Олимпиадная геометрия

Во вписанном четырехугольнике ABCD точки M и N — середины сторон AD и BC соответственно. На стороне AD отмечена точка K и на стороне BC отмечена точка L такие, что ∠KCD=∠ABM и ∠LAB=∠CDN. Докажите , что прямая KL проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

Переводчику геометрической терминологии на заметку... Humpty Dumpty Шалтай Болтай Хитун Бовтун Шалам Балам Goggel Moggel Eilein Weilein Zanco Panco Wańka Wstańka Lilleri Lalleri Lille Trille Dingi Dungi Undi Dundi Tombolo Dondolo Uomo Uovo Rondu Pondu Oliņš Boliņš Kuugel Muugel

по мотивам классики. синий - правильный шестиугольник, желтый - правильный пятиугольник. найдите угол

желтый и синий — квадраты. докажите касание

Geometry that whispers. Number theory that shouts. Combinatorics that lies. из текста про Ивана Часовских, переопубликованного тут

иллюзии, с которыми стоило бы расстаться начинающему автору геометрических задач: 1. у задачи, которую я придумал, очень сложное счетное решение, никто считать ее не будет 2. задача, которую я придумал, новая и свежая, никто о таком раньше не думал 3. чем сложнее задача/конструкция, тем лучше, красивее и оригинальнее 4. простые задачи придумывать легко

(а) Докажите, что в любом остроугольном треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. (б) Докажите, что в любом треугольнике с углами меньше 100 градусов есть замкнутая бильярдная траектория. (в) Докажите, что в любом треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. Бильярдная траектория - траектория полета шара, при которой угол падения на сторону равен углу отражения. Можно считать, что в вершину шар не залетает.

Можно даже еще чуть-чуть обобщить

Еще одно обобщение теоремы Штейнера

Вопросу из комментариев посвящается. Обобщение теоремы Штейнера. Докажите, что отношение площадей зеленых треугольников равно отношению площадей красных.

На двух противоположных сторонах выпуклого четырехугольника во внешнюю сторону построены равные "перпендикулярные" параллелограммы, а на двух других построены квадраты. Докажите, что центры построенных фигур являются вершинами квадрата.

Дополнение к теореме о пяти окружностях

теорема Морлея о пяти окружностях

поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем! по этому поводу предлагаем послушать его отличный рассказ youtu.be/fEinV81foBA про «математические матрешки» (в данном случае, в основном геометрические) или недавний рассказ youtu.be/IxSGYYhs1H8 про расстановки чисел в таблицах с ограничениями на суммы (и заодно напомним статью или почитать статью mathnet.ru/rus/mp1103 про кубические кривые и элементарную геометрию (совм. с А.А.Заславским)

Симпатичная задача

почти Сангаку)) это первая попытка, скоро сделаем покачественнее

Польская национальная олимпиада, 2026, финальный раунд, задача 5.

Задача одна — решений много В новой статье Дмитрия Викторовича Прокопенко обсуждается более десятка разных решений одной задачи. Статья, как это обычно бывает у Д.В., такова, что сразу же хочется пересказывать всюду. К примеру, замечательная коллега(Лариса, привет!) провела целый урок по этой статье в форме игры: класс разбивается на команды и нужно придумать как можно больше различных решений. Сегодня, мне кажется, прекрасный повод посмотреть не только на статью, но и на обновлённую страничку с материалами Дмитрия Викторовича: статьи, видео, карта по материалам — всё там. Дима, с Днём Рождения! 🎁 Продолжай писать!

По мотивам майских сборов (переформулировка). Красный, синий и зеленый треугольники равносторонние. Докажите, что желтый тоже равносторонний.

Всем привет! Еще один кусочек переехал на сайт и перевелся на английский язык. Это текст про прямую Симсона с красивыми анимациями! Про прямую Сисмона On the Simson line