Mathus

Вчера оставил задачу Canadian MO 2003.2: Найдите три последние цифры числа 2003^(2002^2001). Сегодня — обещанный разбор. Покажу два способа. Первый — вполне системный, через теорему Эйлера. Второй — покороче и основан на том же биномиальном трюке, который был в предыдущем видео. CanMO2003.2 — видео https://mathus.ru/video/CanMO2003z2.mp4 Файл с решением https://mathus.ru/video/pdf/CanMO2003z2.pdf Вообще, мне именно за это и нравятся такие задачи: можно решить «по теории», а можно — если повезёт что-то заметить — гораздо быстрее. Так что полезно не только знать рабочие инструменты, но и замечать короткие ходы.

У нас тут прошёл уже третий вебинар по теории чисел: Степени по модулю: от последней цифры до теоремы Эйлера https://antitreningi.ru/pay/shop/_O4Vk8F5ZSLJ Решил записать пару небольших видео, в которых суммируется многое из того, что на вебинарах обсуждалось. Первое — совсем короткая задача: Найти две последние цифры числа 3^2026. Разберу её четырьмя способами. Сначала — через КТО по модулям 4 и 25. Потом — через теорему Эйлера и небольшой ручной подсчёт. Потом — моментальное решение, если знать число 3^10. И наконец — биномиальный лайфхак, основанный на том, что 3^2026 = 9^1013 = (−1 + 10)^1013. Последний мне особенно нравится 🙂 Задача про 3^2026 — видео https://mathus.ru/video/32026.mp4 Файл с решением https://mathus.ru/video/pdf/32026.pdf А заодно оставлю задачу на подумать до завтра. Canadian MO 2003, задача 2: Найдите три последние цифры числа 2003^(2002^2001). Она уже заметно интереснее, но идеи нужны совершенно аналогичные. Попробуйте решить сами. Завтра выложу видео с двумя способами решения.

Вебинар «Относительное движение: геометрия скоростей» Третий вебинар курса «Геометрическая кинематика». Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами): https://antitreningi.ru/pay/shop/Zfe8HiMTw99a (ссылка может плохо открываться при включенном VPN). О чём будем говорить? Когда одновременно движутся два тела, задача часто выглядит гораздо сложнее, чем движение каждого из них по отдельности. Но иногда достаточно правильно выбрать наблюдателя — и вместо двух движений остаётся одно, а вместо длинных вычислений появляется простая геометрия. На вебинаре разберём: — выбор удобной системы отсчёта; — сложение и вычитание векторов скоростей; — движение при ветре и течении; — минимальную скорость и минимальный снос; — задачи на сближение и перехват; — относительное движение в баллистике. Последний сюжет особенно симпатичен. Если два тела движутся с одинаковым ускорением — например, оба брошены в поле тяжести, — то их относительное ускорение равно нулю. И две параболические траектории относительно друг друга превращаются в равномерное прямолинейное движение. Будут задачи «Физтеха», «Росатома», МОШ, «Ломоносова», «Шага в будущее», ПВГ и, конечно, Всеросса! Как обычно, будем стараться увидеть геометрию раньше, чем начинать считать. Главный вопрос вебинара: не «как движутся два тела?», а «как одно тело движется относительно другого?» Вебинар пройдет в zoom 18 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих. Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции. Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Похоже, вебинары по физике тоже складываются в законченный мини-курс — «Геометрическая кинематика: от графиков и векторов до связей и мгновенного центра вращения» Первое занятие уже прошло: 4 сентября — «Графическая кинематика» https://antitreningi.ru/pay/shop/Yo_LhDs5TuC0 Учились решать кинематические задачи геометрически: через наклоны и площади под графиками, пересечения, касательные и правильную картинку движения. Теперь идём дальше. 11 сентября — «Векторная баллистика» https://antitreningi.ru/pay/shop/gQ6ucaGzr0TM Будем смотреть на полёт тела через геометрию векторов скорости и ускорения. Меньше покоординатных вычислений — больше треугольников, векторных построений и красивых коротких решений. 18 сентября — «Относительное движение: геометрия скоростей» Лодки и течения, ветер и дождь, встречи и преследования, минимальные расстояния. Многие такие задачи становятся почти очевидными, если перейти в правильную систему отсчёта и нарисовать векторы скоростей. 25 сентября — «Кинематика со связями: нити, стержни и закон палочки» Что происходит, когда движения разных тел связаны между собой? Нерастяжимые нити, блоки, стержни, направляющие — и знаменитый «закон палочки», который позволяет очень быстро связывать скорости разных точек. 2 октября — «Мгновенный центр вращения: геометрия скоростей твёрдого тела» А в финале — стержни, колёса, диски и другие твёрдые тела. Будем находить скорости их точек через мгновенный центр вращения — зачастую практически без вычислений. Весь курс строится вокруг одной идеи: Кинематика — это не только формулы. Очень часто это прежде всего геометрия движения. Сначала — геометрия графиков. Потом — геометрия векторов. Дальше — относительные скорости и связи между движениями. И наконец — геометрия скоростей целого твёрдого тела. К курсу вполне можно подключаться и сейчас, со второго вебинара. Первое занятие полезно как база, но жёсткой зависимости между вебинарами не будет — всё необходимое я буду по ходу дела напоминать.

