Математические байки

доступно видео семинара учителей математики, посвященного памяти Сергея Маркелова программа: * Н.Н.Андреев, И.В.Яшенко * С.А.Дориченко. Несколько ярких задач С.Маркелова на Турнире городов * А.А.Заславский. Задачи С.Маркелова на олимпиаде по геометрии им. И.Ф.Шарыгина * А.Б.Скопенков. Алгебраические задачи, связанные с геометрической непостроимостью * Г.А.Мерзон. Тригонометрия от С.Маркелова (нет видео) * К.Т.Шамсутдинов. Использование программирования для задач С.Маркелова * Ю.С.Маркелов ( тж на youtube: https://youtu.be/AWpK7HSI5rA )

В сюжете «Геометрия Лобачевского: интерактивная модель Пуанкаре в круге» https://etudes.ru/etudes/Lobachevskian-geometry-Poincare-disk-model/ появились новые возможности. Калейдоскоп одинаковых правильных многоугольников можно строить так, чтобы в центре абсолюта был центр одного из многоугольников, а можно таким образом, чтобы в центре абсолюта находилась вершина замощения. И в том, и в другом случае получившиеся картины теперь можно сохранить в векторном формате PDF! Напомним и о цикле гравюр Маурица Эшера «Circle Limit».

Наконец, p=1997 и p=1999:

Вот это — p=311 и p=313:

А ещё — попробовал посмотреть, как такая картинка (частичные суммы) будет выглядеть при больших p. Получилось интересно: вот p=101 и p=103:

Ко вчерашнему — собрал картинки гауссовых сумм в одну PNG (чтобы её можно было смотреть сразу).

на картинке сверху — тождества¹ из заметки С.Маркелова в Мат. просвещении, и там предлагается придумать обобщения ¹ там только есть опечатка… найдите программа в комментариях — говорит, суммы каких косинусов надо взять для произвольного p вида 3k+1, а также какому кубическому уравнению они удовлетворяют (и на всякий случай численно проверяет, удовлетворяют ли) (upd) а также находит формулу для суммы S кубических корней из этих сумму косинусов, шоб было совсем как в заметке

p: 13
primitive root: 2
partition of cosines: [3, 11] [7, 9] [1, 5]
values of trigsums: -0.136945 -0.688601 1.325547
cubic polynomial: 8t³-4t²-8t-1
P(trigsums): -0.0 0.0 0.0
S³ = (3³√-13+7)/2

p: 73
primitive root: 5
partition of cosines: [13, 19, 25, 29, 31, 39, 53, 55, 57, 59, 67, 71] [1, 3, 7, 9
, 17, 21, 27, 43, 49, 51, 63, 65] [5, 11, 15, 23, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 61, 69]
values of trigsums: -2.475085 2.40906 0.566026
cubic polynomial: 8t³-4t²-48t+27
P(trigsums): 0.0 0.0 -0.0
S³ = (3³√219-17)/2

теорема Рамануджана о том, как посчитать сумму кубических корней из корней данного кубического уравнения, обсуждается например в Кванте

В книжной лавке осталось небольшое количество давно вышедших, но ценных книжек — "Студенческие чтения НМУ", выпуски 1, 2, в которых представлены лекции известных ученых в НМУ в 1997-2000 годах. https://biblio.mccme.ru/node/1571 https://biblio.mccme.ru/node/1588

Задача/упражнение. Докажите, что модуль гауссовой суммы всегда равен \sqrt{p}. Указание. Умножьте сумму на сопряжённую величину и раскройте скобки. Остаётся посмотреть, сколько раз получается какое слагаемое.

