Lav Math | Вышмат 🧡

⭐ Закрытие роликового сезона ⭐ Сегодня мой последний в 2026 году выгул асфальтовых коньков. Итоги сезона: 🟠 Всего было 28 выездов. Суммарной продолжительностью 38 часов. 🟠 Первый выезд состоялся 24 марта, последний — 9 ноября. 🟠 Все разы я катался между Зенитом и Беговой. 🟠 +11% скорости относительно предыдущего года. 🟠 Из нового перенёс только ледовые элементы и осенью выучил пистолетик (см. видео). Это был 4-й асфальтовый сезон. Начал кататься в апреле 2023. Особо никакие элементы не учил специально, всё переносил с коньков. Суровые тренировки происходят на льду. Впереди 5-й ледовый сезон. И хочу замахнуться на кантилевер (ссылка на видео Саши Трусовой). Возможно, не получится. Но я большой любитель корабликов, поэтому попытаюсь повторить этот элемент хотя бы частично. 😍 Прыжки учить пока что не планирую. #Жизнь

🗡️ Задача Иосифа Флавия 🗡️ Задачей Иосифа Флавия называется класс задач следующего типа.

В кругу стоят n воинов и начинают нумерацию 1, 2, 3, ..., m. Воина с номером m убивают и нумерацию с единицы начинает следующий за ним воин. В итоге останется всего один воин. На какую позицию нужно встать в изначальном круге, чтобы выжить?

У этой задачи множество модификаций и разновидностей. Для решения можно составить рекуррентное соотношение. Сделаем это для m = 2. То есть рассмотрим случай, когда каждый воин последовательно убивает следующего за ним воина. Для m = 2: Пусть f(n) — позиция выжившего воина при n человек в круге. f(1) =1. Теперь пусть n > 1. Если n чётно, то после прохождения первого круга останется n/2 воинов. И нумерацию с единицы начнёт тот же самый воин, который начинал её на первом кругу Таким образом, задача сводится к n/2. И тогда позиция выжившего f(n) = 2f(n/2) - 1. Если n нечётно, то круг завершится тем, что воин на n-ой позиции назовёт 1. Мы можем считать это началом нового круга, тогда f(n) = 2*f( (n-1)/2 ) + 1. Например, если в кругу 2026 воинов, то позиция выжившего

f(2026) = 2*f(1013) - 1 = 4*f(506) + 1 = 8*f(253) - 3 = 16*f(126) + 5 = 32*f(63) - 11 = 64*f(31) + 21 = 128*f(15) + 85 = 256*f(7) + 213 = 512*f(3) + 469 = 1024*f(1) + 981 = 2005.

То есть воин на позиции 2005 от начала отсчёта выживает в конце игры. В задаче при m = 2 можно показать, что для n = 2^p + q, где 0 ≤ q < 2^p, справедливо f(n) = 2q + 1.

2026 = 1024 + 1002 => f(2026) = 2 * 1002 + 1 = 2005.

Аналогичным образом можно решать данную задачу для других m. 🗡️ #Вышмат #Математика #Алгоритмы

Напоминаю, что продолжается набор на алгебру. Начинаем уже во вторник! Ещё есть возможность присоединиться! #Интенсивы #Вышмат #Математика

📚 Универсальная теорема аппроксимации или теорема Цыбенко 📚 Пусть σ — сигмоидальная функция (гладкая, строго возрастающая, ограниченная). Например, σ(t) = 1 / (1 + exp(-t) ) или σ(t) = tanh(t). Пусть f(x) непрерывная функция на компакте K ⊂ ℝ^n. Тогда для любого ε > 0 существует натуральное число N, вещественные параметры α_j , b_j ∈ ℝ и векторы w_j ∈ ℝ^n, j = 1, 2, ..., N, такие, что | f(x) − Σ α_j · σ(w_j^T x + b_j) | < ε для всех x ∈ K. Другими словами, линейные комбинации сдвинутых и масштабированных сигмоидальных функций плотны в C(K). Сигмоидальные функции часто берутся в качестве функций активации в скрытых слоях нейронных сетей. И вот почему. Линейная регрессия — самый простой вид регрессии, который изучен вдоль и поперёк. Но суперпозиция двух линейных преобразований вновь является линейным преобразованием, поэтому при построении нелинейных моделей не обойтись только линейной регрессией. Универсальная теорема аппроксимации позволяет не искать другие регрессионные кривые, а просто применить к линейному преобразованию сигмоидальное. 👍 #ML #Нейросети #Математика #Аппроксимация #Вышмат

