موسوعة البرهان

القائمة الجديدة تتضمن مسلمات وتعاريف وليس نتائج يمكن استنتاجها مما سبق

ها قد قمتُ بتحسين القائمة بشكل كبير مع تضمين المستوي والزاوية والقياس، لكن قائمتي ما تزال قيد التطوير

الصياغة الرمزية لبعض الخصائص الرئيسية للمستقيم والقطعة المستقيمة ونصف المستقيم

مصدر السؤال هو هذا الفيديو https://youtube.com/shorts/rYyJm1tD3d0?si=6YzWtWgwEUWbraur

متابع في الأصول الهندسية إن شاء الله ولكن هذه مسألة جميلة جداً رأيتُها وأحببتُ توثيقها ومشاركتها قبل أن تضيع. لغز الرأس الرابع – هل يمكن للانعكاس أن يُكمل المربع الناقص؟ أتمنى أن تنال إعجابكم

فلسفة بناء الكتاب لا يهدف «الأصول الهندسية» إلى أن يكون سلسلة نتائج مرتبة ترتيبًا تأسيسيًا صارمًا لا يظهر فيها مفهوم أو إنشاء إلا بعد اكتمال جميع مقدماته. فهذا ممكن منطقيًا، لكنه يفرض على القارئ مسارًا تجريديًا طويلًا قبل الوصول إلى البراهين والإنشاءات، وقد يثقل بناء المعرفة على حساب تطوره الطبيعي. وفي الوقت نفسه، لا يضحي الكتاب بالصرامة من أجل السهولة، بل يتبنى منهجًا قريبًا من روح إقليدس: تُقدَّم الأفكار في المواضع التي تخدم نمو معرفة القارئ، ويُعرض بعضها أحيانًا قبل اكتمال أدوات تبريره الكامل. فالكتاب يميز بين ظهور الفكرة وثبوتها. قد يُعرض إنشاء في مرحلة مبكرة لأن ذلك يناسب مسار التعلم، مع تأجيل بعض شروط صحته إلى مرحلة لاحقة، دون أن يعني هذا التأجيل جواز استعمال نتيجته كحقيقة ثابتة قبل اكتمال برهانها. والتأجيل هنا ليس تجاهلًا للثغرة، بل تسجيل لها إلى حين توافر أدوات معالجتها. مثاله إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع: يُقدَّم مبكرًا، ثم يُثبت لاحقًا وجود نقطة تقاطع الدائرتين ضمن النتائج العامة لوجود المثلثات، بدل تقديم مبرهنة متقدمة في موضع لا يحتاجها القارئ بعد. ولضبط هذه التأجيلات، يعتمد الكتاب سجلًا تأسيسيًا جانبيًا تُسجَّل فيه كل مسألة غير مكتملة التبرير (وجود، إمكان تنفيذ، أو صحة استدلال)، مع بيان ما يلزم لإغلاقها. ولا تُغلق المسألة إلا بعد التأكد أن حلها لا يعتمد -مباشرة أو بالتبعية- على نفسها. وبذلك يُفرَّق بين المسألة المفتوحة المقبولة (المسجَّلة وغير المستعملة كحقيقة مثبتة) والثغرة غير المقبولة (المجهولة أو المغلقة ببرهان دائري). كذلك يميز الكتاب بين صحة النتيجة وصحة الإنشاء: فالإنشاء وصفٌ لإجراء، وصحته تتطلب إثبات إمكان تنفيذ عملياته، ووجود ناتجه، وتحقيقه المطلوب، وخلوّه من الغموض. فقد يظهر الإنشاء قبل إثبات صحته، لكنه لا يصبح معرفة مثبتة إلا بعد إغلاق المسائل المتوقفة عليه. ولا يكتفي الكتاب بمنع الدور المباشر، بل يراعي شبكة الاعتماد الكاملة بين المسلمات والتعريفات والمبرهنات والإنشاءات، بحيث تُرَدّ كل نتيجة إلى أساسها عبر سلسلة منتهية خالية من أي دورة، مباشرة أو غير مباشرة. وللكتاب بذلك مساران متلازمان: مسار ظاهر تتطور فيه المفاهيم تدريجيًا بما يناسب القارئ، ومسار تأسيسي رقابي يتتبع الاعتماد، ويسجل المؤجَّل، ويضمن خلو النظام من الثغرات أو الدوران المخفي. وهذا التمييز ليس ازدواجًا منطقيًا، بل فصل بين وظيفة تعليمية ووظيفة تأسيسية. فليس ضروريًا أن يرى القارئ كل الأسباب في كل لحظة، لكن يجب أن يكون النظام، عند اكتماله، قادرًا على إظهارها دون دور أو افتراض خفي. وهكذا يحاول «الأصول الهندسية» الجمع بين ما يبدو متعذر الجمع: أن يكون قابلًا للتعلم التدريجي، وقابلًا في الوقت نفسه للتدقيق الصارم. فالغاية ليست برهنة كل شيء لحظة ظهوره، بل أن يقوم كل ما يُستعمل كمعرفة مثبتة على أساس مستقل، وأن تكون المسائل المؤجلة معروفة ومتعقَّبة ومغلقة جميعها في مواضعها المناسبة -بحيث يمكن، عند اكتمال البناء، تتبع الطريق من المسلمات إلى النتائج دون ثغرات أو دوران.

