Математические байки

нравится сюжет Конвея про аналогию между играми и числами например, игры (скажем, в которых роли противников симметричны, а проигрывает тот, кто не может сделать ход) можно складывать: в G+H играют на двух столах, на одном столе позиция в игре G, на другом — в игре H, каждый раз можно выбрать один из столов и сделать за ним ход если в H выигрывает второй игрок, то результат у G+H такой же как и в G — это мотивирует объявить все выигрышные для второго игрока игры нулевыми а вот игры, в которых выигрывает первый, бывают очень разными если «ним-число» *n — это глуповатая игра «есть кучка из n камней, за ход можно взять любое количество камней из кучки», то *0 действительно нулевая игра, а все остальные *n — различные… и ненулевые ) и игра в четыре кучки камней *1+*3+*5+*7 уже не очень простая (не все персонажи фильма L'Année dernière à Marienbad справились), чтобы научиться в нее играть, хорошо бы изучить таблицу операций с ним-числами вот такой, например, листок про это: https://dev.mccme.ru/~merzon/v14/pscache/5d-nim.pdf написал код, который выписывает таблицы сложения и умножения для ним-чисел

def mex(N,arr):
    for a in range(N):
        if (a not in arr):
            return a
    return None

N = 2**(2**2)

t_sum = [list(range(N))]
for m in range(1,N):
    newline = []
    for i in range(N):
        # *m+*i = mex{*j+*i,*m+*i'|j<m,i'<i}
        arr = [line[i] for line in t_sum] + newline
        newline.append(mex(N,arr))
    t_sum.append(newline)
print(*t_sum,sep="\n")

t_mul = [[0]*N]
for m in range(1,N):
    newline = []
    for i in range(N):
        # *m.*i = mex{*j.(*i+*i')+*m.*i'|j<m,i'<i}
        arr = []
        for i1,mi1 in enumerate(newline):
            ii1 = t_sum[i][i1]
            for line in t_mul:
                jii1 = line[ii1] #*j.(*i+*i')
                arr.append(t_sum[jii1][mi1])
        newline.append(mex(N,arr))
    t_mul.append(newline)
print()
print(*t_mul,sep="\n")

можно заметить, а потом и доказать, что ним-сложение — это, на самом деле, просто побитовое сложение а вот для ним-умножения настолько простого описания, кажется, нет ( определение — можно прочитать в https://en.wikipedia.org/wiki/Nimber#Multiplication ) но операция оч. хорошая — в частности, ним-числа, меньшие *(2^(2^k)), образуют конечное поле

на Московской математической олимпиаде была сегодня такая задача

«У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли она скормить котикам поровну мяса?» (А.Кушнир)

другими словами, можно ли разбить члены какой-нибудь геометрической прогрессии с 0<q<1 на 3 группы с одинаковыми суммами? любая хозяйка, которая умеет резать мясо в золотом сечении, решит задачу для 2 котиков; для 3 котиков попробуйте решить на бумажке; для 4 котиков покажу попозже (пусть пока будет возможность подумать), как воспользоваться компьютером; какой ответ для 5 котиков — хотел бы знать

Вот-вот начнётся полное лунное затмение (вот карта того, откуда оно видно; image credit: https://www.timeanddate.com/eclipse/map/2025-march-14 ). Ну и — дежурный контрольный вопрос: исходя только из этого и не смотря на небо, скажите, какая сейчас фаза Луны?

Стороны пятиугольника Понселе продолжили, провели описанные окружности образовавшихся треугольников и отметили их повторные точки пересечения. Тогда при вращении пятиугольника Понселе между вписанной и описанной окружностями данные точки двигаются по фиксированной (синей) окружности: https://www.geogebra.org/classic/zzckughf

Квантик нарисовал выпуклый многоугольник и легко заштриховал его, проводя отрезки с концами на сторонах многоугольника. Потом он подумал – а можно ли заштриховать любой выпуклый многогранник (вместе с внутренностью), проводя отрезки с концами на его рёбрах? Или для каких-то многогранников это не удастся и внутри останутся незаштрихованные пустоты? // коллега Дориченко рассказал задачку

видеоразборы: https://www.youtube.com/playlist?list=PL1_fhZxYSmgoEoPlpNu3BU-97HHdUk6AR

разрежьте яблоко на рисунке на 5 равных¹ (несвязных) фигур ¹ т.е. фигуры должны быть нарисованы при помощи одного и того же трафарета // ранее на тему разрезаний на одинаковые несвязные фигуры: https://t.me/cme_channel/423 задача предлагалась сегодня на Математическом празднике (автор И.Русских) на сайте https://mccme.ru/matprazdnik выложены задачи, решения, видеоразборы

