Математические байки

На preview это не очень видно, но в "обкусанном шестиугольнике" предельной формой оказывается "сердце"; давайте я его тут тоже приведу (image credit: R. Kenyon, A. Okounkov, Notices of the AMS, "What is... a dimer?")

Про разбиения на домино (в т.ч. случайные) можно для начала заглянуть в статью Кеньона и Окунькова в колокне «What is…» (и потом читать, например, Lectures on Dimers) или в статью В.Горина «Что можно сложить из кубиков?» в Кванте. А про подсчет количества разбиений на домино полезно почитать статью М.Вялого в Мат. просвещении (и конкретно про ацтекский бриллиант объясняется, конечно, в одноименной брошюре Е.Смирнова, упоминавшейся здесь в начале года).

И тут виден "полярный круг" для разбиения большого шестиугольника на ромбики — такой же, как для ацтекского бриллианта. Вот, собственно, коллеги про такое пишут —

При его открытии внутри обнаруживается... случайно выбранная (при создании куба) трёхмерная диаграмма Юнга = упаковка микро-кубиков, содержащаяся внутри большого куба = разбиение треугольной решётки на ромбики:

Нерегулярная рубрика "новости ЛШСМ": Thomas Fernique привёз на школу куб.

Лекция Цфасмана -- идет прямо сейчас.

продолжаются лекции ЛШСМ-2021 https://youtu.be/GgcnKL0sCQQ 25.07, 09:30 В.Ю.Протасов. Замощения пространства и сжатие информации https://youtu.be/X-rCgR9fPdM 26.07, 17:15 М.А.Цфасман. Алгебраические числа, алгебраические кривые и плотные упаковки шаров https://youtu.be/B6RM6-P2ors 27.07, 09:30 Л.Д.Беклемишев. Модели и интерпретации https://youtu.be/iKVxgvaJlGU 27.07, 15:30 С.Я.Житомирская. Электрон на решетке в магнитном поле и арифметические спектральные переходы

А в дополнение — мне хочется вспомнить (и порекламировать) курс Гайфуллина с ЛШСМ-2018: https://t.me/mathtabletalks/2859

мы продолжаем https://youtu.be/AFF5fMpnObk 22.07, 11:15 А.А.Гайфуллин. Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии https://youtu.be/sDlhukK8TH8 22.07, 17:15 Д.О.Орлов. ABC-гипотеза и ее следствия

А вот комментарий про этот объект (точнее, про его верхнюю поверхность; а сам объект заслуживает отдельного рассказа!).

А вот фотография объекта с лекции Ольги Парис-Ромаскевич (буквально месяц назад в CIRM-е) — насколько я понимаю, связанного с тем, что будет в завтрашней лекции И. А. Дынникова.

Про Веселова — мне ещё хочется порекламировать (запись) его потрясающей лекции "Магия марковских троек": http://www.mathnet.ru/present17717

21 июля планируются трансляции двух лекций ЛШСМ-2021 https://youtu.be/5XrVptud7JE в 11:15 А.П.Веселов. Математика алмазных упаковок https://youtu.be/CiVhV9mt5fU в 15:30 И.А.Дынников. Слова Арну-Рози

https://youtu.be/x_g63q72XDQ в 15:30 планируется трансляция лекции «Как растут кристаллы и кораллы» С.К.Смирнова на ЛШСМ-2021

https://youtu.be/jvOqg4obXvo лекция И.М.Кричевера на ЛШСМ-2021 сейчас

Николай Николаевич Константинов (02.01.1932–04.07.2021) выдающийся организатор математического образования, один из создателей системы мат. классов в Москве, Турнира Городов и Турнира Ломоносова… «Есть знаменитая фраза из письма Пушкина Бенкендорфу, когда он пишет, что “имел на всё сословие литераторов гораздо более влияния, чем министерство, несмотря на неизмеримое неравенство средств”. Примерно то же самое мог бы — с полным правом — сказать Н. Н. Константинов про советское (российское) математическое образование высокого уровня…»

Чтобы проиллюстрировать, что мы идём не совсем не туда — один кусочек из статьи "О простых числах" Чебышева. С одной стороны, формула выглядит довольно жутко (будем честны, я выбрал не самое простое место его статьи) — но с другой, мы уже видим, из каких частей её левая часть состоит, а скоро поймём и откуда тут что берётся.

И давайте я выложу сюда иллюстрацию из статьи "Обманчивая простота простых чисел" М. Королева в "Кванте", No.3 за 2020-й год.

Собственно, если вернуться к нашему примеру с n=10^42 — n= 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, то там разница лишь для p<10^21, p<1.000.000.000.000.000.000.000, а вклад каждого такого p не больше ln n<100. Так что разница ψ(n)-θ(n) не превосходит 100.000.000.000.000.000.000.000, что на 19 порядков меньше, чем их предсказываемое асимптотическим законом распределения значение — быть сравнимыми с n.

Ещё вместо произведения всех простых, не превосходящих n, можно взять наименьшее общее кратное N всех чисел от 1 до n — и посмотреть на его логарифм. В разложение этого НОКа N в произведение простых все простые, не большие n, попадают — но некоторые в степени, большей 1. А именно — каждое простое p входит в разложение N в той максимальной степени, в которой оно ещё не превосходит n. Поэтому его логарифм можно записать так: ln N = \sum_{p,k: p^k<=n} ln p (как раз каждое слагаемое ln p появляется нужное число раз) Так вот — это и есть то, как определяется функция Чебышева ψ(x): ψ(x):= \sum_{p,k: p^k<=x} ln p. И ещё одна эквивалентная переформулировка асимптотического закона распределения простых чисел — это что ψ(x)~x. Потому что разница между ψ(x) и θ(x) в реальности пренебрежимо мала — она складывается только из тех простых p, которые не превосходят квадратного корня из x, а вклад каждого такого p не больше произведения (ln n/ln p)*ln p = ln n, то есть всего лишь логарифма ln n — "копеечный".