🙂 Про однозначность 🙂 [2/2] Но иногда я разочаровываюсь в своих обозначениях. Так было и на этой неделе. Есть два геометрических распределения. В независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p. Первое геометрическое распределение X — количество неудач до первого успеха. Второе геометрическое распределение Y — номер первого успеха в независимых испытаниях. Ясно, что Y = X + 1. И неважно, какую величину выбирать в задачах. Для себя я всегда выбирал Y. Во-первых, звучит позитивно, во-вторых математическое ожидание просто запомнить 1/p. 😎 Но проблема Y в том, что множество значений начинается с 1. Сумма геометрических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). И получается, что теория будет более красивая, если работать с X. Ведь и Х и сумма принимают значения от 0. 🫰 #Вышмат #Математика #Теория_вероятностей

🙂 Про однозначность 🙂 [1/2] Сначала 2 анекдота.

1) На военной кафедре. Преподаватель: — Пусть у нас есть N танков... Нет, N это слишком много. Пусть будет M танков.

2) Математика — это такая наука, в которой разные вещи называют одинаково, а одинаковые — по-разному.

Определений, лемм, теорем, следствий и просто тождеств бесчисленное множество. Часть материала держится в голове на понимании, но часть приходится заучивать. И дополнительную трудность вносит анекдот номер 2. От книжки к книжке могут отличаться обозначения, может быть сдвинут индекс суммирования. Всё это очень сильно путает и мешает движению вперёд. Именно поэтому я стараюсь сформировать единую систему обозначений во всех дисциплинах. К сожалению, в полной мере сделать это не удастся, но приятно иметь хоть какой-то собственный порядок. Так, например, все векторы я считаю столбцами; параметры распределений зафиксированы; однозначно выбрана функция распределения и так далее. Конечно, в разных ситуациях, разных задачах приходится подстраиваться. Я не стараюсь переписать всё на своём языке, ведь иногда он является более удобным, а иногда и нет. Но самое главное, когда мне требуется вспомнить какой-то факт, он уже однозначно лежит в сознании. Осталось лишь извлечь его и переписать в нужном виде. При подготовке к лекциям/занятиям я могу тратить по 20-30 минут на согласование обозначений, чтобы не получалось так, что u лежит в множестве V, а v лежит в множестве U. 🙃 P.S. Пост вдохновлён музыкой. Сегодня утром никак не мог сыграть строчку из песни. Всё время путались клавиши. Получилось сразу же после того, как я зафиксировал и прописал пальцы, которыми буду играть. #Математика #Вышмат

🦊 Интенсив по линейной алгебре и аналитической геометрии 🦊 Набор в небольшую группу по линейной алгебре и аналитической геометрии 1 семестра. Пять занятий 10, 12, 14, 19, 21 ноября 20:00 - 21:30 мск (вторники, четверги, субботы). Основные темы: 🟠. СЛАУ. Метод Гаусса. 🟠. Линейные пространства. Линейная зависимость, независимость. Базис. 🟠. Матрицы. Определители. 🟠. Геометрические векторы. 🟠. Скалярное произведение. 🟠. Векторное произведение. 🟠. Смешанное произведение. 🟠. Точки, прямые, плоскости в пространстве. Их взаимное расположение. Акцент будет поставлен на применение теории к решению задач. Разбор всех основных типов заданий. Запись занятий будет. Видеозаписи будут доступны всем участникам интенсива в закрытой беседе и после завершения занятий. Домашки будут к каждому занятию. Стоимость всех занятий: 5000 рублей. Для первого участника, кто решит все ДЗ, полный возврат стоимости занятий. Запись, конспект и домашки будут доступны сразу после занятия. Все материалы будут в закрытой беседе неограниченное время после завершения мероприятия! 🧡 Запись через личные сообщения @lav_100k. #Контент #Вышмат #Интенсивы #Линейная_алгебра

🃏 Загадка про карты 🃏

Стандартную колоду из 52 карт тасуют, после чего начинают выкладывать карты по одной. После того, как выложен первый туз, смотрим на следующую карту. Что более вероятно — что это туз червей или двойка пик?

