Математические байки

Это, конечно, далеко не всегда так — эти кривые могут оказаться особыми, как на этом рисунке (он и предыдущий — из книги Жиса):

Давайте я чуть-чуть сэкономлю и скажу, что _пусть_ каждое из этих условий задаёт неособую кривую — а точнее, набор кривых.

Если на комплексной плоскости задан многочлен P(z), то условие P(z)=0 равносильно паре условий Re P(z)=0 и Im P(z)=0.

1) Доказательство Гаусса основной теоремы алгебры:

На этом я завершаю рассказ про лекцию Жиса — а про его книгу хочу упомянуть ещё три места:

(Кстати — тут три запрета это просто поддиаграммы, а вот четвёртый это целое счётное семейство: запрещены "циклы" любой длины n>=5)

И возникает такой же естественный вопрос: а какие хордовые диаграммы реализуются? И сколько их?

Иными словами — хордовая диаграмма:

А значит, возникает разбиение на пары на 2n точках, по которым кривая пересекает маленькую окружность вокруг особой точки:

Оказывается, что тогда рядом с этой особой точкой кривая разделяется на чётное число входящих в эту точку "ветвей", которые естественным образом разбиваются на пары:

Вот пусть начало координат оказалось такой точкой. Точно так же, как оно окажется им для кривой, задаваемой уравнением (y-P_1(x))*...*(y-P_n(x))=0, где P_i — многочлены из первой части, обращающиеся в ноль в точке x=0.

А именно — пусть на плоскости есть вещественная алгебраическая кривая: множество, заданное уравнением P(x,y)=0. Часто это просто хорошая кривая — скажем, прямая ax+by+c=0 или окружность (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - r^2 =0. Но иногда на ней бывают особые точки — как начало координат для пары пересекающихся прямых xy=0 или как "клюв"/"касп" y^2-x^3=0.