Вебинар «Степени по модулю: от последней цифры до теоремы Эйлера» Как найти последнюю цифру огромной степени? А последние две или три? Что делать со степенью в степени — вроде 202^(303^404)? И почему остатки степеней вообще начинают повторяться? На вебинаре начнём с самых простых циклов последних цифр, а затем постепенно доберёмся до порядка числа по модулю, малой теоремы Ферма и теоремы Эйлера. Разберём, как: — находить последние цифры огромных степеней; — работать со степенями в степени; — сокращать показатели по периоду; — понимать, когда применять Ферма и Эйлера, а когда лучше искать другой путь; — сочетать степени по модулю с китайской теоремой об остатках. Как обычно, теория будет рождаться из задач. Начнём с совсем простых примеров, а закончим олимпиадными задачами, где нужную идею ещё надо суметь заметить. Вебинар пройдет в zoom 14 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 8—11 классов и всех желающих. Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами): https://antitreningi.ru/pay/shop/_O4Vk8F5ZSLJ (ссылка может плохо открываться при включенном VPN). Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции. Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Вебинары по математике в сентябре На вебинаре мне задали вопрос насчет графика дальнейших занятий. Вразумительного ответа дать в моменте не смог, ибо система создаётся на ходу 🙂 Однако сейчас могу точно сказать, что вебинары по математике, похоже, складываются в законченный мини-курс — «Олимпиадная теория чисел: от сравнений до функции Эйлера» ⠀ Первые два занятия уже прошли и доступны в записи: ⠀ 31 августа — «Линейные сравнения и линейные диофантовы уравнения» https://antitreningi.ru/pay/shop/gVzD5GAXyvsr Учились решать сравнения и переводить их на язык диофантовых уравнений. ⠀ 7 сентября — «КТО: собираем число из остатков» https://antitreningi.ru/pay/shop/FXyBRjriRWsW Разбирались, как из нескольких сравнений собрать одно число и как китайская теорема об остатках работает в олимпиадных задачах. ⠀ А дальше будет ещё три вебинара: ⠀ 14 сентября — «Степени по модулю: от последней цифры до теоремы Эйлера» Начнём с циклов последних цифр, а потом доберёмся до больших степеней, малой теоремы Ферма и теоремы Эйлера. ⠀ 21 сентября — «Факториалы: от последних нулей до формулы Лежандра» Будем считать последние нули, степени простых в факториалах и постепенно придём к формуле Лежандра. ⠀ 28 сентября — «Функция Эйлера: от взаимно простых остатков до мультипликативности» Приведённые системы вычетов, функция Эйлера и её главное структурное свойство — мультипликативность (да-да, это нужно для перечневых олимпиад — привет, Росатом-2025, 11.3!). ⠀ Темы здесь действительно продолжают друг друга: сначала одно сравнение, потом несколько сравнений сразу, затем степени по модулю, дальше — делимость факториалов, а в финале — функция Эйлера. ⠀ При этом к курсу вполне можно подключаться и сейчас, с третьего вебинара. Первые два занятия очень полезны как база, но я буду по ходу дела напоминать всё необходимое, чтобы новые темы не зависели от них слишком жёстко. Дальше углубляться в ТЧ мы не будем — для перечневых олимпиад этого хватит — и в октябре сменим тему. Пока думаю в сторону комбинаторики (ведь она естественным образом просится после ТЧ), но готов прислушаться и к вашим пожеланиям 🙂 Насчет ближайших планов по физике напишу немного позже