Разложим 51 одну карту (без туза червей) в ряд произвольным образом. Добавить в этот ряд туза червей можно 52-мя способами (что и будет соответствовать произвольной перестановке карт), но только одно положение благоприятно для первого вопроса. Получается, туз червей после первого туза идёт с вероятностью 1/52. Аналогично с двойкой. 1/52. Ответ: вероятность одинакова. Но кому такое простое решение кажется неубедительным, сделал по формуле полной вероятности в комментариях. Но там больно!) ☺️ #Математика #Вышмат #Теория_вероятностей

🍁 Планы на ноябрь 🍁 🟠. В ближайшее время будет набор в группу по линейной алгебре первого семестра. А ближе к концу месяца — вторая часть матана. 🟠. Планируется небольшой конкурс для внимательных читателей. )) 🟠. В конце ноября суета с молодёжной конференцией по теории вероятностей и математической физике. В этом году вновь без доклада, но теперь я в составе организаторов. 🟠. Последние катания на роликах. Надеюсь на скорую смену роликовых коньков на ледовые. Я уже купил новые шнурки и запланировал выучить кантилевер (но не уверен, что получится). 🟠. Музыка. Из-за плотного графика играть стал меньше. А там ещё столько песен… Надеюсь на музыкальные вечера, но все друзья тоже заняты, поэтому играю один для соседей (надеюсь, меня не вычислили!). #Жизнь #Вышмат #Математика

🏸 Пятница 🏸 По пятницам мы с друзьями арендуем зал и с 22:00 до 00:00 играем в бадминтон. Только к 01:00 я оказываюсь дома, в 01:30 ложусь спать. А уже в 7:00 уже встаю, готовлюсь, собираюсь, еду читать лекцию по теорверу в СПбГУ. И надо быть в тонусе! 😮 Так было два месяца подряд. Но завтра у меня отменили пары из-за студенческих коллоквиумов! Знали бы вы, как сильно я планирую ухайдокаться на трене, потом буду спать как убитый… А уже с утра конспектик к лекциям поТеХаю! Там уже 40 страниц. 👏 #Жизнь

⤴️ Инъекции, сюръекции, биекции ⤴️ [2/2] 🟠. Сюръекции. Теперь найдём количество сюръекций из n элементного множества X в m элементное множество Y. Пусть A(i) — множество отображений таких, что в i-й элемент Y никто из X не отобразился. Тогда

A(1) U A(2) U … U A(n)

— множество отображений, которые НЕ являются сюръекциями. Всего отображений m^n (обсуждали в предыдущей части). По аналогии в A(i) всего (m-1)^n, так как мы по сути отображаемся в m-1 элементное множество. В пересечении A(i) и A(j) для различных i и j всего (m-2)^n элементов и так далее. Тогда по формуле включений-исключений всего сюръекций

m^n - C_m^1 (m-1)^n + C_m^2 (m-2)^n + …,

где биномиальный коэффициент C_m^i является числом слагаемых с одинаковыми знаками в формуле включений-исключений либо может быть трактован как число способов выбрать элементы Y, в которые не отобразился ни один из элементов X. Сумма конечная, в один момент все последующие слагаемые зануляются. В замкнутом виде эту сумму не записать, но она тесно связана с числами Стирлинга II рода. Про это будет впереди! 🤫 #Вышмат #Математика #Комбинаторика

😶 Человек и кошка 😶 #Жизнь

⤴️Инъекции, сюръекции, биекции ⤴️ [1/2] Отображение f: X->Y называется инъективным, если для x1 ≠ x2 из X справедливо f(x1) ≠ f(x2). То есть разные точки из X отображаются в разные точки Y. Отображение f: X->Y называется сюръективным, если для любого y из Y существует x из X такой, что f(x) = y. То есть в любую точку Y отображается хотя бы одна точка из X. Отображение f: X->Y называется биективным, если оно одновременно инъективно и сюръективно. То есть между элементами X и Y существует взаимно однозначное соответствие. Пусть количество элементов X равно n, количество элементов Y равно m. Сколько инъекцию, сюръекций и биекций можно построить в таком случае? 🟠. Произвольные отображения. Первый элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек — n способов. Второй элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек — n способ. И так далее.

m*m*…*m = m^n.