الآن بعد أن ارتست النماذج والنظرة العامة للكتاب وفلسفته بإذن الله تعالى سيصبح السير فيه من الآن فصاعداً سلس وسريع نسبياً

ثلاث استنتاجات تتعلق بمسلمة التوازي

يمكن ملاحظة أنني أستعمل عبارات مثل P دائرة A مركز لها وليس P دائرة مركزها A التي تبدو أبسط ولكن هذا كان متعمداً كي لا نستخدم أي خطوة لم نبرهنها بعد مثل وحدانية مركز الدائرة، والتي سترد في مبرهنة منفصلة لاحقا، وبعدها يمكننا استخدام الصيغة المبسطة.

من ضمن الاختيارات التعريفية التي يوجد حرّية في التعامل معها هي رفض أو عدم رفض القطعة الصفرية والدائرة الصفرية والمثلث المتدهور، إذ يمكن بناء النظام بقبول أو رفض هذه الأشياء في التعريف، ولكني فضلتُ اختيار رفضها وهذا يسهل صياغة المبرهنات بدون استثناءات للحالات المتدهورة ومع ذلك ربما يوجب ذلك التعامل مع تلك الحالات على حدة لكن هذا التوضيح سيكون مهما لمنع الخلط

من محاولة بناء البرهان الأول في «أصول إقليدس» بينما كنت أحاول إعادة بناء القضية الأولى من الكتاب الأول لأصول إقليدس — إنشاء مثلث متساوي الأضلاع على قطعة مستقيمة معطاة — بصورة تأسيسية صارمة، بحيث يكون كل انتقال في البرهان مستندًا إلى تعريف أو مسلمة أو نتيجة سبق تأسيسها، اكتشفت أن الأمر أعمق بكثير مما يبدو عليه البرهان الإقليدي المعتاد. فالمشكلة لم تكن في البرهان نفسه بقدر ما كانت في النظام الذي يُفترض أن يحمل البرهان. عندما بدأت بتتبع الاعتمادات المنطقية خطوةً خطوة، ظهرت الحاجة إلى عدد من التطويرات في منظومة التعريفات والمسلمات التي كنت أستعملها سابقًا: نتائج مباشرة من بعض التعريفات، خصائص للمسافة والأطوال، تمييز أدق بين الوجود والإنشاء والتعيين، ونتائج تتعلق بالدائرة ومراكزها وأنصاف أقطارها وتقاطعها، فضلًا عن بعض القضايا التي كنت أتعامل معها سابقًا وكأنها بديهية بينما يتطلب استعمالها الصريح تأسيسًا مستقلًا. والأهم من ذلك أنني اكتشفت أن الترتيب الطبيعي للمفاهيم ليس بالضرورة هو الترتيب الذي ينبغي أن تظهر به في الكتاب. فقد يبدو من الطبيعي أن نعرّف المثلث مبكرًا، ثم نبدأ بإثبات مبرهناته. لكن عند محاولة بناء القضية الأولى بناءً تأسيسيًا كاملًا، يتضح أن وجود المثلث نفسه ليس شيئًا ينبغي افتراضه بلا تحليل؛ بل يجب أن يكون لدينا أساس يضمن إمكان تكوينه في الحالات التي نحتاج إليها. وهذا يقود إلى مبدأ أعمق أحاول الالتزام به في بناء الكتاب: > لا ينبغي أن يحصل التعريف، بمجرد وضعه، على أي وجود أو خاصية لم تمنحها له مسلمات النظام أو تستنتجها منه المبرهنات. فالتعريف يحدد معنى الكائن، أما وجود الكائن وخصائصه البنيوية فتأتي من النظام الذي يعمل فيه. الصور المرفقة تعرض محاولتي الحالية لبناء هذا الجزء من النظام، بما فيه بعض النتائج التي ظهرت أثناء محاولة إثبات القضية الأولى. وهي ليست النسخة النهائية، ولا أدّعي أن هذه المنظومة قد استقرت بعد؛ بل على العكس، أنا أنشرها تحديدًا لأنها تمثل مرحلة من مراحل التطوير، وقد تتغير بعض التعريفات والمسلمات والنتائج وترتيبها مع استمرار العمل. وهنا أريد توضيح نقطة تتعلق بفكرة القراءة المتسلسلة والنظام التدرجي التي تحدثت عنها سابقًا في مشروع الكتاب: الكتاب النهائي سيكون مبنيًا بحيث لا يحتاج القارئ إلى استعمال مفهوم أو نتيجة قبل أن يكون قد أُتيح له تأسيسها، وسيكون لترتيب مواده زمن منطقي داخلي تتاح فيه الموارد اللازمة لكل خطوة في الوقت المناسب. لكن هذا وعد يتعلق بالكتاب بعد اكتماله، لا بعملية تحريره نفسها. أما أثناء البناء، فمن الطبيعي أن أكتشف أن قضية مبكرة تحتاج إلى نتيجة لم أضعها بعد، أو أن تعريفًا سابقًا يحتاج إلى إعادة صياغة، أو أن مسلمة كنت أظنها ضرورية يمكن الاستغناء عنها بعد اكتشاف طريقة لاشتقاقها. ولهذا فهذه الصور لا تمثل «الطريق الذي يجب أن يقرأ به الكتاب»، وإنما تمثل موضع البناء الذي وصلت إليه الآن. أشارككم هذه الأشياء للحصول على آرائكم ومقترحاتكم في تطوير الكتاب