Вебинар «Векторная баллистика» В задачах о брошенном теле мы привыкли сразу выбирать оси, проецировать скорости и ускорение, писать уравнения для x и y. А что, если не торопиться с проекциями? Из простого векторного равенства v = v₀ + gt возникает треугольник скоростей. А дальше оказывается, что с его медианой связано перемещение, с площадью — дальность полёта, а некоторые задачи на максимумы и углы решаются почти чистой геометрией. На вебинаре разберём, как этот подход работает в реальных олимпиадных задачах — Всеросс, МОШ, «Физтех», «Росатом», МФТИ. Главная идея проста: иногда вместо длинных выкладок достаточно увидеть правильную векторную картинку. Вебинар пройдет в zoom 11 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих. Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами): https://antitreningi.ru/pay/shop/gQ6ucaGzr0TM (ссылка может плохо открываться при включенном VPN). Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции. Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Вебинар «КТО: собираем число из остатков» Можно ли придумать число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 5 — остаток 4, а при делении на 7 — остаток 1? А если заменить 3 и 5 на 4 и 6? Почему одни наборы остатков возможны, а другие — нет? На вебинаре начнём именно с этих простых вопросов. Посмотрим на таблицы остатков, научимся решать системы сравнений и постепенно сами придём к китайской теореме об остатках (КТО). А затем увидим, зачем она нужна в олимпиадах: как восстанавливать число по частям, как подсчитать количество решений и как замечать КТО в задачах, где она совсем не лежит на поверхности. Смотрим задачи «Физтеха», «Росатома», AMC и AIME — от самых первых шагов до вполне содержательных олимпиадных сюжетов. Вебинар пройдет в zoom 7 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих. Страница вебинара на Антитренингах (там анонс + оплата + листок с задачами): https://antitreningi.ru/pay/shop/FXyBRjriRWsW (ссылка может плохо открываться при включенном VPN). Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции. Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂 Предварительно знать КТО не нужно. Достаточно немного ориентироваться в линейных сравнениях. Тут может помочь (доступный в записи) вебинар Линейные сравнения и линейные диофантовы уравнения https://antitreningi.ru/pay/shop/gVzD5GAXyvsr

MIT: Mathematics for Computer Science Ловите запредельную крутизну! Логика и доказательства, высказывания и предикаты, множества, функции и отношения, индукция и рекурсия, теория чисел + RSA, графы простые и ориентированные, асимптотики, комбинаторика и вероятность, производящие функции и рекуррентные соотношения! Всё это в бесплатном сокровище от MIT почти на 1к страниц: Mathematics for Computer Science

Вебинар «Графическая кинематика» Почему некоторые задачи на равноускоренное движение моментально взламываются геометрией вместо страницы алгебры? Почему стоит видеть скорость и время как длину, путь как площадь, ускорение как наклон и активно пользоваться подобием треугольников на графиках? На вебинаре мы будем использовать графики не как иллюстрацию к решению, а как сам метод решения. Поезд, автомобиль, «последняя секунда», движение в тоннеле, смена знака скорости, догонялки, графики ускорения и неожиданный выбор осей — от базовых задач до «Физтеха» и Всеросса. Будем стараться видеть кинематику геометрически — и находить решение на рисунке раньше, чем в формулах. Вебинар пройдет в zoom 4 сентября в 17:00 (Мск). Длительность вебинара — 120+ минут. Вебинар предназначен для школьников 9—11 классов и всех желающих. Листок с задачами для вебинара: https://mathus.ru/webinars/grafkinematika.pdf Страница вебинара на Антитренингах: https://antitreningi.ru/pay/shop/Yo_LhDs5TuC0 (может плохо открываться при включенном VPN). Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны мною во время трансляции. Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Вебинар по ЛС и ЛДУ 31 августа в 11:00 (по Москве) я проведу вебинар Линейные сравнения и линейные диофантовы уравнения Это установочный вебинар по данной теме для моих учеников 9, 10 и 11 классов (именно с этой темы мы стартуем в сентябре), однако никаких ограничений по участию нет — приглашаются все желающие 🙂 Длительность вебинара — 120 минут. Вот листок с задачами для вебинара. Мы начнем с основных понятий, с базового уровня, и довольно быстро перейдем к олимпиадным задачам. Нас ждут олимпиады «Росатом», «Покори Воробьевы горы!», «Шаг в будущее», «Надежда энергетики», а также чрезвычайно полезные задачи американских соревнований AMC и AIME. Вебинар будет доступен также и в записи. К видеозаписи прилагаются pdf-файлы решений задач, которые были разобраны во время трансляции (как проходят вебинары). Стоимость вебинара = 500, 1000, 1500, 2000 или 3000 ₽ на ваш выбор. Любой вариант оплаты дает одинаковое участие в вебинаре и полный доступ к его материалам (видеозаписи и файлам решений). Поэтому выбирайте наиболее комфортную для вас сумму и приходите на занятие 🙂

Моим ученикам 9, 10 и 11 классов по математике Предлагаю провести с пользой остаток августа 🙂 А именно — повторить нужные нам вещи по теории чисел, начав с линейных сравнений. Смотрим нижеследующий листок и далее — по ссылкам в нем. Линейные сравнения. База по теории

YPhB — Youth Physics Battles Встречайте один из турниров IYSB — International Young Scientist Battles! Youth Physics Battles — это командные физические бои, где важно не только решить задачу, но и уметь грамотно её представить, выстроить стратегию и ответить на вопросы оппонентов. На YPhB ценятся командная работа и умение аргументировать свою позицию. Две лиги: — Младшая: 7–9 классы — Старшая: 10–11(12) классы Лига определяется по классу, который участник окончил в этом учебном году Команда: 3–4 человека Регистрация — до 22 июля Онлайн-отбор — 23 июля (индивидуальный, с прокторингом) Офлайн-этап — 23–27 августа в МУИТ, Алматы 👤 Участникам не из Алматы необходим совершеннолетний руководитель 🏠 Иностранным участникам (не РК) организаторы обеспечат проживание 🏆 Призы: гранты в КБТУ, МУИТ и другие университеты, мерч и другие полезности 🧩 Жюри и авторы задач — победители международных и республиканских олимпиад Регистрация: iysb.science Инстаграм: instagram.com/kaz_ysb Телеграм канал: https://t.me/ysbattles ☎️ По вопросам: +7 776 219 0095 — Miras (KZ) +7 705 965 12 40 — Zere (RU, EN) Собирайте команду и будьте частью чего-то нового 🚀

Goto Алматы на физбатлы!

Замечательны физик, преподаватель и энтузиаст Леша Свинцицкий затеял важное дело: летний бесплатный миникурс по математическим методам в физике: https://t.me/atrium_phys/281 Цель курса — помочь школьнику преодолеть пропасть между теми вещами, которые он прошел в школе по математике, и тем, что ему уже пора уметь делать в физике: векторы, производные, интегралы, дифференциальные уравнения. Так что велкам!

