Математические байки

справа можно видеть фрагмент квазипериодчиеского замощения плоскости в нем участвуют равнобедренные треугольники с углами при вершине pi/5 (красные, «A») и 3pi/5 (синие, «B») они замечательны тем, что A можно разбить на уменьшенные копии A,B,A, ну а B можно разбить на уменьшенные копии A,B — и если начать с А и итерировать такие замены, то можно думать, что мы собираем из треугольников A и B всё большую копию треугольника¹ A (в левой половинке картинке — первая пара итераций) такая мозаика — одна из вещей, про которые при создании канала думал, что хорошо бы ее нарисовать, но не очень понятно как а вечером подумал, что это просто L-система — только параметрическая: кроме буквы A/B нужно помнить, как именно треугольник расположен на плоскости (и правила замены эти параметры должны правильно менять) — так что можно быстренько реализовать ¹ а чтобы получить замощение плоскости, можно, скажем, стартовать с 10 треугольников A с общей вершиной положение треугольника решил хранить в виде пары комплексных чисел² (преобразования z→az+b, переводящего эталонный треугольник в наш) и написал такой шаг для получающейся параметрической l-системы:

phi = (math.sqrt(5)+1)/2
rot = math.cos(math.pi/5)+math.sin(math.pi/5)*1j

def step(state):
    for atom in state:
        c, a, b = atom
        if c=='A':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)
            yield ('A',a*(rot**3),(a+b)*phi)
        if c=='B':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)

state = [('A',rot**i,0+0j) for i in range(10)]
for _ in range(6):
    state = step(state)

по сути на этом все! — остается только дописать код для рисования треугольничков… ну программа целиком будет в комментариях ² уже засомневался, так ли это удачно — потому что для настоящей мозаики Пенроуза треугольники полезно и переворачивать

Задача Маркелова С.В. с Тургора Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.) P.S. Ответ в задаче неожиданный.

https://www.mathnet.ru/rus/rm805 к 75-летию со дня рождения А.А.Болибруха — пусть здесь будут такие воспоминания о нем

https://mccme.ru/nir/seminar/ в четверг 30 января на семинаре учителей математики — Николай Андреев и друзья. Математические этюды: год 2024

доступно видео семинара учителей математики, посвященного памяти Сергея Маркелова программа: * Н.Н.Андреев, И.В.Яшенко * С.А.Дориченко. Несколько ярких задач С.Маркелова на Турнире городов * А.А.Заславский. Задачи С.Маркелова на олимпиаде по геометрии им. И.Ф.Шарыгина * А.Б.Скопенков. Алгебраические задачи, связанные с геометрической непостроимостью * Г.А.Мерзон. Тригонометрия от С.Маркелова (нет видео) * К.Т.Шамсутдинов. Использование программирования для задач С.Маркелова * Ю.С.Маркелов ( тж на youtube: https://youtu.be/AWpK7HSI5rA )

В сюжете «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ появились новые возможности. Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения. И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF! Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».

Наконец, p=1997 и p=1999:

Вот это — p=311 и p=313:

А ещё — попробовал посмотреть, как такая картинка (частичные суммы) будет выглядеть при больших p. Получилось интересно: вот p=101 и p=103:

Ко вчерашнему — собрал картинки гауссовых сумм в одну PNG (чтобы её можно было смотреть сразу).

на картинке сверху — тождества¹ из заметки С.Маркелова в Мат. просвещении, и там предлагается придумать обобщения ¹ там только есть опечатка… найдите программа в комментариях — говорит, суммы каких косинусов надо взять для произвольного p вида 3k+1, а также какому кубическому уравнению они удовлетворяют (и на всякий случай численно проверяет, удовлетворяют ли) (upd) а также находит формулу для суммы S кубических корней из этих сумму косинусов, шоб было совсем как в заметке

p: 13
primitive root: 2
partition of cosines: [3, 11] [7, 9] [1, 5]
values of trigsums: -0.136945 -0.688601 1.325547
cubic polynomial: 8t³-4t²-8t-1
P(trigsums): -0.0 0.0 0.0
S³ = (3³√-13+7)/2

p: 73
primitive root: 5
partition of cosines: [13, 19, 25, 29, 31, 39, 53, 55, 57, 59, 67, 71] [1, 3, 7, 9
, 17, 21, 27, 43, 49, 51, 63, 65] [5, 11, 15, 23, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 61, 69]
values of trigsums: -2.475085 2.40906 0.566026
cubic polynomial: 8t³-4t²-48t+27
P(trigsums): 0.0 0.0 -0.0
S³ = (3³√219-17)/2

теорема Рамануджана о том, как посчитать сумму кубических корней из корней данного кубического уравнения, обсуждается например в Кванте

В книжной лавке осталось небольшое количество давно вышедших, но ценных книжек — "Студенческие чтения НМУ", выпуски 1, 2, в которых представлены лекции известных ученых в НМУ в 1997-2000 годах. https://biblio.mccme.ru/node/1571 https://biblio.mccme.ru/node/1588

Задача/упражнение. Докажите, что модуль гауссовой суммы всегда равен \sqrt{p}. Указание. Умножьте сумму на сопряжённую величину и раскройте скобки. Остаётся посмотреть, сколько раз получается какое слагаемое.

Вопрос: а что будет, если мы точки на окружности сложим, используя символ Лежандра в качестве знака? То есть — рассмотрим сумму \sum_{m=1}^{p-1} L(m|p) exp(2πi m/p ) Ещё — можно заметить, что сумма всех p отмеченных точек на окружности нулевая (благо, что это вершины правильного p-угольника), так что можно её к сумме выше добавить. Теперь у нас точка z=1 (отвечающая m=0) идёт с коэффициентом 1, точки, отвечающие квадратичным невычетам, идут с нулевым коэффициентом (-1+1=0), а точки, отвечающие квадратичным невычетам, с коэффициентом 2. Так что сумма выше равна \sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p ) = \sum_{n=0}^{p-1} ζ^(n^2), где ζ = exp( 2πi/p ). Определение. Сумма выше называется гауссовой суммой. Пример. Давайте посмотрим, что получается при p=3, 5, 7, 11. Ответ — на картинках ниже!