Вопрос: а что будет, если мы точки на окружности сложим, используя символ Лежандра в качестве знака? То есть — рассмотрим сумму \sum_{m=1}^{p-1} L(m|p) exp(2πi m/p ) Ещё — можно заметить, что сумма всех p отмеченных точек на окружности нулевая (благо, что это вершины правильного p-угольника), так что можно её к сумме выше добавить. Теперь у нас точка z=1 (отвечающая m=0) идёт с коэффициентом 1, точки, отвечающие квадратичным невычетам, идут с нулевым коэффициентом (-1+1=0), а точки, отвечающие квадратичным невычетам, с коэффициентом 2. Так что сумма выше равна \sum_{n=0}^{p-1} exp( 2πi n^2/p ) = \sum_{n=0}^{p-1} ζ^(n^2), где ζ = exp( 2πi/p ). Определение. Сумма выше называется гауссовой суммой. Пример. Давайте посмотрим, что получается при p=3, 5, 7, 11. Ответ — на картинках ниже!

Ну и напомню, что сегодня на семинаре учителей математики — конференция, посвященная памяти Сергея Маркелова.

Статья "Трисекция угла и другие классические задачи" А. Заславского, С. Маркелова. Квант №9 за 2024 год pdf: https://www.mathnet.ru/rus/kvant4469 Проект Летней Конференции Турнира Городов, по следам которого написана статья (есть в том числе видео): https://turgor.ru/lktg/2024/5/index.html Сегодня (16.01) в МЦНМО пройдет мини-конференция памяти Сергея Маркелова: https://t.me/cme_channel/4108

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2023-12.2-6.pdf АБ АББА АББАБААБ … наверное понятно, как продолжать эту последовательность всё дальше а вот что может быть не так очевидно — что эта последовательность букв естественным образом кодирует «снежинку Коха» вот про такие вещи рассказывается в статье Валентины Кириченко и Владлена Тиморина в №12 за 2023 год журнала «Квантик» упомянутую там программу можно посмотреть и запустить по ссылке https://kvantik.com/short/turtle а обсуждение других свойств этого слова Туэ-Морса можно прочитать в «Математических байках» начиная с https://t.me/mathtabletalks/4284

Вообще — сферическую теорему Пифагора можно доказать проще. Пусть сфера единичного радиуса (чтобы не таскать везде её радиус R). Тогда для двух точек A и B на сфере расстояние c по сфере между ними совпадает с углом, смотрящим на дугу AB из центра сферы O. А значит, скалярное произведение (в трёхмерном пространстве!) векторов OA и OB равно cos c. Теперь пусть на сфере нарисован прямоугольный треугольник ABC. Можно повернуть сферу так, чтобы прямой угол C был в северном полюсе — точке (0,0,1) — а касательные к катетам были бы направлены вдоль координатных осей. Тогда координаты точек A и B это (sin a, 0, cos a) и (0, sin b, cos b) соответственно. И поэтому скалярное произведение (OA,OB) равно (OA,OB) = cos a * cos b, потому что вклад первых координат нулевой. Но мы уже знаем, что оно же равно cos c. Вот мы и получили cos c = cos a * cos b. Ура! Кстати — то же самое рассуждение проходит и в гиперболической геометрии. Только нужно взять модель в однополостном гиперболоиде в R^{2,1}; длина дуги связана со скалярным произведением (в R^{2,1}, чтобы его сохраняли движения!) уже через гиперболический косинус cosh (c) = ch (c) = (e^c + e^{-c})/2, и выглядит она как cosh c = cosh a * cosh b. А ещё — таким же образом можно вывести сферическую теорему косинусов. Пусть угол при вершине C не прямой, а равен γ. Всё равно принесём вершину C в северный полюс. Тогда координаты вершин A и B по оси Oz равны cos a и cos b соответственно. А проекции OA и OB на плоскость Oxy имеют длины sin a и sin b, с углом γ между ними. Так что скалярное произведение равно (OA,OB) = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ, а поскольку оно же равно cos c, то получается искомое утверждение: cos c = cos a * cos b + sin a * sin b * cos γ. Упражнение — проверить, что на маленьких расстояниях оно вырождается в классическое c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos γ (на всякий случай: cos r= 1 - r^2/2 +… при малых r).