26 июня в 11 часов (Мск) будет проведен второй (и последний) вебинар, посвященный экстремальным задачам. Тема занятия — Минимаксные задачи в тригонометрии. Вот листок с задачами для вебинара. Занятие будет очень насыщенным и наверняка продлится больше обычных 120 минут. Материал по минимаксной тригонометрии огромен, и мне хотелось бы многое вам рассказать. Ну да ничего, видеозапись будет доступна как обычно, так что можно будет воспринимать содержимое отдельными порциями 😉 Напоследок замечу, что мини-курсы Экстремальная алгебра и Экстремальная тригонометрия в целом исчерпывают тему задач на наибольшие и наименьшие значения, предлагаемых на ДВИ МГУ (в последние годы — под номером 6). Искренне надеюсь, что материал наших занятий пригодится участникам вебинаров в самом ближайшем будущем 😉

25 июня в 11 часов (по Москве) состоится вебинар Неравенство Коши в тригонометрии. Это первый вебинар мини-курса Экстремальная тригонометрия; вот листок с задачами для вебинара Мы разберем пару задач ДВИ (для второй — особенно непростой — вспомним трюк с расщеплением слагаемых), а также рассмотрим несколько минимаксных задач (с Росатома, ОММО, ПВГ, ВМК), в которых используется неравенство Коши. Ну и наконец познакомимся с еще одним симпатичным трюком, который позволит нам моментально пробить задачу региона Всеросса.

Экстремальная тригонометрия Между первой и второй перерывчик небольшой Через день после окончания Экстремальной алгебры стартует мини-курс Экстремальная тригонометрия, который завершает подготовку к шестой задаче ДВИ МГУ и продолжает подготовку к олимпиадам. «Экстремальная тригонометрия» состоит из двух независимых вебинаров: — Неравенство Коши в тригонометрии (25 июня, 11:00 Мск) — Минимаксные задачи в тригонометрии (26 июня, 11:00 Мск)

Минимаксные задачи 23 июня в 11 часов (по Москве) состоится четвертый (заключительный) вебинар мини-курса по экстремальным задачам в алгебре: Минимаксные задачи. Это чрезвычайно популярная тема, неизменно присутствующая на олимпиадах и ДВИ. Речь идет о нестандартных уравнениях и неравенствах, которые зачастую имеют настолько «жутковатый» вид, что при первом взгляде на задачу не очень понятно, что тут вообще делать. Это может быть, например, уравнение с нагромождением радикалов и/или модулей, или уравнение с двумя неизвестными, или система двух уравнений с тремя неизвестными… Но если сразу становится ясно, что в уравнении A = B стандартные методы не работают, то это и хорошо — значит, бросаем все силы на поиск задумки автора! И вот находка: удается показать, например, что всегда выполнено A >= 3 и одновременно B <= 3. Ну а коли так, то в нашем уравнении равенство может достигаться в том единственном случае, когда А = 3 и B = 3 одновременно. Всё! Последние два уравнения сложности уже не представляют. В нашем примере число 3 оказалось минимумом для А и максимумом для В. Вот почему мы называем такие задачи минимаксными. Вот листок с задачами для вебинара. Мы рассмотрим три главных идеи минимаксных задач в алгебре. 1. Выделение полного квадрата. Обсудим уравнения, в которых работает идея вроде 5 + A^2 >= 5. 2. Неравенство Коши. И сюда оно проникло! 3. Если видим несколько модулей и/или сложные выражения под модулем, то стоит подумать в сторону неравенства |A| + |B| >= |A + B| >= A + B. Первые два вебинара нашего курса Экстремальная алгебра (Квадратичные неравенства и Неравенство Коши) можно посмотреть в записи. Третий вебинар (Неравенство КБШ и лемма Титу) — сегодня в 11:00 (Мск).

КБШ + Титу 22 июня в 11 часов (по Москве) состоится третий вебинар мини-курса по экстремальным задачам в алгебре: Неравенство КБШ и лемма Титу. Наша цель — продемонстрировать мощный инструмент взлома задач ДВИ и различных олимпиад (в дополнение к неравенству Коши, которое было темой предыдущего занятия). Вот листок с задачами для вебинара. В англоязычной математике лемма Титу служит весьма популярным средством доказательства неравенств. В нашей литературе ее также можно найти (например, задача 10.50 задачника Алфутовой и Устинова). Но всё же в РФ лемма Титу общеизвестной не является — иначе на ДВИ не появлялись бы задачи, которые с её помощью пробиваются в пару строк (и авторы которых изворачиваются в своих решениях через трюки с неравенством Коши). Ну а как это работает «в пару строк» — мы и посмотрим на вебинаре.