Математические байки

Но для каждой из синих кривых по каждую сторону от неё чётное число точек входа других синих кривых (раз они не пересекаются) — и потому нечётное число точек входа красной (потому что входы синих и красных чередуются). Значит, каждую синюю кривую хотя бы одна красная пересекает — и вот нам n корней!

Раз мы уже предположили, что они неособые, то точки входа по отдельности для красной и для синей кривых разобьются на пары, соединённые неособыми кривыми — как для синей кривой тут.

Так вот — нас интересуют точки пересечения синих и красных кривых. Пусть кривые неособые; посмотрим, что мы видим на большом расстоянии от 0. А видим мы как раз такую картину, как для чистого z^n — в круг большого радиуса R красные и синие ветви входят, чередуясь.

Но, в любом случае, если чуть-чуть "пошевелить" полином, то они исчезнут. А потом, устремив "шевеление" к нулю и аккуратно проконтролировав происходящее, можно будет найти ноль и у невозмущённого полинома. (Да, я использую современный анализ вместо того, чтобы аккуратно с особыми точками работать, как раз таки разбираясь с чётностью количества ветвей, но так идея проще рассказывается.)

Красная кривая тут это Re P(z)=0, а синяя это Im P(z)=0. Особые точки есть на обоих. Иногда бывает так, что особые точки есть только на одной из них (опять же, картинка из книги) —

Это, конечно, далеко не всегда так — эти кривые могут оказаться особыми, как на этом рисунке (он и предыдущий — из книги Жиса):

Давайте я чуть-чуть сэкономлю и скажу, что _пусть_ каждое из этих условий задаёт неособую кривую — а точнее, набор кривых.

Если на комплексной плоскости задан многочлен P(z), то условие P(z)=0 равносильно паре условий Re P(z)=0 и Im P(z)=0.

1) Доказательство Гаусса основной теоремы алгебры:

На этом я завершаю рассказ про лекцию Жиса — а про его книгу хочу упомянуть ещё три места:

(Кстати — тут три запрета это просто поддиаграммы, а вот четвёртый это целое счётное семейство: запрещены "циклы" любой длины n>=5)

И возникает такой же естественный вопрос: а какие хордовые диаграммы реализуются? И сколько их?

Иными словами — хордовая диаграмма: