Математические байки

Для меня этот его курс стал первым знакомством с асимптотической комбинаторикой. И с идеей, что очень часто число объектов большого размера N примерно данной формы оказывается ведущим себя, как экспонента от фиксированной степени N, умноженной на («энтропийный») функционал от формы — после чего предельная форма оказывается максимизирующей этот функционал.

https://www.mathnet.ru/present231 А.М.Вершик. «A что будет, если n очень большое?» (ЛШСМ-2008)

https://www.kommersant.ru/doc/3200633 к юбилею Анатолия Моисеевича Вершика — напомним относительно недавнюю “математическую прогулку” с ним

Анатолий Моисеевич Вершик (28.12.1933–14.02.2024)

Давайте я чуть-чуть добавлю к тому, что пишут коллеги. Все знают, что планеты движутся вокруг звезды по эллипсам. И навскидку не очень ясно, как это утверждение доказывать, не закапываясь в какие-нибудь жуткие выкладки. Лет пять назад появилось выложил замечательное видео (на канале minutephysics с 3blue1brown) про лекцию Фейнмана об этом, « Feynman’s Lost Lecture ». Я его очень рекомендую посмотреть — но если коротко, есть совершенно замечательный промежуточный шаг, который, услышав однажды, забыть нельзя. Отложим скорости планеты в разные моменты времени от начала координат. Оказывается, что концы этих векторов образуют окружность — просто с центром не в начале координат! («Годограф скоростей — круглый») Чтобы вывести это утверждение, нужны и закон всемирного тяготения, и закон сохранения момента импульса (а точнее, следующий из него второй закон Кеплера — правило площадей). А вывод из него эллиптичности орбиты связан как раз с картинкой с эллипсом-огибающей! (Я немного об этом когда-то писал — см. тут и ниже — но очень советую посмотреть и видео, и страницы/миниатюры Мат. Этюдов про огибающие.)

Любую гладкую кривую можно увидеть, нарисовав не саму кривую, а множество касательных к ней. Понятие огибающей подробно описано в сюжете «Парабола: изонить», в котором в качестве огибающей семейства прямых возникает парабола. Но построение касательных не такое простое дело. Продемонстрируем, как увидеть конические сечения — эллипс, гиперболу, параболу — ничего не считая и не рисуя, а просто складывая листок бумаги. Сюжет сегодняшнего Математического вторника: «Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ . Для эллипса и гиперболы понадобится вырезать кружок из бумаги, для параболы – просто прямоугольный лист. Похожие картинки можно уже было видеть в миниатюрах Эллипс как огибающая, Гипербола как огибающая, Парабола как огибающая. Но в них надо уметь строить перпендикуляр к отрезку, а в указанном сегодня способе складывания листочка эта операция «зашита» в сам способ складывания.

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

Ответ: Луна в первой четверти означает, что направление на неё почти под прямым углом к направлению на Солнце. А Венера — внутренняя планета, так что на 90 градусов выйти не может. Если говорить более аккуратно, то радиус орбиты у неё — чуть больше 0.7 радиуса орбиты Земли (точнее, большая полуось 0.723 а.е., но я наизусть только 0.7 помню — одну цифру помнить проще 🙂 ; ну и на уровне прикидки в уме эллиптичностью пренебрегаем, всё-таки там эксцентриситеты порядка процента) Значит, Венера не может быть от Солнца на угловом расстоянии, большем, чем (примерно) arcsin 0.7. Ну а sqrt{2}/2=0.707..., так что этот угол это с отличной точностью 45 градусов. Итак, максимальный угол между направлениями на Венеру и Солнце это чуть больше, чем 45 градусов. Так что рядом с Луной, которая в этот момент была примерно под 90 градусов — Венера находиться ну никак не могла!

Четыре дня назад на небе можно было увидеть аккуратную половинку Луны (почти точно в фазе первой четверти) — и очень яркую «звёздочку» рядом. Первое, что приходит в голову при виде чего-то столь яркого, это Венера и Юпитер. (Вообще, Марс иногда бывает очень ярким, но не так часто; есть ещё Сириус, но давайте мы его временно заметём под ковёр). Так вот: допустим, мы ограничили выбор Венерой и Юпитером. Интересно, что написанного выше достаточно, чтобы один из этих вариантов исключить! Как думаете, какой? (image credit: NASA, What’s Up video)

St. Petersburg mathematicians and their discoveries Книжка про математиков Петербурга и их открытия — завершена. Теперь напечатаем малым тиражом и разошлём авторам и всем причастным. Кому интересно иметь её в бумажном виде — печатайте сами себе в каком-нибудь самиздате (вроде есть сайты, куда можно pdf загрузить, и потом в мягком переплёте получить по почте).

https://mccme.ru/nir/seminar/ в четверг (11.01) продолжится семинар учителей математики: А.Д.Блинков будет рассказывать про книжку «Площади без формул», которая скоро выйдет в серии «Школьные математические кружки» как обычно: 19:00, столовая МЦНМО, приглашаются все желающие

Женя Кац напомнила про видео — мыльные пузыри в сильный мороз можно заморозить(!). Я вот вживую такого никогда не видел…

Женя Кац напомнила про видео — мыльные пузыри в сильный мороз можно заморозить(!). Я вот вживую такого никогда не видел…

Нерегулярная рубрика «рабочие картинки» (они красивые, хочется поделиться): часть поверхности Маркова x^2+y^2+z^2-xyz = D и некоторые слоения на ней.

https://mccme.ru/free-books/ Дед Мороз напоминает про страницу, на которой бесплатно доступны файлы множества книг (в основном издательства МЦНМО) брошюры библиотеки «Математическое просвещение» и Летней школы «Современная математика», доклады семинара «Глобус» и материалы выездного семинара учителей, книги Арнольда и Гельфанда, Прасолова и Шеня и многое другое. новогодние каникулы — как раз хорошая возможность спокойно почитать