Фибоначчи: она переводит вектор (F_n, F_{n-1}) в (F_{n+1},F_n). А набор собственных значений конечной матрицы называется её спектром.

Тут происходит уход в совсем другую науку (спектры операторов) — которая очень красиво связана с первой!

Вторая:

Как положено, за фотографией "с чего всё начиналось" должны следовать "что было дальше" и "как всё закончилось". Первая:

Кстати — то, что последовательность замен одна и та же, соответствует тому, что цепная дробь для корня из двух периодична:

Ну а при переходе от "в каком порядке числа из двух последовательностей идут" к "сколько одних между другими" всё чуть-чуть поменяется, и вот последовательность Штурма, построенная по углу \theta=\sqrt{2}-1 и с начальной точкой x_0 = 2\theta - 0.5 : 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 ...

И тут мне хочется вспомнить картинку из статьи Концевича "Равномерные расположения" в "Кванте" (1985 год, N7) — посмотрите на задачу номер 5* и на рис. 8.

И тут я предпочту показать дорогу к ответу, и сам ответ, а "поимку ручного льва" предоставить читателям. Дорога к ответу, собственно, очень простая: если сравнивать k-е треугольное число с n-м квадратом, то мы сравниваем k(k+1)/2 и n^2, или, что то же самое, (k+ 1/2)^2 и 2n^2 + (1/4). Но (1/4) на нестрогое неравенство ">=" влияния не окажет (потому что левая часть всегда имеет дробную часть (1/4)). А тогда мы сравниваем (k+ 1/2) с \sqrt{2}*n. Вот у нас и появился корень из 2 и сдвиг на (1/2) — и квадратные и треугольные числа идут в таком же порядке, как пересечения с горизонтальными (y=k) и вертикальными (x=n) прямыми у прямой y+1/2=sqrt(2)*x.

Угол \theta в нашем случае несложно найти — на дугу длины \theta (на окружности длины 1) попадает при иррациональном повороте примерно такая же доля итераций (потому что орбиты распределяются примерно в соответствии с мерой Лебега). Но мы знаем, как устроена эта доля: от 1 до N^2 будет примерно \sqrt{2}*N треугольных чисел, так что доля "двоек" в нашей последовательности стремится к (sqrt{2}-1). Поэтому \theta=\sqrt{2}-1. Нужно ещё найти начальную точку — именно из-за неё последовательность в себя переходит не за один шаг замен, а за два (собственно, могла и бы и вообще буквально в себя не переходить: разных вариантов выбора начальной точки континуум, а переходящих буквально в себя, даже со сдвигом, подстановочных последовательностей лишь счётное число).

А такая (получающаяся итерированием подстановок) последовательность должна кодироваться поворотом окружности: берём поворот R на какой-то угол \theta, отмечаем дугу I=[0,\theta), и выбираем начальную точку x_0. И пишем один символ (например, "2"), если очередной образ R^n(x_0) попадает на дугу I, и другой (например, "0"), если не попадает. Тогда подстановки приходят из идеи отображения первого возвращения на дугу I. А именно, для каждой точки x с этой дуги можно посмотреть, когда она в следующий раз вернётся на I — будет некоторая точка T(x), — и сгруппировать символы до момента возвращения. Тогда дуга I поделится на две поддуги, на одной из которых мы будем читать 2+(сколько-то 1), а на другой — 2+(на одну 1 больше). А если склеить дугу I в окружность — то отображение T оказывается опять её поворотом — на другой угол \theta'. Называются так получающиеся слова словами (или последовательностями) Штурма; кстати — там есть хорошая анимация: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Sturmian-sequence-from-irrational-rotation.gif Собственно — буквально то, что мы раньше обсуждали для слова Фибоначчи!

Продолжим? Так вот, если написать начало такой последовательности, то получается 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 21 211 ... (я добавил пробел перед каждой двойкой) Если заменить 21 на единицу, а 211 на двойку, то получается 1 211 21 211 21 21 211 21 211 21 211 21 21 211 21 211 21 2... Если выкинуть первую единицу, и дальше (опять!) заменить каждую 21 на единицу, а 211 на двойку, то получается 21 211 21 21 211 21 211 21 21 211 ... Иии — это буквально та последовательность, которую мы только что видели!

последняя лекция ЛШСМ-2021: Андрей Окуньков расскажет про q-аналоги и кратные дзета-значения — 29.07 в 15:30 будет прямая трансляция, https://youtu.be/EMaHG4VUflc

Через несколько минут!

Кто сказал "подстановочные слова"? 🙂

Так вот — оказывается, что в последовательности в третьей строчке не бывает ни чисел, больших 2, ни нулей, а также не бывает ни трёх единиц, ни двух двоек подряд (это как раз упражнение на правой стороне доски). Поэтому она режется на группы "21" и "211".

Так, на [1,4) есть 2 треугольных числа, 1 и 3, на [4,9) есть 1 треугольное число, 6, на [9,16) есть 2 треугольных числа, 10 и 15, на [16,25) есть 1 треугольное число, 21, на [25,36) есть 1 треугольное число, 28 на [36,49) есть 2 треугольных числа, 36 и 45, и так далее...

=== Несколько фотографий со вчерашней (потрясающей!) лекции Светланы Житомирской. "С чего всё начиналось": две верхних последовательности это квадраты и треугольные числа; третья — сколько треугольных чисел помещается на полуинтервал [n^2, (n+1)^2).

А у Thomas есть ещё кубы — но самые большие он, конечно, в ЛШСМ не повёз: https://lipn.univ-paris13.fr/~fernique/gallery/famille_arctique.jpg