جزى الله خيراً الأستاذ محمد الدمرداش على إتاحة هذه النسخة من الأصول وهي الجزء الأول، من يستطيع إيجاد الجزء الثاني من نسخة ابن سينا فليتفضل بإرساله مشكوراً

لماذا أطيل في مدخل الكتاب؟ قد يلاحظ بعض المتابعين أنني أمضي وقتًا طويلًا في بناء مدخل الكتاب، وأعمل على تفاصيل قد تبدو للوهلة الأولى بعيدة عن الرياضيات التي سيقدمها الكتاب نفسه: ما معنى المبرهنة؟ وما الفرق بينها وبين التوطئة والنتيجة؟ ما هي معايير المسلمات؟ ما المقصود بالإنشاء؟ وكيف تُقرأ الإحالات والتمهيدات والملاحظات؟ ولماذا أختار هذا اللفظ دون غيره؟ وقد يبدو هذا نوعًا من الإفراط في التمهيد، لكن الأمر مقصود تمامًا. أنا لا أريد أن أبدأ ببناء النتائج الهندسية ثم أعود لاحقًا لأكتشف أن اللغة التي بنيت بها الكتاب غير منضبطة، أو أن مصطلحين يؤديان الوظيفة نفسها، أو أن مفهومًا استُعمل قبل أن أحدد معناه، أو أنني أضطر في منتصف الكتاب إلى تغيير معنى مصطلح سبق أن بنيت عليه عشرات النتائج. أريد أن أدفع ثمن الدقة في البداية، حتى أمتلك حرية أكبر في بقية الكتاب. فالكتاب الذي أريده ليس مجموعة من المبرهنات الموضوعة واحدة بعد أخرى، وإنما بناء متدرج له لغة خاصة، وأدوات محددة، وترتيب داخلي، وقواعد في الانتقال من مرحلة إلى أخرى. ولهذا أتعامل مع المدخل بوصفه مرحلة تأسيس حقيقية، لا مقدمة شكلية. أريد أن أصل في النهاية إلى نقطة أستطيع فيها أن أقول: لقد اتفقنا على معنى هذه الألفاظ، وعرفنا وظيفة كل أداة، وضبطنا قواعد البناء؛ والآن يمكننا أن نمضي في الهندسة دون أن نتوقف عند كل خطوة لنعيد التفاوض حول اللغة التي نستعملها. قد يبدو الطريق أطول في أوله، لكنه في المقابل يجعل الطريق بعد ذلك أوضح وأقصر وأكثر حرية. ولهذا، إذا رأيتموني أقضي وقتًا طويلًا في تعريف مصطلح يبدو بسيطًا، أو في إعادة صياغة فقرة كتبتها من قبل، فليس ذلك لأنني فقدت البوصلة عن المشروع؛ بل لأنني أحاول أن أبني البوصلة نفسها قبل أن أبدأ الرحلة الطويلة.

اصطلاحات الكتاب

لقد قمتُ بتحديث نظام المسلّمات الذي أعتمده وأضفتُ له خمس مسلّمات إضافية، هذا سيوفّر وضعها في العلاقات الأولية وسيتيح استنتاج باقي خواص العلاقات كنتائج

في كيفية قراءة هذا الكتاب

ها هو النص بعد تحسينه، وهو الآن مكتوب بأسلوب تعلمي سلس دون إثقاله بالتشبيهات والاستعارات التي قد تشوش الانتباه.