Олимпиадная геометрия

иллюзии, с которыми стоило бы расстаться начинающему автору геометрических задач: 1. у задачи, которую я придумал, очень сложное счетное решение, никто считать ее не будет 2. задача, которую я придумал, новая и свежая, никто о таком раньше не думал 3. чем сложнее задача/конструкция, тем лучше, красивее и оригинальнее 4. простые задачи придумывать легко

(а) Докажите, что в любом остроугольном треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. (б) Докажите, что в любом треугольнике с углами меньше 100 градусов есть замкнутая бильярдная траектория. (в) Докажите, что в любом треугольнике есть замкнутая бильярдная траектория. Бильярдная траектория - траектория полета шара, при которой угол падения на сторону равен углу отражения. Можно считать, что в вершину шар не залетает.

Можно даже еще чуть-чуть обобщить

Еще одно обобщение теоремы Штейнера

Вопросу из комментариев посвящается. Обобщение теоремы Штейнера. Докажите, что отношение площадей зеленых треугольников равно отношению площадей красных.

На двух противоположных сторонах выпуклого четырехугольника во внешнюю сторону построены равные "перпендикулярные" параллелограммы, а на двух других построены квадраты. Докажите, что центры построенных фигур являются вершинами квадрата.

Дополнение к теореме о пяти окружностях

теорема Морлея о пяти окружностях

поздравляем Павла Александровича Кожевникова с юбилеем! по этому поводу предлагаем послушать его отличный рассказ youtu.be/fEinV81foBA про «математические матрешки» (в данном случае, в основном геометрические) или недавний рассказ youtu.be/IxSGYYhs1H8 про расстановки чисел в таблицах с ограничениями на суммы (и заодно напомним статью или почитать статью mathnet.ru/rus/mp1103 про кубические кривые и элементарную геометрию (совм. с А.А.Заславским)

Симпатичная задача

почти Сангаку)) это первая попытка, скоро сделаем покачественнее

Польская национальная олимпиада, 2026, финальный раунд, задача 5.

Задача одна — решений много В новой статье Дмитрия Викторовича Прокопенко обсуждается более десятка разных решений одной задачи. Статья, как это обычно бывает у Д.В., такова, что сразу же хочется пересказывать всюду. К примеру, замечательная коллега(Лариса, привет!) провела целый урок по этой статье в форме игры: класс разбивается на команды и нужно придумать как можно больше различных решений. Сегодня, мне кажется, прекрасный повод посмотреть не только на статью, но и на обновлённую страничку с материалами Дмитрия Викторовича: статьи, видео, карта по материалам — всё там. Дима, с Днём Рождения! 🎁 Продолжай писать!

По мотивам майских сборов (переформулировка). Красный, синий и зеленый треугольники равносторонние. Докажите, что желтый тоже равносторонний.

Всем привет! Еще один кусочек переехал на сайт и перевелся на английский язык. Это текст про прямую Симсона с красивыми анимациями! Про прямую Сисмона On the Simson line

➿ Доверенные лица «Дабромат»: Бахарев Федор Львович ➿ Неделю назад мы анонсировали программу стипендий в летней геометрической школе «Дабромат»: в этом году будет выдано 30 полных стипендий от Таксы Дуси и некоторое количество неполных.  ЛГШД — это авторский курс для 8-11 классов, разработанный составителем задач шортлиста IMO, финала ВсОШ, ММО, Олимпиады Шарыгина и других рейтинговых олимпиад. Курс состоит из 3 ступеней, каждая длится все лето и стартует 1 июня. Помимо общего конкурса, мы также упомянули про доверенных лиц «Дабромат». Они присуждают ребятам лимитированные Золотые билеты, которые позволяют получить стипендию, минуя конкурсную основу (но подать заявку на сайте до 22 мая все равно необходимо!). Подробнее о Золотых билетах здесь.  И сегодня мы начинаем серию постов с рассказами о наших доверенных лицам — известных педагогах и деятелях в сфере образования и олимпиадной математики: Бахарев Федор Львович — создатель одного из самых популярных пабликов по олимпиадной геометрии и соавтор Сириус-курсов по геометрии, ех-тренер сборных Москвы и Санкт-Петербурга. Также является кандидатом физико-математических наук.  Если вы знакомы с Федором Львовичем — свяжитесь с ним напрямую и попытайтесь получить Золотой билет. ⭐️

Докажите, что прямые Эйлера красного, зеленого и синего треугольников пересекаются в одной точке

BMO-2026, Problem 3 ABCD — параллелограмм, H — ортоцентр треугольника BCD. Докажите, что пунктирные окружности касаются