Таким образом, число инъекций равно числу размещений с повторениями m^n. 🟠. Инъекции. Различны иксы нужно отобразить в различные игреки. Сразу получаем условие n ≤ m. Первый элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек — m способов. Второй элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек, кроме того, что уже занят — m-1 способ. И так далее.

m*(m-1)*…*(m-n+1) = m!/(n-m)!

Таким образом, число инъекций равно числу размещений A_m^n. 🟠. Биекции. Нам нужно взаимно однозначное соответствие. Это возможно лишь при n = m. Действительно, если n > m, то хотя бы два икса отобразятся в один игрек. Если n < m, то хотя бы один игрек останется без прообраза. Первый элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек — m способов. Второй элемент из икс мы можем отобразить в любой из элементов игрек, кроме того, что уже занят — m-1 способ. И так далее.

m*(m-1)*…*2*1 = m!

Таким образом, число биекций равно числу перестановок m элементного множества, то есть m!. #Вышмат #Математика #Комбинаторика

Половина второго — составил математическое бинго 😌 #Шутки #Математика #Вышмат

👋 Локальные рекорды 👋 Суббота и воскресенье — самые сложные дни в жизни репетитора. И вчера мне удалось достичь новой вершины. 11,5 часов уроков за день. Предыдущий рекорд — 9,5 часов. 😎 Работать начал с 7 утра, но встать пришлось в 5:30, чтобы успеть поесть и подготовиться к занятиям. В одном дне перед глазами пронеслись 🟠Матан 1 семестр 🟠Матан 3 семестр 🟠Теория вероятностей 🟠Математическая статистика 🟠Стрим по комбинаторике 🟠Две олимпиадные группы 🟠Решение задач для подготовки к собесам. Только в 23:30 я смог выдохнуть. Сегодня отходняк. Ноут только сейчас открыл, чтобы готовиться к завтрашним парам и вечерним занятиям. #Жизнь #Рекорды #Вышмат #Математика

Числа Каталана в прямом эфире! ✌️ https://youtube.com/live/tiWCRyvaAO8?feature=share #Стримы

😈 Чем тяжелее, тем легче 😈 Начинается пора контрольных. И сегодня вспомнил, как ровно год назад я проводил КР у перваков в ИТМО. Правила были такие, что ничем пользоваться было нельзя. А если кто-то будет пойман, меняем вариант. 😎 Как полагается, раздал варианты, а сам сел на последнюю парту проверять КР 3 курса по теорверу. Спустя ~50 минут замечаю написание кр с помощью телефона. Пересадил этого студента на более видное место, дал новый вариант. Спустя еще минут 10 я задумался, а не дал ли я случайно вариант работы для 3 курса. Так и оказалось, спрашиваю студента: — Почему же вы не сказали, что с таким материалом совсем незнакомы??? Он: — Новый вариант мне показался даже проще…) 😁 #Математика #Вышмат #Шутки

🗂 Структурирование задач 🗂 Мне нравится структурировать информацию. Об этом я уже неоднократно писал. Например, в этом посте. Сегодня дополню этот пост рассказом о своей структуре хранения задач. По каждой теме я стараюсь формировать файл, в котором собираю подходящие задачи. И сразу же в скобках оставляю ответ подсказку, которой мне хватит, чтобы решить эту задачу. Например, решил сложную красивую комбинаторную загадку, открываю файл, вбиваю задачу и комментарий. Постепенно файл наполняется. И теперь он становится моей шпаргалкой для проведения занятий по определённой теме минимизируя время подготовки к урокам! ☺️ #Контент #Вышмат #Математика