В это воскресенье в 36-й раз пройдет замечательная олимпиада для 6 и 7 класса — Математический праздник В подборке мой любимый вид задач из Матпраздника — догонялки. Когда ответ можно продолжать улучшать. Задача 4 была исходно сформулирована с конкретной целью, но мне нравится видеть и в ней догонялку. #6класс #7класс

День математика в 179 школе 15 февраля в московской школе № 179 состоится традиционная мини-конференция в рамках Дня математика, посвящённого дню рождения Н.Н. Константинова. В программе — много интересных докладов для школьников! Программа Секция 7–9 классов 13:00 – 13:55 — «Задачки Квантландии», Михаил Евдокимов 14:10 – 15:05 — «Теория чисел и алгоритм RSA», Валентина Кириченко 15:20 – 16:00 — «Хроматическое число плоскости — хотя бы 5», Лев Азманов Секция 9–11 классов 13:00 – 13:55 — «Окружности и расслоение Хопфа», Владлен Тиморин 14:10 – 15:05 — «Группы в действии», Алексей Городенцев 15:20 – 16:00 — «Базисы Грёбнера», Юлия Зайцева Анонсы на канале кружочка. Форма регистрации Адрес: Москва, ул. Большая Дмитровка, 5/6с7

https://mccme.ru/ru/nmu/courses-of-nmu/vesna-20242025/s25-topology3/ в этом семестре Т.Е.Панов читает в НМУ топологию для 2 курса — начиная с понедельника 17.02

Тарасу Евгеньевичу Панову исполняется сегодня 50 лет в честь этого в МГУ 11-12 февраля проходит мини-конференция https://www.mathnet.ru/rus/conf2545 а здесь пусть будет обзор https://www.mathnet.ru/rus/rm320 «Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра» Бухштабера и Панова

(Скриншот: соответствующий момент рассказа Сергея Дориченко.)

Посмотрел запись семинара — и который день нахожусь под впечатлением. Там обсуждали задачи Серёжи — и от них остаётся ощущение, « а как такое можно было придумать?! ». Вот тут Сергей Дориченко рассказывает про задачу про муравья на параллелепипеде: https://youtu.be/AWpK7HSI5rA?si=8qQMrE0BXqrqHfLR&t=1628 (На problems.ru : задача 65394) Очень естественно, что для муравья, сидящего в одной вершине куба, который может ходить только по его поверхности, самая далёкая точка поверхности — противоположная вершина куба. А будет ли это так для любого прямоугольного параллелепипеда? Удивительным образом, ответ — нет!! А именно: возьмём параллелепипед-«спичку» (с квадратным сечением, но очень длинный); собственно, хватит 10x2x2. Тогда муравей может проползти до противоположной вершины, пройдя по двум смежным боковым граням — и это длина диагонали в прямоугольнике 10x4, которая равна корню из 116. А путь до центра дальней маленькой грани оказывается длиннее! Муравью нужно пройти минимум 10 (проекция пути на соответствующее ребро), чтобы до неё дойти, и ещё минимум 1 по этой грани. А это 11, корень из 121. (Если брать прямоугольник Ax2x2, где A очень большое, то длина пути до противоположной вершины это A+o(1), а длина пути до центра не меньше A+1.) И там ещё было много столь же удивительных задач!

🎉Н.Н. Андрееву - 50!🎉 У замечательного популяризатора математики Николая Николаевича Андреева сегодня юбилей! Десятки тысяч детей и взрослых вдохновились благодаря тому, что НН делает. Отличный повод вспомнить несколько замечательных сюжетов из проекта "Математические этюды". 📗Найти свою дату рождения в числе Pi 📗Разобраться с плотнейшей упаковкой кругов 📗Доказать теорему Пифагора, перекладывая треугольники 📗Книга "Математическая составляющая" — советую купить, но можно и бесплатно скачать прямо на сайте:) 📗Новый раздел "Игротека" — про активности, которыми можно заниматься на мероприятиях и фестивалях И многое-многое другое. Николай Николаевич, с Днем рождения! Upd. https://www.mathnet.ru/php/conference.phtml?confid=2550 - трансляция конференции в честь праздника

Да, давайте я прокомментирую эти картинки. Это мы рисовали гауссовы суммы \sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p ) И они оказывались равны при p=4k+1 — корню из p, а при p=4k+3 — тому же корню из p, но умноженному на i. А почему картинки частичных сумм при больших p так выглядят? А вот почему: когда p очень большое, то пока n маленькое, n^2/p при изменении n на 1 меняется мало — всего лишь на ~2n/p. Так что кривая идёт «в одну сторону», потихоньку начиная заворачиваться. Чем быстрее n — тем быстрее, что мы, собственно, и видим. Ну и если сделать замену x = n / \sqrt{p}, то в масштабе «n порядка корня из p» получится практически интегральная сумма Римана для интеграла от exp(2πi x^2), только умноженная на разницу между соседними x — как раз на \sqrt{p}. То есть — практически интеграл от гауссовой плотности, только с мнимой, а не положительной, дисперсией. Когда n уходит за пределы этого масштаба, сумма начинает дёргаться во все стороны, в итоге стоя на месте. И отсюда получается часть суммы вида \sqrt{p} * (1+i)/2. Но. В некоторый момент сдвиги опять начинают идти в одну сторону. И происходит это, что логично, при n около n_0=(p+-1)/2. Потому что там угол между соседними сдвигами, примерно 2π*2n/p, как раз почти обнуляется. И там будет примерно такая же сумма — только умноженная на exp(2πi n_0^2/p). Если p=4k+1, то n_0=2k, соответственно, 4k^2/p = 4k^2/(4k+1) = k - k/(4k+1), и exp(2πi n_0^2/p) ~ exp ( - π/2) = -i. Так что общая сумма примерно должна быть равна \sqrt{p} * (1+i)/2 * (1-i) = \sqrt{p}. А вот если p=4k-1, n_0=2k, то 4k^2/p = 4k^2/(4k-1) = k + k/(4k+1), и exp(2πi n_0^2/p) ~ exp ( + π/2) = +i. То есть сдвиг между двумя «натоптанными кругами», где гуляют частичные суммы, для p=4k-1 будет в противоположную сторону — и общая сумма тогда примерно будет равна \sqrt{p} * (1+i)/2 * (1+i) = i* \sqrt{p}. И вот множитель i и вылез. А вот то, что равенства точные, а не приближённые, это так увидеть нельзя. Но зато получается объяснить, что же мы видим на картинках.

Только что: А. А. Гайфуллин показывает пример экзотического изгибаемого октаэдра в сферической геометрии. Конструкция — (простое!) 5-параметрическое семейство октаэдров, у которых длины рёбер задаются (из-за симметрий) всего 4 параметрами. Там есть встроенная трансляция на странице на MathNet-е ( https://www.mathnet.ru/rus/conf2550 ) + ссылки на прямую трансляцию внизу страницы (в частности: https://youtu.be/eq-Rxr3TgOU )

https://youtu.be/w3CufD2h_y8 напомним большое интервью Николая Николаевича, которое взял Дима Швецов

https://www.mathnet.ru/rus/conf2550 в среду 5 февраля — в день 50-летия Николая Николаевича Андреева — в МИАН проходит конференция «Пропаганда популяризации» с популярными докладами выступят А.А.Варламов*, А.А.Гайфуллин, А.В.Гасников, С.А.Дориченко, В.В.Козлов, К.С.Новоселов*, А.Ю.Окуньков*, В.А.Плунгян, В.Г.Сурдин, Т.Токиеда* ( * дистанционные выступления )

справа можно видеть фрагмент квазипериодчиеского замощения плоскости в нем участвуют равнобедренные треугольники с углами при вершине pi/5 (красные, «A») и 3pi/5 (синие, «B») они замечательны тем, что A можно разбить на уменьшенные копии A,B,A, ну а B можно разбить на уменьшенные копии A,B — и если начать с А и итерировать такие замены, то можно думать, что мы собираем из треугольников A и B всё большую копию треугольника¹ A (в левой половинке картинке — первая пара итераций) такая мозаика — одна из вещей, про которые при создании канала думал, что хорошо бы ее нарисовать, но не очень понятно как а вечером подумал, что это просто L-система — только параметрическая: кроме буквы A/B нужно помнить, как именно треугольник расположен на плоскости (и правила замены эти параметры должны правильно менять) — так что можно быстренько реализовать ¹ а чтобы получить замощение плоскости, можно, скажем, стартовать с 10 треугольников A с общей вершиной положение треугольника решил хранить в виде пары комплексных чисел² (преобразования z→az+b, переводящего эталонный треугольник в наш) и написал такой шаг для получающейся параметрической l-системы:

phi = (math.sqrt(5)+1)/2
rot = math.cos(math.pi/5)+math.sin(math.pi/5)*1j

def step(state):
    for atom in state:
        c, a, b = atom
        if c=='A':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)
            yield ('A',a*(rot**3),(a+b)*phi)
        if c=='B':
            yield ('A',a,b*phi)
            yield ('B',a*(rot**4),(a+b)*phi)

state = [('A',rot**i,0+0j) for i in range(10)]
for _ in range(6):
    state = step(state)

по сути на этом все! — остается только дописать код для рисования треугольничков… ну программа целиком будет в комментариях ² уже засомневался, так ли это удачно — потому что для настоящей мозаики Пенроуза треугольники полезно и переворачивать